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2013年高中数学解题思维一点通:解排列组合应用题的21种策略


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解排列组合应用题的 21 种策略
排列组合问题是高考的必考题,它联系实际生动有趣,但题型多样,思路 灵活,不易掌握,实践证明,掌握题型和解题方法,识别模式,熟练运用,是 解决排列组合应用题的有效途径;下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略. 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元

素捆绑成一个组,当作一个大元素 参与排列. 例 1. A, B, C , D, E 五人并排站成一排,如果 A, B 必须相邻且 B 在 A 的右边,那么 不同的排法种数有( ) A、60 种 B、48 种 C、36 种 D、24 种

解析:把 A, B 视为一人,且 B 固定在 A 的右边,则本题相当于 4 人的全排列,
A4 ? 24 种,答案: D .
4

2.相离问题插空排:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素 全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例 2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是 ( ) A、1440 种 B、3600 种 C、4820 种 D、4800 种
5 解析:除甲乙外,其余 5 个排列数为 A5 种,再用甲乙去插 6 个空位有 A62 种,不

5 同的排法种数是 A5 A62

? 3600 种,选 B .

3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩 小倍数的方法. 例 3. A, B, C , D, E 五人并排站成一排,如果 B 必须站在 A 的右边( A, B 可以不相 邻)那么不同的排法种数是( ) A、24 种 B、60 种 C、90 种 D、120 种 解析:B 在 A 的右边与 B 在 A 的左边排法数相同,所以题设的排法只是 5 个元素 全排列数的一半,即
1 2 A5 ? 60 种,选 B .
5

4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入, 第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成. 例 4.将数字 1,2,3,4 填入标号为 1,2,3,4 的四个方格里,每格填一个数, 则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有( ) A、6 种 B、9 种 C、11 种 D、23 种 解析:先把 1 填入方格中,符合条件的有 3 种方法,第二步把被填入方格的对应 数字填入其它三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填 法,共有 3×3×1=9 种填法,选 B . 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组 法. 例 5.(1)有甲乙丙三项任务,甲需 2 人承担,乙丙各需一人承担,从 10 人中
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选出 4 人承担这三项任务,不同的选法种数是( ) A、1260 种 B、2025 种 C、2520 种 D、5040 种 解析:先从 10 人中选出 2 人承担甲项任务,再从剩下的 8 人中选 1 人承担乙项 任务,第三步从另外的 7 人中选 1 人承担丙项任务,不同的选法共有
C10C8C7 ? 2520 种,选 C .
2 1 1

(2)12 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口 4 人,则不 同的分配方案有( )
4 4 A、C12C84C4 种 4 4 B、3C12C84C4 种 4 3 C、C12C84 A3 种

D、

C12C8 C4 A3
3

4

4

4



答案: A . 6.全员分配问题分组法: 例 6.(1)4 名优秀学生全部保送到 3 所学校去,每所学校至少去一名,则不同 的保送方案有多少种?
3 解析: 把四名学生分成 3 组有 C42 种方法, 再把三组学生分配到三所学校有 A3 种,

2 3 故共有 C4 A3

? 36 种方法.

说明:分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配. (2)5 本不同的书,全部分给 4 个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数 为( ) A、480 种 B、240 种 C、120 种 D、96 种 答案: B . 7.名额分配问题隔板法: 例 7:10 个三好学生名额分到 7 个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同 分配方案? 解析:10 个名额分到 7 个班级,就是把 10 个名额看成 10 个相同的小球分成 7 堆,每堆至少一个,可以在 10 个小球的 9 个空位中插入 6 块木板,每一种插法 对应着一种分配方案,故共有不同的分配方案为 C96
? 84 种.

8.限制条件的分配问题分类法: 例 8.某高校从某系的 10 名优秀毕业生中选 4 人分别到西部四城市参加中国西部 经济开发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案? 解析:因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙来分类,有以下四种情况: ①若甲乙都不参加,则有派遣方案 A84 种;②若甲参加而乙不参加,先安排甲有 3 种方法,然后安排其余学生有 A83 方法,所以共有 3A83 ;③若乙参加而甲不参加同 理也有 3A83 种;④若甲乙都参加,则先安排甲乙,有 7 种方法,然后再安排其余 8 人到另外两个城市有 A82 种,共有 7 A82 方法.所以共有不同的派遣方法总数为
A8 ? 3 A8 ? 3 A8 ? 7 A8 ? 4088 种.
4 3 3 2

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9.多元问题分类法:元素多,取出的情况也多种,可按结果要求分成不相容的几 类情况分别计数,最后总计. 例 9(1)由数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的六位数,其中个位数字 小于十位数字的共有( ) A、210 种 B、300 种 C、464 种 D、600 种
5 解析:按题意,个位数字只可能是 0,1,2,3,4 共 5 种情况,分别有 A5 个,

A4 A3 A3 , A3 A3 A3 , A2 A3 A3 , A3 A3

1

1

3

1

1

3

1

1

3

1

3

个,合并总计 300 个,选 B .

