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山东省菏泽市2015届高三上学期期末考试数学理试卷(B)word版含答案


山东省菏泽市 2015 届高三上学期期末考试 高三数学(理)(B)本试卷分
第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分. 试卷总分为 150 分. 考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、考号、考试科目、试卷类型用 2B 铅笔涂写在 答题卡上。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对

应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试题卷上。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 个选项是符合题目要求的. 1.复数 z ?
1? i (i 是虚数单位)在复平面内对应的点在( i

) D.第四象限 ). 5 8 5 8
侧(左)视图

A. 第一象限

B.第二象限

C.第三象限

2.设 f ( x) ? lg( 2 ? a) 是奇函数,则使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是( 1? x A. (?1, 0) C. (??, 0) B.(0,1) D. (??, 0) ? (1, ??) 5

5

正(主)视图

3.一个几何体的三视图及其尺寸(单位:cm)如图所示,则 该几何体的侧面积为( A.50 C.70 )cm2. B.60 D.80 )
1 1 ? a b

8
俯视图

(第 3 题图)

4.已知 a, b ? R ,下列命题正确的是( A.若 a ? b , 则
1 1 ? a b

B.若 a ? b ,则

C.若 a ? b ,则 a 2 ? b 2

D.若 a ? b ,则 a 2 ? b 2

5.设 m,n 为空间两条不同的直线, ? , ? 为空间两个不同的平面,给出下列命题: ①若 m / /? , m / / ? ,则 ? / / ? ; ③若 m ? ? , m / / ? ,则 ? ? ? ; 其中的正确命题序号是( ) ②若 m / /? , m / / n 则 n / /? ; ④若 m ? ? , ? / / ? ,则 m ? ? .

-1-

A.③④

B.②④

C.①②

D. ①③

6.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S2=10,S6=36,则过点 P(n,an)和 Q(n+2,an+2)(n∈N*)的直线 的斜率是( A.
1 4

) B.
1 2

C.2

D.4

7.函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ? 3 cos(2 x ? ? ) ( ? ? 间( )

?

? )的图像关于点 ( , 0) 对称,则 f ( x) 的增区 2 6

5? ? ?? ? ? ? ? A. ? ? k? , ? k? ? , k ? Z B. ?? ? k? , ? k? ? , k ? Z 6 3 ?3 ? ? 6 ? ? 5? ? 7? ? ? ? ? C. ? ? D. ?? ? k? , ? k? ? , k ? Z ? k? , ? ? k? ? , k ? Z 12 12 ? 12 ? ? 12 ? )已 知 8. 某 班 有 50 名 学 生 , 一 次 数 学 考 试 的 成 绩 ? 服 从 正 态 分 布 N ( 1 0 5 , 21 0,
P(95 ? ? ? 105) ? 0.32 ,估计该班学生数学成绩在 115 分以上的人数为(



A.10

B.9

C.8

D.7

9.过抛物线 C: x 2 ? 2 y 的焦点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A、B 两点,若抛物线 C 在点 B 处的 切线斜率为 1,则线段 | AF |? ( A. 1 B. 2 ) C. 3 D. 4

10. 已知定义在实数集 R 上的函数 f ( x) 满足 f (1) =3 ,且 f ( x) 的导数 f ?( x) 在 R 上恒有
f ?( x ) ? 2 ( x ? R) ,则不等式 f ( x) ? 2 x ? 1 的解集为(

) D. ( ??, ?1) ∪ (1, ??)

A. (1, ??)

B. ( ??, ?1)

C. ( ?1,1)

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题: (本大题有 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答 题卷的相应位置.) 11.阅读右侧程序框图,输出的结果 i 的值为 。
开始
S ?1 i?3

12.8 名支教名额分配到三所学校,每个学校至少一个名额,且甲 学校至少分到两个名额的分配方案为_________(用数字作答) 13.已知球与棱长均为 3 的三棱锥各条棱都相切,则该球的表面积
-2-



S ? 100 ?


输出i
S ? S?2
i

结束

i ?i?2

(第 11 题图)





14.在三角形 ABC 中,已知 AB=4,AC=3 ,BC=6 ,P 为 BC 中 点,则三角形 ABP 的周长为___________. 15.定义在 [1, ??) 上的函数 f ( x) 满足:(1) f (2 x) ? 2 f ( x) ; (2)当 2 ? x ? 4 时, f ( x) ? 1 ? x ? 3 ,则集合
S ? ?x f ( x) ? f (34)? 中的最小元素是

.

