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高中数学 第四章 数系的扩充 复数的有关概念典型例题讲解素材 北师大版选修1-2


复数的有关概念
m2 ? m ? 6 2 例 1. m 取何实数值时,复数 z= + (m ? 2m ? 15)i 是实数?是纯虚数? m?3

?m2 ? 12m ? 15 ? 0 ? ?m?5 ?m ? 3 ? 0 解:① z 是实数 ?
② z 为纯虚数

?m2 ? 12m ? 15 ? 0 ? ? ?m2 ? m ? 6 ? 0 ? m ? 3或m ? ?2 ?m ? 3 ? 0 ?
变式训练 1:当 m 分别为何实数时,复数 z=m -1+(m +3m+2)i 是(1)实数?(2)虚数? (3)纯虚数?(4)零? 解: (1)m=-1,m=-2;(2)m≠-1,m≠-2; (3)m=1; (4)m=-1.
2 2

2 例 2. 已知 x、y 为共轭复数,且 ( x ? y) ? 3xyi ? 4 ? 6i ,求 x.

解:设 x ? a ? bi, 则y ? a ? bi ( a, b ? R ) 代入由复数相等的概念可得 a ? ?1, b ? ?1

z 2 ? az ? b 变式训练 2:已知复数 z=1+i,如果 2 =1-i,求实数 a,b 的值. z ? z ?1
由 z=1+i 得

z 2 ? az ? b (a ? b) ? (a ? 2)i = =(a+2)-(a+b)i z2 ? z ? 1 i
从而 ?

? a ? ?1 ? a ? 2 ?1 ,解得 ? . ?b?2 ??(a ? b) ? ?1
2

例 3. 若方程 x ? (m ? 2i) x ? (2 ? mi) ? 0 至少有一个实根,试求实数 m 的值. 解:设实根为 x o ,代入利用复数相等的概念可得 x o = ?
2 2

2 ? m ? ?2 2

变式训练 3:若关于 x 的方程 x +(t +3t+tx )i=0 有纯虚数根,求实数 t 的值和该方程的 根. 解:t=-3,x1=0,x2=3i.提示:提示:设出方程的纯虚数根,分别令实部、虚部为 0,将问

题转化成解方程组.

例 4. 复数 设

z ? x ? yi ( x, y ? R) 满足 | z |?| z ? 2 ? 2i | ,试求 3x ? 3 y 的最小值.

z ? x ? yi( x, y ? R ) ,则 x ?
x

y ?2,
2

于是 3

? 32? x ? 2 9 ? 6
? ?i 、

变式训练 4:已知复平面内的点 A、B 对应的复数分别是 z1 ? sin

z2 ? ? cos2 ? ? i cos 2? ,其中 ? ? (0, 2? ) ,设 AB 对应的复数为 z .
(1) 求复数

z



(2) 若复数 z 对应的点 P 在直线 y ? 解:(1)

1 x 上,求 ? 的值. 2

z ? z2 ? z1 ? ?1 ? 2i sin 2 ?
2

(2) 将 P(?1,?2 sin ? ) 代入

y?

1 x 2

可得 sin ? ? ?

1 ? 5? 7? 11? ?? ? , , , . 2 6 6 6 6


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