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新疆乌鲁木齐地区2015届高三第一次诊断性测验数学(理)试题(WORD版,有答案)


乌鲁木齐 2015 年高三年级第一次诊断性测验 理科数学 第Ⅰ卷 (选择题
一、 序号 答案 1. 已知集合 M ? {x | x ? 0}, N ? {?2,0,1} ,则 M 1 2 3 4 5 6

共 60 分)
7 8 9 10 11 12

选择题:共 12 小题,每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

N?

A. {x | x ? 0}
2.在复平面内复数 z ?

B. {?2, 0}
1 ? 2i 对应的点在 1? i B. 第二象限

C. {x | ?2 ? x ? 0}

D. {0,1}

A. 第一象限

C. 第三象限

D. 第四象限

3.设函数 f ( x) 满足 f (sin ? ? cos ? ) ? sin ? cos ? ,则 f (0) ?

A. ?

1 2
x

B. 0

C.

1 2

D. 1

4. "?x ? R, e ? 2 ? m" 是 "log2 m2 ? 1" 的

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件 C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

5.将函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ), ? ? ?

? ?

??

? ? 的图像向左平移 6 个单位后的图像关于原点对称,则函数 f ( x) 在 2?

[0, ] 上的最小值为 2

?

A.

3 2

B.

1 2

C.

?

1 2

D. ?

3 2
A

6.一个几何体的三视图及部分数据如图所示,侧视图为等腰三角形,俯视图为 正方形,则这个几何体的体积为

A.

1 3

B.

2 3

C.

1

D.

7.已知 x , y 分别是区间 [0,

?
2

4 3
C
1 主视图

2

2

] 内随机取得实数,则使得 y ? sin x 的概率是 2

B

1 侧视图

A.

4

?

2

B.

?

C.

1 2

D.

2

?2
1 俯视图

8.设 ?an ? 是公差不为零的等差数列, a2 ? 2 ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列,则数列

?an ? 的前 n 项和 Sn ?
A.

n 2 7n ? 4 4

B.

n 2 3n ? 2 2

C.

n 2 3n ? 4 4

D.

n2 n ? 2 2

9.执行如图程序在平面直角坐标系上打印一系列点,则打印出的点在圆 x2 ? y 2 ? 10 内的个数是

A. 2
10.若双曲线

B. 3

C. 4

D. 5

x2 y 2 2 ? 2 ? 1, (a ? 0, b ? 0) 的渐近线与圆 ? x ? 2 ? ? y 2 ? 1 相离,则其离心率 e 的取值范围是 2 a b
B. e ?

A. e ? 1

1? 5 2

C. e ?

2 3 3

D. e ?

5 2

11.过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线 l 交抛物线 A, B ,交其准线与点 C ,若 , | AF |? 3 ,则抛 物线的方程为

A. y 2 ? 12 x

B.

y2 ? 9x

C. y 2 ? 6 x

D. y 2 ? 3x

12.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 an ? Sn ? 1 ,则 Sn 的取值范围是

A. (0,1)

B.

( 0 ?? , )

1 C. [ ,1) 2

1 D. [ , ??) 2

第Ⅱ卷 (非选择题

共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题 考生都必须作答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。
?2 x ? y ? 4 ? 13.已知 x , y 满足条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ?x ? 2 y ? 2 ?
14.正三角形

ABC 的边长为 2 3 , 将它沿高 AD 翻折, 使二面角 B ? AD ? C 的大小为

? , 则四面体 ABCD 3

的外接球的体积为

15.在 ?PQR 中,若 ,则 ?PQR 面积的最大值为 16.已知函数 f ( x) ? x3 ? 3a2 x ? 6a2 ? 3a(a ? 0) 有且仅有一个零点 x0 ,若 x0 ? 0 ,则 a 的取值范围是

三. 解答题: 第 17~21 题每题 12 分, 解答应在答卷的相应各题中写出文字说明, 证明过程或演算步骤。
17.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,且 a cos B ? b cos A ? (1)求证 tan A ? 3 tan B 。 (2)若 B ? 45 , b ? 5 ,求 ?ABC 的面积。 18.如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?BCA ? 90 , AC ? BC ? AA1 ? 2 , E , F 分别是 CC1 , A1B1 的 中点。