三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 16. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( x ?R, A ? 0 , ? ? 0 , 0 ? ? ? 如图,P 是图象的最高点,Q 为图象与 x 轴的交点,
5 13 O 为原点.且 | OQ |? 2 , | OP |? , | PQ |? . 2 2

?
2

)图象

y
P
O

(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)将函数 y ? f ( x) 图象向右平移 1 个单位后得到函 数 y ? g ( x) 的 图 象 , 当 x ? [0, 2] 时 , 求 函 数
h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的最大值.

Q
(第 16 题)

x

A

17. (本小题满分 12 分) 如图,在几何体 SABCD 中,AD⊥平面 SCD,BC⊥ 平面 SCD,AD=DC=2,BC=1,又 SD=2,∠SDC=120°. (1)求 SC 与平面 SAB 所成角的正弦值; (2)求平面 SAD 与平面 SAB 所成的锐二面角的余弦值.
C
B

D

S

(第 17 题图) 18.本小题满分12分) 如图 6, 正方形 ABCD 所在平面与圆 O 所在平面相交于 CD , 线段 CD 为圆 O 的弦, AE 垂直于圆 O 所在平面,垂足 E 是圆 O 上异于 C 、 D 的点, AE ? 3 ,圆 O 的直径为 9. (1)求证:平面 ABCD ? 平面 ADE ;

(2)求二面角 D ? BC ? E 的平面角的正切值.

-3-

19. (本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, 且an ? an ?1 ? 2n , (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 求S2n 。

20. (本小题满分 13 分)
1 已知函数 g ( x) ? f ( x) ? x 2 ? bx , 函数 f ( x) ? x ? a ln x 在 x=1 处的切线 l 与直线 x ? 2 y ? 0 垂 2

直. (1)求实数 a 的值; (2)若函数 g ( x) 存在单调递减区间,求实数 b 的取值范围;
7 (3)设 x1、x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 g ( x) 的两个极值点,若 b ? ,求 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 的最小值. 2
y

x2 21. (本小题满分 14 分)如图,F1,F2 是椭圆 C: ? y 2 ? 1 的 2

B A F1 M O F2 x

左、右焦点,A,B 是椭圆 C 上的两个动点,且线段 AB

1 的中点 M 在直线 l :x=- 上. 2
(1)若 B 点坐标为(0,1),求点 M 的坐标;
???? ? ???? ? (2)求 F2 A ? F2 B 的取值范围.

x=- 1 2 (第 21 题图)

-4-

高三数学(理)试题(B)参考答案
选择题

题号 答案

1 D

2 A
12.15

3 D

4 C
13.

5 A
14.7+

6 B
14 2

7 C
15、6

8 B

9 A

10 A

填空题 11. 7

9 ? 2

16.解(Ⅰ)由余弦定理得 cos ?POQ ? ∴ sin ?POQ ?
2

| OP | 2 ? | OQ | 2 ? | PQ | 2 2 | OP || OQ |

?

1 5



1 2? 1 ? ,得 P 点坐标为 ( , 1) . ∴ A ? 1 , ? 4(2 ? ) ? 6 , ? ? . 2 ? 2 3 5

1 ? ? ? ? ? 由 f ( ) ? sin( ? ? ) ? 1 , 0 ? ? ? 得 ? ? .∴ y ? f ( x) 的解析式为 f ( x) ? sin( x ? ) . 2 6 2 3 3 3
(Ⅱ)g ( x) ? sin
1 ? cos

?

? ? ? 1 ? 3 ? ? sin x cos x x , h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? sin( x ? ) sin x ? sin 2 x ? 3 3 3 2 3 2 3 3 3

?

2? x 3 ? 3 sin 2? x ? 1 sin(2? x ? ? ) ? 1 . 当 x ? [0, 2] 时, 2? x ? ? ? [? ? , 7? ] , 4 4 3 2 3 6 4 3 6 6 6

∴ 当

2? ? ? 3 x ? ? ,即 x ? 1 时 hmax ( x) ? . 3 6 2 4

17.解:过点 D 作 DC 的垂线交 SC 于 E ,以 D 为原点, 分别以 DC , DE , DA 为 x, y, z 轴建立空间上角坐标系。

??SDC ? 1200 ,??SDE ? 300 ,又 SD ? 2 ,则点 S 到 y 轴的距离为 1,到 x 轴的距离
为 3。 则有 D(0, 0, 0) , S (?1, 3,0) , A(0, 0, 2) , C (2, 0, 0) , B(2, 0,1) 。 (1)设平面 SAB 的法向量为 n ? ( x, y, z) , (4 分)

?