(2)从 1,2,3?,100 这 100 个数中,任取两个数,使它们的乘积能被 7 整除, 这两个数的取法(不计顺序)共有多少种? 解析:被取的两个数中至少有一个能被 7 整除时,他们的乘积就能被 7 整除,将 这 100 个 数 组 成 的 集 合 视 为 全 集 I, 能 被 7 整 除 的 数 的 集 合 记 做
A ? ?7,14, 21,? 98?

共 有 14 个 元 素 , 不 能 被 7 整 除 的 数 组 成 的 集 合 记 做 86 个元素;由此可知,从 A 中任取 2 个元素的取法有
1 1

A ? ?1, 2, 3, 4,? ,100? 共有
2

C14 ,从 A 中任取一个,又从 A 中任取一个共有 C14C86 ,两种情形共符合要求的
2 1 1 取法有 C14 ? C14C86

? 1295 种.

(3)从 1,2,3,?,100 这 100 个数中任取两个数,使其和能被 4 整除的取法 (不计顺序)有多少种? 解析:将
I ? ?1, 2, 3? ,100?

分成四个不相交的子集,能被 4 整除的数集

A ? ?4, 8,12,?100? ;能被

4 除余 1 的数集 B ? ?1, 5, 9,? 97? ,能被 4 除余 2 的数

集 C ? ?2, 6,? , 98? ,能被 4 除余 3 的数集 D ? ?3, 7,11,? 99? ,易见这四个集合中 每一个有 25 个元素;从 A 中任取两个数符合要;从 B, D 中各取一个数也符合要 求;从 C 中任取两个数也符合要求;此外其它取法都不符合要求;所以符合要求
2 1 1 2 的取法共有 C25 ? C25C25 ? C25 种.

10.交叉问题集合法:某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素 个数公式 n( A ? B) ? n( A) ? n( B) ? n( A ? B) . 例 10.从 6 名运动员中选出 4 人参加 4×100 米接力赛,如果甲不跑第一棒,乙 不跑第四棒,共有多少种不同的参赛方案? 解析:设全集={6 人中任取 4 人参赛的排列} ,A={甲跑第一棒的排列} ,B={乙 跑第四棒的排列} ,根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有:
n( I ) ? n( A) ? n( B ) ? n( A ? B ) ? A6 ? A5 ? A5 ? A4 ? 252 种.
4 3 3 2

11.定位问题优先法: 某个或几个元素要排在指定位置, 可先排这个或几个元素;
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再排其它的元素。 例 11.1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端则有不同的 排法有多少种?
1 解析: 老师在中间三个位置上选一个有 A3 种, 名同学在其余 4 个位置上有 A44 种 4

1 4 方法;所以共有 A3 A4

? 72 种。.

12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理。 例 12.(1)6 个不同的元素排成前后两排,每排 3 个元素,那么不同的排法种数 是( ) A、36 种 B、120 种 C、720 种 D、1440 种 解析:前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成 6 个不同的元素排成一排,
6 共 A6

? 720 种,选 C .

(2)8 个不同的元素排成前后两排,每排 4 个元素,其中某 2 个元素要排在前 排,某 1 个元素排在后排,有多少种不同排法? 解析:看成一排,某 2 个元素在前半段四个位置中选排 2 个,有 A42 种,某 1 个
1 5 元素排在后半段的四个位置中选一个有 A4 种, 其余 5 个元素任排 5 个位置上有 A5

1 2 5 种,故共有 A4 A4 A5

? 5760 种排法.

13.“至少” “至多”问题用间接排除法或分类法: 例 13.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取 3 台,其中至少要甲型和乙 型电视 机各一台,则不同的取法共有 ( ) A、140 种 B、80 种 C、70 种 D、35 种 解析 1:逆向思考,至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另一种型号
3 3 3 的电视机,故不同的取法共有 C9 ? C4 ? C5

? 70 种,选. C

解析 2:至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况:甲型 1 台乙型 2 台;
1 1 2 甲型 2 台乙型 1 台;故不同的取法有 C52C4 ? C5C4

? 70 台,选 C .

14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素, 再安排到一定的 位置上,可用先取后排法. 例 14.(1)四个不同球放入编号为 1,2,3,4 的四个盒中,则恰有一个空盒的 放法有多少种?
2 解析:先取四个球中二个为一组,另二组各一个球的方法有 C4 种,再排:在四

3 2 3 个盒中每次排 3 个有 A4 种,故共有 C4 A4

? 144 种.

(2)9 名乒乓球运动员,其中男 5 名,女 4 名,现在要进行混合双打训练,有 多少种不同的分组方法?
2 解析:先取男女运动员各 2 名,有 C52C4 种,这四名运动员混和双打练习有 A22 中

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2 2 排法,故共有 C52C4 A2

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? 120 种.