1 c。 2

(1)求证 AE ? 平面BCF ; (2)求二面角 A ? CF ? B 的平面角的余弦值。

1 ? x ? 21 。 19.某市现有居民 300 万人, 每天有 1 % 的人选择乘出租车出行, 记每个人的乘车里程为 x(km) ,
由调查数据得到 x 的频率分布直方图(如图) 。在直方图的乘车里程分组中,可以用各组的区间中点值代 表该组的各个值,乘车里程落人该区间的频率作为乘车里程取区间中点值得概率。现规定乘车里程 x ? 3 时,乘车费用为 10 元;当 x ? 3 时,每超出 1km (不足 1km 时按 1km 计算) ,乘车费用增加 1.3 元。

(Ⅰ)求从乘客中任选 2 人乘车里程相差超过 10 km 的概率; (Ⅱ)试估计出租车公司一天的总收入是多小?(精确到 0.01 万元)

x2 y2 2 20.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的,离心率为 , F1 , F2 是其焦点,点 P 在椭圆上。 a b 2
(Ⅰ)若 ?F1PF2 ? 90 ,且 ?PF 1 F2 的面积等于 1 。求椭圆的方程;
?

(Ⅱ)直线 PF1 交椭圆于另一点 Q ,分别过点 P, Q 作直线 PQ 的垂线,交 x 轴于点 M , N ,

当 | MN | 取最小值时,求直线 PQ 的斜率。 21.已知函数 f ( x) ? ln(a ? x) ? ln(a ? x)(a ? 0) (1)曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? 2 x ,求 a 的值; (2)当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 x ?

2 x3 ,试求 a 的取值范围。 3

请考生在第 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用 2 B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑
22.(本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 过以 AB 为直径的圆上 C 点作直线交圆于 E 点,交 AB 挺长线于 D 点,过 C 点作圆的切线交 AD 于 F 点, 交 AE 挺长线于 G 点,且 GA ? GF 。

(Ⅰ)求证 CA ? CD ; (Ⅱ)设 H 为 AD 的中点,求证 BH ? BA ? BF ? BD 23.(本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , P 是 直 线 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 上 的 一 点 , Q 是 射 线 OP 上 的 一 点 , 满 足

| OP | ? | OQ |? 1 。
(Ⅰ)求 Q 点的轨迹; (Ⅱ)设点 M ( x, y ) 是(Ⅰ)中轨迹上任意一点,求 x ? 7 y 的最大值。 24.(本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? a | , a ? 0 (Ⅰ)证明 f ( x ) ? f ( ? ) ? 2 (Ⅱ)若不等式 f ( x ) ? f ( 2 x ) ?

1 x

1 的解 2 集非空,求 a 的取值范围。 2

乌鲁木齐地区 2015 年高三年级第一次诊断性测验

理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 选项 1 B 2 B 3 A 4 A 5 D 6 A 7 A 8 D 9 B 10 C 11 D 12 C

1.选 B.【解析】∵ M ? x x ? 0 , N ? ??2,0,1? ,∴ M 2.选 B.【解析】∵ z ?

?

?

N ? ??2,0? ,故选 B.

1 ? 2i ?1 ? 2i ??1 ? i ? 1 3 ? 1 3? ? ? ? ? i ,对应的点为 ? ? , ? 在第二象限,故选 B. 1? i 2 2 ?1 ? i ??1 ? i ? ? 2 2?

2 2 3.选 A.【解析】依题意,令 sin ? ? cos ? ? 0 ,∴ sin ? ? cos ? ? 2sin ? cos ? ? 0 ,

∴ 1 ? 2sin ? cos ? ? 0 ,故 sin ? cos ? ? ?

1 1 ,∴ f ? 0 ? ? ? ,故选 A. 2 2

2 x 4. 选 A. 【解析】∵ e ? 0 ,∴ e - 2 > - 2 ,又 ?x ? R, e x ? 2 ? m ,∴ m ? ?2 ;由 log2 m2 ? 1,得

m ? ? 2 ,或 m ? 2 ;∵ “ m ?

2 ”? “ m < -

2 ,或 m >

2 ”故选 A.

5.选 D.【解析】 f ? x ? ? sin ? 2x ? ? ? 的图象向左平移

? ? ? ? 个单位得 g ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? ,它的图象关 3 6 ? ?
, 又? ?

于原点对称, ∴

?
3

? ? ? k? ? k ? Z ? , 即 ? ? k? ?

