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高中数学


柯西不等式教学题库大全
基本方法 (1)巧拆常数: 例 1:设 a 、 b 、 c 为正数且各不相等。求证:
2 2 2 9 ? ? ? a?b b?c c?a a?b?c

(2)重新安排某些项的次序: 例 2: a 、 b 为非负数, a + b =1, x1 , x2 ? R ? 求证: (ax1 ? bx2 )(bx1 ? ax2

) ? x1 x2 (3)改变结构: 例 3、若 a > b > c (4)添项: 例 4: a, b, c ? R ? 求证:
a b c 3 ? ? ? b?c c?a a?b 2

求证:

1 1 4 ? ? a?b b?c a?c

? ? ? ? 【1】 设 a ? (?2,1,2), b ? 6 ,则 a ? b 之最小值为________;此时 、 ________。 ? ? ? ? ? ? ? ? 答案:?18; (4,?2,?4) 解析: a ? b ? a b ∴ a ? b ? 18 ∴ ? 18 ? a ? b ? 18 ? ? ? ? a ? b 之最小值为?18,此时 b ? ?2a ? (4,?2,?4) ? ? ? ? 【2】 设 a ? (1,0,? 2), b ? (x,y,z),若 x2 ? y2 ? z2 ? 16,则 a b 的最大值为



【解】 ? ? ? ? ∵ a ? (1,0,? 2), b ? (x,y,z) ∴ a . b ? x ? 2z 由柯西不等式[12 ? 0 ? (? 2)2](x2 ? y2 ? z2) ? (x ? 0 ? 2z)2 ? 5 ? 16 ? (x ? 2z)2 ? ? 4 5 ? x ? 4 5 ? ? ? ? ? ? 4 5 ? a . b ? 4 5 ,故 a . b 的最大值为 4 5

? ? ? ? ? ? 【3】 空间二向量 a ? (1, 2,3) , ? ( x, y, z) , 已知 b ? 56 , 则(1) a ? b 的最大值为多少?(2)此时 b ? ? b Ans:(1) 28:(2) (2,4,6)
4 9 36 【4】设 a、b、c 为正数,求 (a ? b ? c)( ? ? ) 的最小值。Ans:121 a b c

【5】. 设 x,y,z ? R,且满足 x ? y ? z ? 5,则 x ? 2y ? 3z 之最大值为
2 2 2

解(x ? 2y ? 3z) ? (x ? y ? z )(1 ? 2 ? 3 ) ? 5.14 ? 70
2 2 2 2 2 2 2



70 【6】 设 x,y,z ? R,若 x2 ? y2 ? z2 ? 4,则 x ? 2y ? 2z 之最小值为 时,(x,y, z) ? 解(x ? 2y ? 2z)2 ? (x2 ? y2 ? z2)[12 ? ( ? 2) 2 ? 22] ? 4.9 ? 36 x y z ?6 ?2 ∴ x ? 2y ? 2z 最小值为 ? 6,公式法求 (x,y,z) 此时 ? ? ? 2 ? 2 2 1 ? 2 2 2 ? (? 2) ? 2 3

x ? 2y ? 3z 最大值为

1



x?

?2 4 ?4 ,y ? ,z ? 3 3 3

【7】设 x, y, z ? R , x2 ? y 2 ? z 2 ? 25 ,试求 x ? 2 y ? 2 z 的最大值 M 与最小值 m。 Ans: M ? 15; m ? ?15
【8】 设 x, y, z ?R, x 2 ? y 2 ? z 2 ? 25 ,试求 x ? 2 y ? 2 z 的最大值与最小值。 、
答:根据柯西不等式

(1? x ? 2 ? y ? 2 ? z) 2 ? [12 ? (?2) 2 ? 2 2 ](x 2 ? y 2 ? z 2 ) 2 即 ( x ? 2 y ? 2 z) ? 9 ? 25 而有 ? 15 ? x ? 2 y ? 2 z ? 15 故 x ? 2 y ? 2 z 的最大值为 15,最小值为–15。 【9】 设 x, y, z ?R, 2 x ? y ? 2 z ? 6 ,试求 x 2 ? y 2 ? z 2 之最小值。 、 答案:考虑以下两组向量 ? ? ?2 ?2 ? ? u = ( 2, –1, –2) v =( x, y, z ) 根据柯西不等式 (u ? v ) 2 ? u ? v ,就有 [2x ? (?1) y ? (?2) z]2 ? [2 2 ? (?1) 2 ? (?2) 2 ](x 2 ? y 2 ? z 2 ) 即 (2x ? y ? 2z) 2 ? 9( x 2 ? y 2 ? z 2 ) 将 2 x ? y ? 2 z ? 6 代入其中,得 36 ? 9( x 2 ? y 2 ? z 2 ) 而有 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 4 故 x 2 ? y 2 ? z 2 之最小值为 4。 【10】设 x, y, z ? R , 2 x ? y ? 2 z ? 6 ,求 x2 ? y 2 ? z 2 的最小值 m,并求此时 x、y、z 之值。
4 2 4 Ans: m ? 4; ( x, y, z ) ? ( ,? ,? ) 3 3 3

