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【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版,选修1-1)练习:综合素质检测3]


第三章综合素质检测
时间 120 分钟,满分 150 分。

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.(2013· 北师大附中期中)已知 f ′(x0)=a,则 lim → A.-2a C.a [答案] B [解析] ∵f ′(x0)= lim → ∴ lim →

= lim →
Δx 0 Δx 0

f?x0+Δx?-f?x0-3Δx? 的值为( 2Δx

)

B.2a D.-a

f?x0+Δx?-f?x0? =a, Δx

Δx 0

f?x0+Δx?-f?x0-3Δx? 2Δx f?x0+Δx?-f?x0?+f?x0?-f?x0-3Δx? 2Δx

Δx 0

f?x0+Δx?-f?x0? 3 f?x0-3Δx?-f?x0? 1 = lim + lim 2Δx→0 Δx 2Δx→0 -3Δx a 3a = + =2a,故选 B. 2 2 1 2. (2013· 山西省太原五中月考)已知曲线 y=x3-1 与曲线 y=3- x2 在 x=x0 处的切线互 2 相垂直,则 x0 的值为( 3 A. 3 C. 3 [答案] D [解析] 由导数的定义容易求得,曲线 y=x3-1 在 x=x0 处切线的斜率 k1=3x2 0,曲线 y 1 =3- x2 在 x=x0 处切线的斜率为 k2=-x0, 由于两曲线在 x=x0 处的切线互相垂直, ∴3x2 (- 0· 2 3 x0)=-1,∴x0= 9 ,故选 D. 3 ) ) 3 B. 3 3 9 3

3 D.

1 3.f′(x)是函数 f(x)= x3+2x+1 的导函数,则 f′(-1)的值是( 3 4 A.- 3 B.-3

C.-1 [答案] D

D.3

[解析] 因为 f′(x)=x2+2,所以 f′(-1)=(-1)2+2=3. x2-1 4.函数 y= 的导数是( x x2-1 A.y′= x x2-1 C.y′= 2 x [答案] B x2-1 ?x2-1?′x-x′?x2-1? [解析] y′=( )′= x x2 = 2x2-x2+1 x2+1 = 2 . x2 x ) x2+1 B.y′= 2 x 1-x2 D.y′= x

π 5.设正弦函数 y=sinx 在 x=0 和 x= 附近的瞬时变化率为 k1、k2,则 k1、k2 的大小关 2 系为( ) B.k1<k2 D.不确定

A.k1>k2 C.k1=k2 [答案] A [解析] ∵y=sinx,∴y′=cosx, π ∴k1=cos0=1,k2=cos =0, 2 ∴k1>k2.

6.曲线 y=x3 在点 P 处的切线的斜率为 k,当 k=3 时,P 点坐标为( A.(-8,-2) C.(2,8) [答案] B [解析] 设点 P 的坐标为(x0,y0),
2 ∴k=3x0 =3,∴x0=± 1,

)

B.(-1,-1)或(1,1) 1 1 D.(- ,- ) 2 8

∴P 点坐标为(-1,-1)或(1,1). 1 7.物体运动方程为 s= t4-3t2,则 t=4 时的瞬时速度为( 4 A.4 C.16 [答案] D B.64 D.40 )

1 [解析] ∵s′=( t4-3t2)′=t3-6t, 4 ∴s′(4)=43-6×4=40. 8. (2014· 合肥一六八中高二期中)若可导函数 f(x)的图像过原点, 且满足 lim → 则 f ′ (0)=( A.-2 C.1 [答案] B [解析] ∵f(x)图像过原点,∴f(0)=0, ∴f ′(0)= lim → ∴选 B. 9.(2013· 烟台质检)已知二次函数 f(x)的图像如图所示,则其导函数 f ′(x)的图像大致形 状是( )
Δx 0 Δx 0

f?Δx? =-1, Δx

) B.-1 D.2

f?0+Δx?-f?0? f?Δx? = lim =-1, Δx Δx→0 Δx

[答案] B [解析] 依题意可设 f(x)=ax2+c(a<0,且 c>0),于是 f ′(x)=2ax,显然 f ′(x)的图像 为直线,过原点,且斜率 2a<0,故选 B. 10. 等比数列{an}中, a1=2, a8=4, 函数 f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8), 则 f′(0)=( A.26 [答案] C [解析] f′(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-a8)+x· [(x-a1)(x-a2)…(x-a8)]′ ∴f′(0)=a1a2…a8. ∵{an}为等比数列,a1=2,a8=4, ∴f′(0)=a1a2…a8=(a1a8)4=84=212. 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,将正确答案填在题中横线上) f?x0+3Δx? 1 11.设 f(x0)=0,f′(x0)= ,则 lim =________. 2 Δx Δx→0 B.29 C.212 D.215 )

[答案] [解析] =3 lim →

3 2
Δx→0

lim

f?x0+3Δx? f?x0+3Δx?-f?x0? = lim Δx Δx Δx→0

Δx 0

f?x0+3Δx?-f?x0? 3 =3f′(x0)= . 3Δx 2

1 1 π 12.设 f(x)= + ,则 f′( )=________. sinx cosx 3 2 [答案] - +2 3 3 1 1 cosx sinx [解析] f′(x)=( + )′=- 2 + 2 , sinx cosx sin x cos x 1 3 - 2 2 π 2 ∴f′( )= + =- +2 3. 3 1 3 3 2 ? ?2 ?2? 2 13.(2014· 杭州质检)若 f(x)=x2-2x-4lnx,则 f ′(x)>0 的解集为________. [答案] (2,+∞) [ 解析 ] 4 由 f(x)= x2- 2x-4lnx,得函数定义域为 (0,+ ∞),且 f ′(x)= 2x- 2- = x