?
3

?
2

, ∴? ? ?

?
3

, ∴f

? x ? ? sin ? ? 2x ?
?

??
? 3?

∵ x ? ?0,

3 ? ? ? 2? ? ? ?? ? ?? ,∴ 2 x ? ? ? ? , ,∴ f ? x ? 在 ? 0, ? 上的最小值为 f ? 0 ? ? ? ,故选 D. ? ? 2 3 ? 3 3 ? ? 2? ? 2?
P

6.选 A.【解析】该几何体的直观图如图所示:为一四棱锥,其底 面 ABCD 是正方形, PC ^ 平面 AC , AC = 1 , PC = 2 .

1 ,∴正方形 2 1 1 1 1 1 ABCD 的面积 S = ,∴V = Sh = 创 2 = .故选 A. 2 3 3 2 3
AD 2 + DC 2 = AC 2 ,又 A D = DC ,∴ AD 2 =
A

D

C B

7.选 A.【解析】已知 x, y 都是区间 ? 0,

? ?? 内任取的一个实数,则 ? 2? ?

x, y 满足的区域

面积是由 x ? 0, x ?
?

?
2

, y ? 0, y ?
?
2 0

?
2

围成的正方形,其面积是

? ?
2 ? 2

?

?2
4

,而满足 y ? sin x 的区域面

积为

?

2 0

sin xdx ? ? cos x

? 1∴ P ?

1

?

2

?

4

?2

.故选 A.

4

8.选 D.【解析】设 ?an ? 的公差为 d ,∴ a1 ? 2 ? d , a3 ? 2 ? d , a9 ? 2 ? 7d ,又 a1 , a3 , a9 成等比数列,∴
2 a3 ? a1a9 ,即 ? 2 ? d ? ? ? 2 ? d ?? 2 ? 7 d ? , d ? 0 ,故 d ? 1 , a1 ? a2 ? d ? 1 ,∴
2

Sn ? na1 ?

n ? n ? 1? n2 n d ? ? ,故选 D. 2 2 2

骣 1÷ 9.选 B.【解析】执行第 1 次运算打印点 (1,1) , i = 5 ;执行第 2 次运算打印点 ? , i = 4 ;执行第 3 次 ?2, ÷ ? 桫 2÷ 骣 1÷ 骣 1÷ 骣 1÷ 3, ÷ 4, ÷ 5, ÷ ,i = 1 ; 运算打印点 ? ,i = 3 ;执行第 4 次运算打印点 ? ,i = 2 ;执行第 5 次运算打印点 ? ? ? ? ÷ ÷ ? ? ? 桫3 桫4 桫 5÷ 骣 1÷ 骣 1 ÷ 骣 1÷ 6, ÷,i = 0 ;结束循环,其中在圆 x 2 ? y 2 ? 10 内的点有 (1,1) ,? 2, ÷,? 执行第 6 次运算打印点 ? ? ? ?3, ÷ ? ? 桫 6÷ 桫 2÷ ? 桫 3÷
共 3 个,故选 B.

x2 y2 10.选 C.【解析】双曲线 2 ? 2 ? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? 的渐近线是 y = a b

b x ,圆 a
> 1 ,即
4(c 2 - a 2 ) c2 >1

?x

? 2 ? ? y 2 ? 1 的圆心是 (2,0) ,半径是 1 ,依题意,有
2

2b a2 + b 2

化简得

2 3 c2 4 .故选 C. > ,即 e ? 2 a 3 3

11.选 D.【解析】分别过 A, B 点作准线的垂线,垂足分别为 A1,B1 , ∴ BF ? BB1 , AA1 ? AF . 又 ∵ B C ? 2 B F, ∴ B C ? 2 B1B , ∴ ?CBB1 ? 60 ∴

? AFD

? CFO

60 ,又 AF = 3 ,∴ FD ?

3 3 3 ,∴ AA 1 ? p ? ? 3 ,∴ p ? ,∴抛物线方程为 2 2 2

y 2 ? 3x .故选 D.
12.选 C.【解析】已知 an ? S n ? 1 ,当 n = 1时,得 a1 =

1 ;当 n ? 2 时, an ?1 ? S n ?1 ? 1 ,两式相减,得 2
an 1 1 = (n ? 2) ,∴数列 ?an ? 是首项为 , an - 1 2 2

an - an - 1 + an = 0 ,2an = an - 1 ,由题意知,an - 1 ? 0 ,∴

1 公比为 的等比数列,∴ S n = 2

1轾 犏 12犏 犏 臌 1-

骣 1÷ ? ÷ ? ? 桫 2÷ 1 2

n

骣 1÷ = 1- ? ÷, ? ? 桫 2÷

n

∴ S n ? ? ,1? .故选 C. ?2 ?