【11】 设 x,y,z ? R,2x ? 2y ? z ? 8 ? 0,则(x ? 1)2 ? (y ? 2)2 ? (z ? 3)2 之最小值为 解: 2x ? 2y ? z ? 8 ? 0 ? 2(x ? 1) ? 2(y ? 2) ? (z ? 3) ? ? 9, 考虑以下两组向量 ? ? ?2 ?2 ? ? u = ( , , ) , v =( , , ) (u ? v ) 2 ? u ? v [2(x ? 1) ? 2(y ? 2) ? (z ? 3)]2 ? [(x ? 1)2 ? (y ? 2) 2 ? (z ? 3) 2].(22 ? 22 ? 12) ? (x ? 1)2 ? (y ? 2) 2 ? (z ? 3) 2 ?

( ? 9) 2 9

? 9

【12】设 x, y, z 此时 y ? ________。

R,若

,则 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? z 2 之最小值为________,又

解:

? 2x ? 3(y ? 1) ? z ?( 考虑以下两组向量

),

2

? u = (

,

,

)

? , v =(

,

,

)
36 14

解析: [ x 2 ? ( y ? 1) 2 ? z 2 ][ 2 2 ? (?3) 2 ? 12 ] ? (2 x ? 3 y ? 3 ? z ) 2 [ x 2 ? ( y ? 1) 2 ? z 2 ] ?
x y1 ? z ? ? t? , ? 2 x 2 ? 3 1 3 2 ∴t ? ∴y?? 7 7 ?3 y ? z ? , ? 2t ( 2 ?) t ? ( ?3 3 3 t

∴最小值
3

18 7

?1 )?

【13】 设 a,b,c 均为正数且 a ? b ? c ? 9,则

4 9 16 ? ? 之最小值为 a b c

解:考虑以下两组向量 ? ? u = ( , , ) , v =( , , ) 4 9 16 2 3 4 ? ? ?2 ?2 (u ? v ) 2 ? u ? v ( ? a? ? b? ? c ) 2 ? ( ? ? )(a ? b ? c) a b c a b c 4 9 16 ? ( ? ? ).9 ? (2 ? 3 ? 4)2 ? 81 a b c 4 9 16 81 ? ? ? ? ? 9 a b c 9

【14】 设 a, b, c 均为正数,且 、

,则

1 2 3 ? ? 之最小值为________,此时 a b c

________。 解:考虑以下两组向量 ? ? u = ( , , ) , v =(
? ? ?2 ?2 (u ? v ) 2 ? u ? v

,

,

)

1 2 2 3 ) ? ( ) 2 ? ( ) 2 ] ? (1 ? 2 ? 3) 2 a b c 1 2 3 a 2b 3c ? ? ∴ ( ? ? ) ? 18 ,最小值为 18 等号发生于 u // v 故 ? ? a b c 1 2 3 a b c [( a ) 2 ? ( 2b ) 2 ? ( 3c ) 2 ][(





∴a ?

1 3

? 【15】. 设空间向量 a 的方向为?,?,?,0 ? ?,?,? ? ?,csc2? ? 9 csc2? ? 25 csc2? 的最 小值为 。
3

解∵ sin ? ? sin ? ? sin ? ? 2 由柯西不等式
2 2 2

∴ 81 ∴

(sin ? ? sin ? ? sin ?)[ (
2 2 2

1 2 3 2 5 2 ) ?( ) ?( ) ] ? (1 ? 3 ? 5)2 sin ? sin ? sin ?
81 2
2

2(csc ? ? 9csc ? ? 25csc ?) ?
2 2 2

csc ? ? 9csc ? ? 25csc ? ?
2 2 2 2



故最小值为
2 2

81 2
2 2

【注】本题亦可求 tan ? ? 9 tan ? ? 25tan ? 与 cot ? ? 9cot ? ? 25cot ? 之最小值,请自行练习。

? 【16】. 空间中一向量 a 与 x 轴,y 轴,z 轴正向之夹角依次为?,?,?(?,?,? 均非象限角) , 1 4 9 求 2 ? 的最小值。 ? 2 sin ? sin ? sin 2 ?
解 : 由柯西不等式

[( (

1 2 2 2 3 2 ) ?( ) ?( ) ](sin2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ) ? sin ? sin ? sin ?