15.部分合条件问题排除法:在选取的总数中, 只有一部分合条件, 可以从总数中 减去不符合条件数,即为所求. 例 15.(1)以正方体的顶点为顶点的四面体共有( ) A、70 种 B、64 种 C、58 种 D、52 种 解析:正方体 8 个顶点从中每次取四点,理论上可构成 C84 四面体,但 6 个表面 和 6 个对 角面 的四 个顶点共 面都 不能构 成四面体 ,所 以四面 体实际共有
C8 ? 12 ? 58 个.
4

(2)四面体的顶点和各棱中点共 10 点,在其中取 4 个不共面的点,不同的取法 共有( ) A、150 种 B、147 种 C、144 种 D、141 种
4 解析:10 个点中任取 4 个点共有 C10 种,其中四点共面的有三种情况:①在四面

体的四个面上,每面内四点共面的情况为 C64 ,四个面共有 4C64 个;②过空间四 边形各边中点的平行四边形共 3 个;③过棱上三点与对棱中点的三角形共 6 个.
4 所以四点不共面的情况的种数是 C10 ? 4C64 ? 3 ? 6 ? 141 种.

16.圆排问题单排法:把 n 个不同元素放在圆周 n 个无编号位置上的排列,顺序 (例如按顺时钟)不同的排法才算不同的排列,而顺序相同(即旋转一下就可以 重合)的排法认为是相同的,它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之 分,下列 n 个普通排列: 因为旋转后可 a1 , a2 , a3 ? , an ; a2 , a3 , a4 ,? , an ,?; an , a1 , ? , an ?1 在圆排列中只算一种, 以重合,故认为相同, n 个元素的圆排列数有
n! n

种.因此可将某个元素固定展成

单排,其它的 n ? 1 元素全排列. 例 16. 5 对姐妹站成一圈,要求每对姐妹相邻,有多少种不同站法? 解析:首先可让 5 位姐姐站成一圈,属圆排列有 A44 种,然后在让插入其间,每 位均可插入其姐姐的左边和右边, 2 种方式, 有 故不同的安排方式 24 ? 25 不同站法. 说明:从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆形排列共有
1 m An
m

? 768 种

种不同排法.

17.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象, 元素不 受位置的约束,可逐一安排元素的位置,一般地 n 个不同元素排在 m 个不同位置 的排列数有 m n 种方法. 例 17.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习共有多少种不同方法? 解析: 完成此事共分 6 步, 第一步; 将第一名实习生分配到车间有 7 种不同方案,
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第二步:将第二名实习生分配到车间也有 7 种不同方案,依次类推,由分步计数 原理知共有 7 6 种不同方案. 18.复杂排列组合问题构造模型法: 例 18.马路上有编号为 1,2,3?,9 九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能 关掉相邻的二盏或三盏, 也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少 种? 解析: 把此问题当作一个排对模型,在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 盏不亮的灯
C5
3

种方法,所以满足条件的关灯方案有 10 种.

说明:一些不易理解的排列组合题,如果能转化为熟悉的模型如填空模型,排队 模型,装盒模型可使问题容易解决. 19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法: 例 19.设有编号为 1,2,3,4,5 的五个球和编号为 1,2,3,4,5 的盒子现将 这 5 个球投入 5 个盒子要求每个盒子放一个球, 并且恰好有两个球的号码与盒子 号码相同,问有多少种不同的方法? 解析:从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有 C52 种,还剩下 3 个球与 3 个盒子序号 不能对应,利用枚举法分析,如果剩下 3,4,5 号球与 3,4,5 号盒子时,3 号 球不能装入 3 号盒子,当 3 号球装入 4 号盒子时,4,5 号球只有 1 种装法,3 号球装入 5 号盒子时,4,5 号球也只有 1 种装法,所以剩下三球只有 2 种装法, 因此总共装法数为 2C52
? 20 种.

20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法: 例 20.(1)30030 能被多少个不同偶数整除? 解析:先把 30030 分解成质因数的形式:30030=2×3×5×7×11×13;依题意偶 因数 2 必取,3,5,7,11,13 这 5 个因数中任取若干个组成成积,所有的偶因 数为
C5 ? C5 ? C5 ? C5 ? C5 ? C5 ? 32 个.
0 1 2 3 4 5

(2)正方体 8 个顶点可连成多少队异面直线? 解析: 因为四面体中仅有 3 对异面直线,可将问题分解成正方体的 8 个顶点可构 成多少个不同的四面体,从正方体 8 个顶点中任取四个顶点构成的四面体有
C8 ? 12 ? 58 个,所以
4

8 个顶点可连成的异面直线有 3×58=174 对.

21.利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法, 它可以 将复杂的问题转化为简单问题处理. 例 21.(1)圆周上有 10 点,以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个? 解析: 因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点,一个圆的内接四 边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点,于是问题就转化为圆周上的 10 个
4 点可以确定多少个不同的四边形,显然有 C10 个,所以圆周上有 10 点,以这些点

4 为端点的弦相交于圆内的交点有 C10 个.

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(2)某城市的街区有 12 个全等的矩形组成,其中实线表示马路,从 A 到 B 的最 短路径有多少种?
B

A

解析:可将图中矩形的一边叫一小段,从 A 到 B 最短路线必须走 7 小段,其 中:向东 4 段,向北 3 段;而且前一段的尾接后一段的首,所以只要确定向东走 过 4 段的走法,便能确定路径,因此不同走法有 C74 种.

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