?1 ?

2x+y=4 y

x-y=1 x-2y=2

o

x x+2y=z

二、填空题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.填 2 .【解析】如图可知 z ? x ? 2 y 的最小值是 2 . 14.填

13 13p .【解析】由题意得四面体 A BCD 是底面边长为 3 的正三角形,侧棱 AD 垂直底面,且 6

AD ? 3 ,AB ? AC ? 2 3 ,BD ? BC ? DC ? 3 ,则外接球球心在过底面中心垂直于底面的垂
线上,且到底面的距离等于 AD 的一半,∴ R =

骣 3 2 ? ÷ +1 = ? ÷ ? 桫 2÷

2

13 2

4 4 骣 ? 13 ÷ ÷ ∴V 球 = p R 3 = p ? ÷ ? 3 3 ? 桫2 ÷

3

13 13p . 6

P , Q , R 所对的边分别为 p ,q , r 15.填 12 .【解析】在 D PQR 中设 行
由题意知: qr cos ? P

7 , (PQ - PR ) = 36 ,即 r 2 - 2qr 仔 cos P + q 2 = 36

2

可知 r + q = 50 又 sin ? P

2

2

1 - cos ? P

2

骣 7÷ ÷ 1- ? ? ÷ ? qr ÷ 桫

2

∴ S D PQR = 而 2qr ? r 2

1 rq sin ? P 2

1 49 1 2 rq 1= (qr ) - 49 2 2 (qr ) 2

q 2 = 50 ,当且仅当 q = r = 5 时等号成立

2 所以,当且仅当 q = r = 5 时 (S DPQR )max = 2 25 - 49 = 12

1

16.填

32

3

< a<

3+ 3 .【解析】已知 f (x ) = x 3 - 3a 2 x - 6a 2 + 3a (a > 0) 2

则 f? ( x) = 3x2 - 3a2 ① f? ( x) ? 0 恒成立,则 a = 0 ,这与 a > 0 矛盾. ②若 f ? ( x) ? 0 恒成立,显然不可能. ③ f? ( x) = 0 有两个根 a,- a ,而 a > 0 ,则 f ( x ) 在区间 (- ? , a ) 单调递增,在区间 (- a, a ) 单调递减, 在区间 (a, + 解得:

) 单调递增.故 f (- a) < 0 ,即 2a 2 - 6a + 3 < 0 ,
3 < a<

3+ 3 . 2 2 三、解答题:共 6 小题,共 70 分. 17. (12 分) 1 (Ⅰ)∵ a cos B - b cos A = c 由正弦定理得 2

3-

1 1 1 sinC = sin 轾 p - (A + B ) = sin (A + B ) 臌 2 2 2 1 ∴ sin A cos B - sin B cos A = (sin A cos B + cos A sin B ) 2 1 3 即 sin A cos B = sin B cos A ,易知 A 拱90 ,且 B 拱90 , 2 2 1 上式两边除以 cos A cos B ,得 tan A = 3tan B ?????????????? 6 分 2 3 10 10 , cos A = (Ⅱ)∵ tan A = 3 ,∴ sin A = , 10 10 a b 由 ,又 b = 5 , B = 45 ,得 a = 3 = sin A sin B 3 10 2 10 2 2 5 ? ? 而 sin C = sin ( A + B ) = sin A cos B + cos A sin B = 10 2 10 2 5 1 1 2 5 3 5? 3 ?12 分 ∴ S D ABC = ab sin C = 创 z 2 2 5 sin A cos B - sin B cos A =
18. (12 分) (Ⅰ)根据题意,建立如图空间直角坐标系 C 1 - xyz : 则 A (0, 2, 2), B (2,0, 2),C (0,0, 2), E (0,0,1), F (1,1,0)
C1 B C A