1 2 3 ? sin ? ? ? sin ? ? ? sin ? ) 2 sin ? sin ? sin ? 1 4 9 ) ? ( 2 ) ? ( 2 )](sin2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ) ? (1 ? 2 ? 3) 2 2 sin ? sin ? sin ?
2 2 2

? (
∵ 2( ∴

sin ? ? sin ? ? sin ? ? 2



1 4 9 1 4 9 ? ? ) ? 36 ? ( 2 ? ? ) ? 18 2 2 2 2 sin ? sin ? sin ? sin ? sin ? sin 2 ?

1 4 9 ? ? 的最小值 ? 18 2 2 sin ? sin ? sin 2 ? ? 【17】.空间中一向量 a 的方向角分别为 ? , ? , ? ,求

9 25 16 ? 2 ? 2 的最小值。 2 sin ? sin ? sin ?

答 72 利用柯西不等式解之

【18】 设 x, y, z 、

R,若 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? z 2 ? 4 ,则

之范围为何?又

发生最小值时,



答案:

4

若 3x ? y ? 2z ? 5 ? 2 14 又 ∴t ? ?
14 7

x ?1 y ? 2 z ? ? ?t∴ 3 ?1 ?2 3 14 ∴x ?? ?1 7

【19】 设?ABC 之三边长 x,y,z 满足 x ? 2y + z = 0 及 3x + y ? 2z = 0,则?ABC 之最大角 是多少度? ?2 1 1 1 1 ?2 ? x ? 2y ? z ? 0 【解】 ? ? x:y:z = : : = 3:5:7 3x ? y ? 2 z ? 0 1 ?2 ?2 3 3 1 ?
1 (3k ) 2 ? (5k ) 2 ? (7k ) 2 设三边长为 x = 3k,y = 5k,z = 7k 则最大角度之 cos? = = ? ,∴? = 120? 2 2(3k )(5k )

【20】. 设 x,y,z ? R 且

( x ? 1) 2 ( y ? 2) 2 ( z ? 3) 2 ? ? ? 1,求 x ? y ? z 之最大值,最小值。 16 5 4 Ans 最大值 7;最小值 ? 3

【解】
( x ? 1) 2 ( y ? 2) 2 ( z ? 3) 2 ? ? ?1 16 5 4 由柯西不等式知



? x ?1 2 y?2 2 z ?3 2 [42 ? ( 5 )2 ? 22] ?( ) ?( ) ?( ) 2 5 ? 4

? x ?1 y?2 ? ) ? 5.( ) ? 2. ?? ? ?4.( 4 5 ? ?

z ?3 ? ( ) 2 ? ?

2

? 25 ? 1 ? (x ? y ? z ? 2)2

? 5 ? |x ? y ? z ? 2|

? ? 5 ? x ? y ? z ? 2 ? 5 ∴ ? 3 ? x ? y ? z ? 7 故 x ? y ? z 之最大值为 7,最小值为 ? 3

【21】. 求 2sin? ? 3 cos? sin? ? cos? cos? 的最大值与最小值。 答. 最大值为 2 2 ,最小值为 ? 2 2 【详解】
? ? 令向量 a ? (2sin?, 3 cos?,? cos?), b ? (1,sin?,cos?) ? ? ? ? 由柯西不等式 | a . b | ? | a || b |得

| 2sin? ? 3 cos? sin? ? cos? cos? | ? 4 sin 2 ? ? 3 cos2 ? ? cos2 ? ,

5

1 ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 4(sin 2 ? ? cos 2 ? )(1 ? sin 2 ? ? cos 2 ? ) ? 2 2

所求最大值为 2 2 ,最小值为 ? 2 2 【22】△ABC 的三边长为 a、b、c,其外接圆半径为 R,求证:
(a 2 ? b 2 ? c 2 )( sin A ? 1 1 1 ? ? ) ? 36 R 2 证明:由三角形中的正弦定理得 2 2 sin A sin B sin 2 C

1 4R 2 1 4R 2 1 4R 2 a ? 2 ,同理 ? 2 , ? 2 于是左边= ,所以 2R sin 2 A a sin 2 B b sin 2 C c
4R 2 4R 2 4R 2 2R 2R 2R 2 ? 2 ? 2 ) ? (a ? ?a? ?a? ) ? 36R 2 。 2 a b c a b c | Ax0 ? By0 ? C |

(a 2 ? b 2 ? c 2 )(

【23】求证:点 P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离 d=

A2 ? B 2
2 2 2

.