??? ? ??? ? ? AB ? (2,0 ?1), AS ? (?1, 3, ?2)
则有 ?



? ?

2x ? z ? 0

? ?? x ? 3 y ? 2 z ? 0

,取 x ? 3 ,得 n ? ( 3,5, 2 3) ,又 SC ? (3, ? 3,0) ,

?

??? ?

设 SC 与平面 SAB 所成角为 ? ,则 sin ? ? cos ? SC, n ? ?

??? ? ?

2 3 10 , ? 20 2 3 ? 2 10

-5-

故 SC 与平面 SAB 所成角的正弦值为

10 。 20

(6 分)

(2)设平面 SAD 的法向量为 m ? ( x, y, z) , ? AD ? (0,0 ? 2), AS ? (?1, 3, ?2) , 则有 ?

??

??? ?

??? ?

? ?

?2 z ? 0

? ?? x ? 3 y ? 2 z ? 0 ? ?? ? ?? n?m 8 10 , ?c o s ?n m , ?? ? ?? ? ? ? 2 5 n? m 2 10

,取 x ? 3 ,得 m ? ( 3,1,0) 。

??

故平面 SAD 与平面 SAB 所成的锐二面角的余弦值是

10 。 5

(12 分)

18(1)证明:∵ AE 垂直于圆 O 所在平面, CD 在圆 O 所在平面上, ∴ AE ? CD . 在正方形 ABCD 中, CD ? AD , ∵ AD ? AE ? A ,∴ CD ? 平面 ADE . ∵ CD ? 平面 ABCD , ∴平面 ABCD ? 平面 ADE . (2)解法 1:∵ CD ? 平面 ADE , DE ? 平面 ADE ,∴ CD ? DE . ∴ CE 为圆 O 的直

DE 2 ? CE 2 ? CD2 ? 81 ? a 2 , 径, 即 CE ? 9 . 设正方形 ABCD 的边长为 a , 在 Rt △ CDE 中,
在 Rt △ ADE 中, DE ? AD ? AE ? a ? 9 ,由 81 ? a ? a ? 9 ,解得, a ? 3 5 .
2 2 2 2 2 2

∴ DE ?

AD2 ? AE 2 ? 6 . 过点 E 作 EF ? AD 于点 F ,作 FG ? AB 交 BC 于点 G ,
G F

连结 GE ,由于 AB ? 平面 ADE , EF ? 平面 ADE , ∴ EF ? AB . ∵ AD ? AB ? A , ∴ EF ? 平面 ABCD . ∵ BC ? 平面 ABCD , ∴ BC ? EF . ∵ BC ? FG , EF ? FG ? F , ∴ BC ? 平面 EFG . ∵ EG ? 平面 EFG , ∴ BC ? EG . ∴ ?FGE 是二面角 D ? BC ? E 的平面角. 在 Rt △ ADE 中, AD ? 3 5 , AE ? 3 , DE ? 6 , ∵ AD ? EF ? AE ? DE , ∴ EF ?

AE ? DE 3 ? 6 6 5 . 在 Rt △ EFG 中, FG ? AB ? 3 5 , ? ? AD 5 3 5



tan ?EGF ?

2 EF 2 ? .故二面角 D ? BC ? E 的平面角的正切值为 . 5 FG 5 ADE DE ? ADE 解法 2:∵ CD ? 平面 , 平面 , ∴ CD ? DE . ∴ CE 为圆 O 的直径,即 CE ? 9 .
-6-

设正方形 ABCD 的边长为 a ,在 Rt △ CDE 中, DE ? CE ? CD ? 81 ? a ,
2 2 2 2 2 2 在 Rt △ ADE 中 , D E ? A D?

A 2E ?

2

a 9 ? , 由 81 ? a 2 ? a 2 ? 9 , 解 得 ,

a?3 5.

∴ DE ?

AD2 ? AE 2 ? 6 .