E

AE = (0,- 2,- 1), BC = (- 2,0,0), BF = (- 1,1,- 2)
∵ AE ?BC

A1 F

y

0

A E? B F 0 ∴ AE ^ BC , AE ^ BF

x

B1

即 A E ^ BC , AE ^ BF ,又 BC ? 平面 BCF ,且 BC ? BF ∴ AE ^ 平面BCF ?? ??6 分 (Ⅱ)设平面 ACF 的法向量 n1 = ( x, y, z) ∵ CA = (0,2,0),CF = (1,1, - 2)

B

ì ? n1 ?CA 由? í ? ? ? n1 ?CF

0

ì 2y = 0 ? 得? ,令 z = 1 ,得 x = 2 ,∴ n1 = (2,0,1) í 0 ? ? ? x + y - 2z = 0
n1 ×n2 1 = n1 n2 5

同理可得平面 BCF 的一个法向量 n2 = (0, 2,1) ,∴ cos n1 , n2 =

由图判断二面角 A - CF - B 的平面角为钝角,∴其余弦值为 -

1 .???12 分 5

19. (12 分) 根 据 题 意 得 到 x 取 的 各 组 中 点 值 依 次 为 3, 7,11,15,19 ; x 取 这 些 中 点 值 的 概 率 依 次 为

0.25,0.4,0.2,0.1,0.05

(Ⅰ)从乘客中任选 2 人,其乘车里程相差超过 10 km 有 3 种情况: 3 km 和 15 km; 3 km 和 19 km; 7 km 和 19 km . ∴ 从 乘 客 中 任 选 2 人 , 其 乘 车 里 程 相 差 超 过 10km 的 概 率 为 : P ? 0.25 ? 0.1 ? 0.25 ? 0.05 ? 0.4 ? 0.05 ? 0.0575 ?????????? 5 分 (Ⅱ)答案一: 依题意乘客被简化为只有五类,其乘车里程依次为 3km,7km,11km,15km,19km. 乘车里程为 3km 的乘客其打车总费用 300 ?1% ? 0.25 ?10=7.5 (万元) 乘车里程为 7km 的乘客其打车总费用 300 ?1% ? 0.4 ? ?10+1.3? 4? =18.24 (万元) 乘车里程为 11km 的乘客其打车总费用 300 ?1%? 0.2 ? ?10+1.3? 8? =12.24 (万元) 乘车里程为 15km 的乘客其打车总费用 300 ?1%? 0.1? ?10+1.3?12? =7.68 (万元) 乘车里程为 19km 的乘客其打车总费用 300 ?1%? 0.05 ? ?10+1.3?16? =4.62 (万元) ∴出租车公司一天的总收入为 7.5+18.24+12.24+7.68+4.62=50.28 (万元)?12 分 答案二: 依题意,将乘客按其乘车里程分为五组,分别计算每一组乘客的乘车总费用为: 第一组:

300 ?1% ? ? ?10 ? 2 ? 0.0625+ ?10+1?1.3? ?1? 0.0625+ ?10+2 ?1.3? ?1? 0.0625? ?
轾 = 300创 1% 0.0625创 40+(1+2) 1.3 =8.23125 臌
第二组:

8.23 (万元)

300创 1% 轾 1.3) 1创 0.1+(10+4 1.3)创 1 0.1+(10+5创 1.3) 1创 0.1+(10+6 1.3)创 1 0.1 (10+3创 臌 轾 300创 1% 0.1创 40+(3+4+5+6) 1.3 =19.02 (万元) 臌
第三组:

=

300创 1% 轾 1.3) 1创 0.05+(10+8 1.3)创 1 0.05+(10+9创 1.3) 1创 0.05+(10+10 1.3)创 1 0.05 (10+7创 臌

轾 = 300创 1% 0.05创 40+(7+8+9+10) 1.3 =12.63 (万元) 臌
第四组:

300创 1% 轾 1.3) 1创 0.025+(10+12 1.3)创 1 0.025+(10+13创 1.3) 1创 0.025+(10+14 1.3)创 1 0.025 (10+11创 臌

轾 = 300创 1% 0.025创 40+(11+12+13+14) 1.3 =7.875 臌
第五组:

7.88 (万元)

300创 1% 轾 1.3) 1创 0.0125+(10+16 1.3)创 1 0.0125+(10+17创 1.3) 1创 0.0125+(10+18 1.3)创 1 0.0125 (10+15创 臌

轾 = 300创 1% 0.0125创 40+(15+16+17+18) 1.3 =4.7175 臌

4.72 (万元)