证明:设 Q(x,y)是直线上任意一点,则 Ax+By+C=0.因为|PQ| =(x-x0) +(y-y0) ,A +B ≠0,由柯西不等式得 (A +B ) [ (x-x0) +(y-y0) ] ≥ [ A(x-x0)+B(y-y0) ] = [ (Ax+By)-(Ax0+By0) ] =(Ax0+By0+C) , 所 以 |PQ|≥
2 2 2 2 2 2

2

2

2

| Ax0 ? By0 ? C |

A2 ? B 2 x ? x0 y ? y 0 Ax ? By ? C | Ax0 ? By0 ? C | ? ? ? 0 2 02 当 时,取等号,由垂线段最短得 d= . A B A ?B A2 ? B 2
【24】已知正数 x,y,z 满足 x+y+z=xyz,且不等式 解析:由二元均值不等式及柯西不等式,得

.

1 1 1 ? ? ≤λ 恒成立,求 λ 的范围. x? y y?z z?x

1 1 1 1 z 1 1 1 ? ? ? ( ? ? ? ≤ x ? y y ? z z ? x 2 xy 2 y z 2 zx 2 x ? y ? z

x ? x? y?z

y ) x? y?z

?

3 1 z x y 3 故 λ 的取值范围是[ ,+∞). (12 ? 12 ? 12 )( ? ? )? 2 2 x? y?z x? y?z x? y?z 2

温馨提示 本题主要应用了最值法,即不等式 题转化为求 f(x,y,z)=

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ≤λ 恒成立,等价于( )max≤λ ,问 x? y y?z z?x x? y y?z z?x

1 1 1 ? ? 的最大值. x? y y?z z?x
2 2 2 2 2 2

【25】设 a,b,c,x,y,z 均为正实数,且满足 a +b +c =25,x +y +z =36,ax+by+cz=30.求 解析:根据已知等式的特点,可考虑用柯西不等式. 由柯西不等式等号成立的条件,知
2 2

a?b?c 的值. x? y?z

a b c a?b?c ? ? =λ ,再由等比定理,得 =λ .因此只需求 λ 的值即可.由柯 x y z x? y?z
2 2 2 2 2 2

西不等式,得 30 =(ax+by+cz) ≤(a +b +c )(x +y +z )=25×36,当且仅当 于是 a=λ x,b=λ y,c=λ z,从而有 λ (x +y +z )=25,∴λ =±
2 2 2 2

a b c ? ? =λ 时,上式等号成立. x y z

5 a b c 5 (舍负),即 ? ? ? . 6 x y z 6
6

竞赛欣赏
1 (1987 年 CMO 集训队试题)设 a, b, c ? R ? ,求证:
a5 ? b5 ? c5 ? a3bc ? b3ca ? c3ab

(2-10)

证明:因 a 2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ca ,由定理 1 有
a 4 b 4 c 4 (a 2 ? b 2 ? c 2 ) 2 ? ? ? ? a 2 ? b2 ? c 2 此即(2-10)式。 bc ca ab bc ? ca ? ab

2 设 a, b, c ? R ? ,求证:

b2 c 2 a 2 ? ? ? 3(a 2 ? b2 ? c 2 ) a b c

证明:由均值不等式得 a3 ? c2a ? 2a2c, b3 ? a2b ? 2ab, c3 ? b2c ? 2bc2 ,故

a3 ? b3 ? c3 ? a2b ? b2c ? c2a ? 2(ab2 ? bc2 ? ca2 )
即 (a2 ? b2 ? c2 )(a ? b ? c) ? 3(ab2 ? bc2 ? ca2 ) . 又由柯西不等式知 3(a2 ? b2 ? c2 ) ? (a ? b ? c)2 ,故 3(a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? a ? b ? c 又由定理 1,得 原式左=

a4 b4 c4 (a 2 ? b 2 ? c 2 ) 2 3(a 2 ? b2 ? c 2 )2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 2 ? 原式右 a 2c b a c b bc ? ca 2 ? ab2 (a ? b ? c )(a ? b ? c)

7


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