以 D 为坐标原点,分别以 ED 、 CD 所在的直线为 x 轴、 y 轴建立如图所示的空间直角 坐标系,则 D ? 0,0,0? , E ? ?6,0,0? , C 0, ?3 5, 0 , A ? ?6,0,3? ,

?

?

B ?6, ?3 5,3 .
设平面 ABCD 的法向量为 n1 ? ? x1, y1, z1 ? ,

?

?

z

??? ? ? ? ?6 x1 ? 3 z1 ? 0, ?n1 ?DA ? 0, ? 则 ? ???? 即? ? ? ?3 5 y1 ? 0. ?n1 ?DC ? 0. ?
取 x1 ? 1 ,则 n1 ? ?1,0, 2? 是平面 ABCD 的一个法向量. 设平面 BCE 的法向量为 n2 ? ? x2 , y2 , z2 ? ,

x

y

??? ? ? ?n2 ?EB ? 0, ? ??3 5 y2 ? 3z2 ? 0, 则 ? ??? 即? ? ? ?n2 ?EC ? 0. ? ?6 x2 ? 3 5 y2 ? 0.
取 y2 ? 2 ,则 n2 ? ∵ cos n1 , n2 ?

?

5, 2, 2 5 是平面 ABCD 的一个法向量.

?

?1, 0, 2?? 5, 2, 2 5 n1 ?n2 5 , ? ? n1 ? n2 1 ? 0 ? 4 ? 5 ? 4 ? 20 29
2 . 29
∴ tan n1 , n2 ?

?

?

∴ sin n1 , n2 ?

2 . 5

故二面角 D ? BC ? E 的平面角的正切值为

2 . 5

19、解: (1)? an ? an?1 ? 2 n ………………………………………………. ①

? an?1 ? an?2 ? 2 n?1 ………………………………………..…②
②-①得? an?2 ? an ? 2 n 又? a1 ? 1

? a2 ? 1 ……………………………………….1 分

故:当 n 为奇数时

an ? (an ? an?2 ) ? (an?2 ? an?4 ) ? ? ? (a3 ? a1 ) ? a1
-7-

? 2 n?2 ? 2 n?4 ? ? ? 2 ? 1 1 1 ? ? 2 n ? …………………………………………………..4 分 3 3 当 n 为偶数时

a n ? (a n ? a n ? 2 ) ? (a n ? 2 ? a n ? 4 ) ? ? ? ( a 4 ? a 2 ) ? a 2
? 2 n?2 ? 2 n?4 ? ? ? 2 2 ? 1 1 1 ? ? 2n ? 3 3

?1 n 1 ?2 ? ? ?3 3 故 an ? ? 1 1 ? ? 2n ? ? 3 ?3

n为奇数 n为偶数.......... .......... ......... 7分

1 1 1 1 1 1 1 1 (2) S 2 n ? ? 21 ? ? ? 2 2 ? ? ? ? ? 2 2 n ?1 ? ? ? 2 2 n ? 3 3 3 3 3 3 3 3 1 ? (2 ? 2 2 ? ? ? 2 2 n ?1 ? 2 2 n ) 3 2 ? (2 2 n ? 1)......... .......... .......... .......... .......... .......... ...12分 3 a 20. 解: ∵ f ( x ) ? x ? a ln x ,∴ f ?( x) ? 1 ? . …………1 分 x ∵ l 与直线 x ? 2 y ? 0 垂直,∴ k ? y ? x ?1 ? 1 ? a ? 2 ,∴ a ? 1 . …………3
分 (2)? g ? x ? ? ln x ?

x 2 ? ? b ? 1? x ? 1 1 2 1 由题知 x ? ? b ? 1? x,? g ? ? x ? ? ? x ? ? b ? 1? ? 2 x x

g ? ? x ? ? 0 在 ? 0, ?? ? 上有解,? x ? 0 设 u ? x ? ? x 2 ? ? b ? 1? x ? 1 ,则 u ? 0 ? ? 1 ? 0 ,所以只
b ?1 ? ?0 b ?1 ? ? 2 ?? 需? 故 b 的取值范围 ? 3, ?? ? . ?? ? ? b ? 1?2 ? 4 ? 0 ?b ? 3或b<-1 ?
(3) ? g ? ? x ? ?

x 2 ? ? b ? 1? x ? 1 1 ,所以令 g ? ? x ? ? 0 ? x ? ? b ? 1? ? x x

? x1 ? x2 ? b ? 1, x1 x2 ? 1
1 1 2 ? ? ? ? ? g ? x1 ? ? g ? x2 ? ? ?ln x1 ? x12 ? ? b ? 1? x1 ? ? ?ln x2 ? x2 ? ? b ? 1? x2 ? 2 2 ? ? ? ?