∴出租车公司一天的总收入为 8.23+19.02+12.63+7.88+4.72=52.48 (万元)???? 12 分 以上两种答案均视为正确. 20. (12 分)

(Ⅰ)已知椭圆

c 2 2 x2 y2 ,即 = ,又∵ c 2 = a 2 - b 2 + 2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为 2 a 2 2 a b 1 又∵ ? F1PF2 90 ,∴ SDF1PF2 = PF1 ? PF2 1 , 2
2

∴ a 2 = 2b 2

由 点 P 在 椭 圆 上 , ∴ PF1 + PF2 = 2a , 在 Rt D F1PF2 中 , PF1 + PF
2 2 可得 b = 1 , a = 2 ∴椭圆的标准方程为

2 2

= 4c 2

x2 + y 2 = 1 ?????????? 5 分 2

(Ⅱ)不妨设 F 1 是左焦点, P ( x 1 , y 1 ) , Q ( x 2 , y 2 ) 依题意知 PQ ^ PM , PQ ^ QN ,点 M , N 分别在 x 轴 上,∴直线 PQ 的倾斜角不等于 90 ° . 设直线 PQ 的斜率为 k ,倾斜角为 q ,则直线 PQ 的方程为: y = k (x + c )

ì y = k ( x + c) ? ? ? 解方程组 í x 2 ,得: (b 2 + a 2 k 2 )x 2 + 2a 2ck 2 x + a 2c 2 k 2 - a 2b 2 = 0 y2 ? + = 1 ? 2 ? b2 ? ?a
设此方程的两个根为 x 1 , x 2 ,由韦达定理得 x1 + x2 = 且 y 1 = k (x 1 + c ) , y 2 = k (x 2 + c ) 可得 PQ =

- 2a 2 ck 2 a 2 c 2 k 2 - a 2b 2 , x x = 1 2 b2 + a 2 k 2 b2 + a 2 k 2

(x 1 - x 2 ) + ( y 1 - y 2 ) = 1 + k 2 ? (x 1 x 2 ) - 4x 1x 2
2

2

2

2

骣 2a 2 k 2c ÷ 2ab 2 (1 + k 2 ) a 2 k 2c 2 - a 2b 2 ÷ = 1+ k 2 ? ? 4 = ? 2 2 2÷ ? b 2 + a2k 2 b 2 + a2k 2 桫b + a k ÷

故 MN = 又∵ e = ∴ MN
2

PQ cos q

=

2ab 2 (1 + k 2 ) 1 + k 2 b 2 + a2k 2



c 2 = , a 2 = b 2 + c 2 ∴ a 2 = 2b 2 a 2

=

4a 2 (1 + k 2 )3 ,令 t = 1 + k 2 (t (1 + 2k 2 )2

1) , f (t ) =

t3 (2t - 1) 2

则 f? (t ) =

3t 2 (2t - 1) 2 - 4(2t - 1)t 3 t 2 (2t - 1)(2t - 3) = (2t - 1) 4 (2t - 1) 4

∴ f? (t ) = 0 ,得 t = 0 ,或 t =

3 1 ,或 t = 2 2

当 1 #t

轾3 3 1, 上为减函数, 时, f ? (t ) ? 0 ,故函数 f (t ) 在 犏 犏 2 臌2



骣 3 3 (t ) > 0 ,故函数 f (t ) 在 ? < t 时, f ? ? ,+ ? 桫 2 2

÷ ÷ ÷上为增函数,

骣 3 ÷ 27 ∴ f (t ) 有最小值 f ? , ÷= ? ? 桫 2 ÷ 32
∴ MN 取最小值

3 6a 3 时, 1 + k 2 = ,即 k = 4 2

2 .?????????? 12 分 2

21. (12 分) (Ⅰ)已知 f (x ) = ln(a + x ) - ln(a - x ) (a > 0) 则 f ' ( x ) =

1 1 2a + = 2 , a+ x a- x a - x2
∴a= 1 ????? 4 分

2a 2 2 = ,由题意知 f ' (0) = 2 ,∴ = 2 2 a a a 3 2x (x 0) (II)令 g (x ) = f (x ) - 2x 3 f ' (0) =

? 骣 2 x3 ÷ 2a ÷ ( x) = ? f ( x ) 2 x = f ( x) - 2 - 2 x 2 = 2 - 2 - 2x2 则 gⅱ ? ÷ 2 ÷ ? 3 a - x 桫