2x2-2x-4 x2-x-2 ?x+1??x-2? =2· =2· ,f ′(x)>0,解得 x>2,故 f ′(x)>0 的解集为(2,+ x x x ∞). 14.(2014· 枣阳一中、襄州一中、宣城一中、曾都一中高二期中联考)若曲线 y= x在点 P(a, a)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 2,则实数 a 的值是________. [答案] 4 [解析] y′= 1 1 ,切线方程为 y- a= (x-a), 2 x 2 a a , 2

令 x=0 得,y=

令 y=0 得,x=-a, 1 a 由题意知 · · a=2,∴a=4. 2 2 15. 已知函数 f(x)的导函数 f′(x), 且满足 f(x)=3x2+2xf′(2), 则 f′(5)=____________. [答案] 6 [解析] ∵f′(x)=6x+2f′(2), ∴f′(2)=12+2f′(2). ∴f′(2)=-12. ∴f′(x)=6x-24.

∴f′(5)=30-24=6. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,前 4 题每题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分) 16.求下列函数的导数. (1)y=ex+xlnx; sinx-x (2)y= . x [答案] (1)y′=ex+lnx+1 x· cosx-sinx (2)y′= x2

1 [解析] (1)y′=(ex)′+(xlnx)′=ex+lnx+x·=ex+lnx+1. x ?sinx-x?′· x-x′?sinx-x? (2)y′= x2 = ?cosx-1?x-sinx+x x· cosx-sinx = . x2 x2

1 17.求曲线 y=f(x)= x2-3x+2lnx 在(3,f(3))处切线的斜率及切线方程. 2 2 [答案] 斜率 3 2 13 切线方程 y= x- +2ln3 3 2

[解析] 由已知 x>0, 2 ∴f′(x)=x-3+ . x 2 9 9 曲线 y=f(x)在(3,f(3))处切线的斜率为 f′(3)= .又 f(3)= -9+2ln3=- +2ln3. 3 2 2 9 2 ∴方程为 y-(- +2ln3)= (x-3), 2 3 2 13 即 y= x- +2ln3. 3 2 18.求过原点作曲线 C:y=x3-3x2+2x-1 的切线方程. [答案] x+y=0 或 23x-4y=0 [解析] 设切点为(x0,y0), ∵y′=3x2-6x+2,
2 ∴切线斜率为 3x0 -6x0+2, 2 ∴切线方程为 y-y0=(3x0 -6x0+2)(x-x0)

∵切点在曲线 C,
2 ∴y0=x3 0-3x0+2x0-1,



又切线过原点, ∴-y0=(3x2 0-6x0+2)(-x0),
2 由①②得 0=-2x3 0+3x0-1,



2 ∴2x3 0-3x0+1=0,

因式分解得:(x0-1)2(2x0+1)=0, 1 ∴x0=1 或 x0=- , 2 1 23 ∴两个切点为(1,-1),(- ,- ) 2 8 23 23 1 ∴两条切线方程为 y+1=-1(x-1)和 y+ = (x+ ) 8 4 2 即 x+y=0 或 23x-4y=0. 19.求满足下列条件的函数 f(x). (1)f(x)是一元三次函数,且 f(0)=0,f′(0)=0,f′(1)=-3,f′(3)=0; (2)f′(x)是一次函数,且 x2f′(x)-(2x-1)f(x)=1. 1 9 [答案] (1)f(x)= x3- x2 2 4 (2)f(x)=2x2+2x+1

[解析] (1)设 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0), 则 f′(x)=3ax2+2bx+c. f?0?=0=d ? ?f′?0?=0=c 由已知,得? f′?1?=3a+2b+c=-3 ? ?f′?3?=0=27a+6b+c 1 9 解之,得 a= ,b=- ,c=0,d=0. 2 4 1 9 故 f(x)= x3- x2. 2 4 (2)由于 f′(x)为一次函数,则 f(x)必为二次函数. 令 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则 f′(x)=2ax+b, 代入 x2f′(x)+(-2x+1)f(x)=1 中, x2(2ax+b)+(-2x+1)(ax2+bx+c)=1, 即(-b+a)x2+(b-2c)x+(c-1)=0, -b+a=0 ? ? 由多项式恒等的条件知?b-2c=0 ? ?c-1=0 a=2 ? ? 解之,得?b=2 ? ?c=1





.

所以 f(x)=2x2+2x+1. 20.已知函数 f(x)=2x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图像都过点 P(2,0),且在点 P 处有公共切

线,求 f(x),g(x)的表达式. [答案] f(x)=2x3-8x,g(x)=4x2-16 [解析] ∵f(x)=2x3+ax 的图像过点 P(2,0), ∴a=-8,∴f(x)=2x3-8x. ∴f′(x)=6x2-8. 对于 g(x)=bx2+c 的图像过点 P(2,0),得 4b+c=0. 又 g′(x)=2bx,∴g′(2)=4b=f′(2)=16. ∴b=4.∴c=-16. ∴g(x)=4x2-16. 综上,可知 f(x)=2x3-8x,g(x)=4x2-16. 1 21.已知点 M(0,-1),F(0,1),过点 M 的直线 l 与曲线 y= x3-4x+4 在 x=2 处的切 3 线平行, (1)求直线 l 的方程; (2)求以 F 为焦点,l 为准线的抛物线 C 的方程. [答案] (1)y=-1 (2)x2=4y

1 [解析] (1)令 y=f(x)= x3-4x+4,得 f′(x)=x2-4, 3 ∴f′(2)=22-4=0. ∴直线 l 的斜率为 0,直线方程为 y=-1. p (2)抛物线以点 F(0,1)为焦点,y=-1 为准线,设抛物线方程为 x2=2px,则 =1,即 p 2 =2,∴x2=4y.


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