? ln

x1 1 2 x 1? x x ? 2 ? ? x1 ? x2 ? ? b ? 1?? x1 ? x2 ? ? ln 1 ? ? 1 ? 2 ? ? x2 2 x2 2 ? x2 x1 ?
-8-

? 0 ? x1 ? x2 所以设 t ?

1 1? x1 ? 0 ? t ? 1? h ? t ? ? ln t ? ? ? t ? ? ? 0 ? t ? 1? x2 2? t ?
2

? t ? 1? ? 0 ,所以 h t 在 0,1 单调递减, 1 1? 1? h? ? t ? ? ? ?1 ? 2 ? ? ? ?? ? ? t 2? t ? 2t 2
7 25 2 又b ? ? ? b ? 1? ? 2 4

即 ? x1 ? x2 ?

2

?x ? x ? ? 1 2
x1 ? x2

2

1 25 ?t? ?2? t 4

1 ? 1 ? 15 ? 0 ? t ? 1,? 4t 2 ? 17t ? 4 ? 0,? 0 ? t ? , h ? t ? ? h ? ? ? ? 2 ln 2 , 4 ?4? 8
故 所 求 的 最 小 值 是

15 ? 2 ln 2 8
21.(Ⅰ) 因为点 M 是 AB 的中点,所以可设点 A (?1, m) . 代入椭圆方程

…………13 分

2 2 x2 ? y 2 ? 1 ,得 m ? ? 或m ? , 2 2 2
A F1

y B M O F2 x

2 2 则 A 点坐标为 (?1, ? ) 或 ( ?1, ) ,所以 M 点坐标为 2 2 1 2? 2 1 2? 2 , , , , , ,4 分 (? , ) 或 (? , ). 2 4 2 4
(Ⅱ) 当直线 AB 垂直于 x 轴时,直线 AB 方程为 x=-

1 ,此时 2

x=- 1 2 (第 18 题图)

???? ? ???? ? 11 , , , ,5 分 F2 A ? F2 B = . 8
当直线 AB 不垂直于 x 轴时,设直线 AB 的斜率为 k,M(- y2).

1 ,m) (m≠0),A(x1,y1),B(x2, 2

? x12 ? y12 ? 1, ? ?2 由 ? 2 得 x 2 ? 2 ? y ? 1, 2 ? ? 2
(x1+x2)+2(y1+y2) ? 则 -1+4mk=0, 故

y1 ? y2 =0, x1 ? x2

-9-

k= 此时,直线 AB 的方程为 y-m= 即 y=

1 . 4m

1 1 (x+ ), 4m 2

8m 2 ? 1 1 x+ . 8m 4m

? x2 ? y 2 ? 1, ? ? 联立 ? 2 消去 y,整理得 2 ? y ? 1 x ? 8m ? 1 , ? 4m 8m ?
x2+x+

(8m2 ? 1)2 ? 64m2 =0,………..8 分 4(1 ? 8m2 )

故 Δ=1-

(8m 2 ? 1) 2 ? 64m 2 >0,即 1 ? 8m 2
0<m2<

7 ,………..9 分 8
(8m2 ? 1)2 ? 64m2 . 4(1 ? 8m2 )

所以 x1+x2=-1, 于是 x1x2=

???? ? ???? ? F2 A ? F2 B =(x1-1)(x2-1)+y1y2
=x1x2+y1y2-(x1+x2)+1 =x1x2+y1y2+2 =x1x2+( =

8m 2 ? 1 1 8m 2 ? 1 1 x1+ )( x2+ )+2 8m 8m 4m 4m

3(8m 2 ? 1) 2 ? 8 .………………12 分 8(1 ? 8m 2 )

令 t=1+8m2,则 1<t<8,于是

???? ? ???? ? 3t 2 ? 8 F2 A ? F2 B = 8t 1 8 = (3t+ ). 8 t ???? ? ???? ? 6 25 所以, F2 A ? F2 B 的取值范围为[ , ) .………..14 分 2 8

- 10 -


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