=
i)当 0 < a 当0? x

2 ( x4 - (a2 - 1) x2 + a - a2 ) a - x2
2

1 时, a 2 - 1

0 , a - a2

0

a 时, x 4 - (a 2 - 1)x 2 + a - a 2

0 ,即 g? ? x ? ? 0

∴函数 g ( x ) 在 [0, a ) 上为增函数 ∴ g (x ) ? g (0)

0 ,即当 0 < a

1 时, f (x ) ? 2x

2x 3 3

ii)当 a > 1 时, a 2 - 1 > 0 , a - a 2 < 0 ∴0< x <

a 2 - 1 < a 时, x 2 - (a 2 - 1) < 0 , x2 轾 x2 - (a 2 - 1) < 0 犏 臌

从而 x 4 - (a 2 - 1)x 2 + a - a 2 < 0 ,即 g? ? x ? ? 0 从而函数 g ( x ) 在 0, a 2 - 1 上为减函数 ∴当 0 < x <

(

)

a 2 - 1 时 g (x ) < g (0) = 0 ,这与题意不符
2x 3 , a 的取值范围为 0 < a 3
1

综上所述当 x ? 0 时, f (x ) ? 2x

????? 12 分

22. (10 分) GFA , ∵ GC 与圆相切于 C ∴ ? EAC (Ⅰ)∵ GA = GF ∴ ? GAF CAD, GFA = ? FCD CDA ,∴ ? CAD ∵ ? GAF ? EAC 行

? GCE

FCD

CDA

∴ CA = CD . ???????????????????????? 5 分 (Ⅱ)∵ H 为 AD 的中点, CA = CD ,∴ CH ^ AB ,连结 BC , ∵ AB 是直径, C 点在圆上∴ ? ACB 90 , ∴ BH ?BA BC 2 , CAB, CAB = CDA ,∴ ? BCF ∵ ? BCF 行 D ,又∵ ? CBF

DBC ,

∴ DCBF ∽ DDBC ,∴ 故 BH ?BA 23. (10 分)

CB BF = DB BC

∴ BC 2 = DB BF , ????? 10 分

BF BD .

(Ⅰ)以 O 为极点, Ox 为极轴,建立极坐标系,设点 Q , P 的极坐标分别为 (r , q) , (r 1 , q) , 由题意 r ?r 1

1 , r ? 0 ,得 r 1 =

骣 1 cos q sin q ÷ ÷, ,∴点 P 的直角坐标为 ? , ? ? ÷ r r ÷ 桫r
2cos q 2sin q + - 1 = 0 , r = 2cos q + 2sin q , r r

P 在直线 2x + 2 y - 1 = 0 上,∴

化成直角坐标方程得 (x - 1)2 + ( y - 1)2 = 2 (x 构0, 且y

0) ,

∴ Q 点的轨迹是以 (1,1) 为圆心, 2 为半径的圆(原点除外) . ???????5 分

ì ? x = 1+ (Ⅱ) Q 点轨迹的参数方程为 ? í ? ? ? y = 1+

2 cos j 2 sin j

(j 为参数,j ?

5p ) 4

则 x + 7 y =1+ 2 cos q + 7 + 7 2 sin q = 8 + 10sin(j + a ) ,其中 tan a = ∴ x + 7 y 的最大值是 18. 24. (10 分) (Ⅰ) f ( x) + f (-

1 7

???????????????10 分

1 1 ) = x - a + - - a ? (x x x

a) - (-

1 - a) x

= x+

1 1 = x+ x x

2

??????????????5 分

ì ? ? ? ? 2a - 3x ? ? ? ? (Ⅱ)函数 y = f (x ) + f (2x ) = x - a + 2x - a = ? í- x ? ? ? ? ? ? 3x - 2a ? ? ? ?
函数的图象为:
y

(x
骣 ? a< x ? ? 桫 骣 ? x> ? ? 桫

a) a÷ ÷ 2÷ a÷ ÷ 2÷

a

a 2

o

x

a a a 1 时, y min = - ,依题意, - < ,则 a > - 1 2 2 2 2 ∴ a 的取值范围是 - 1< a < 0 ??????????????????????10 分
当x = 以上各题的其他解法,限于篇幅从略,请相应评分.


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