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黑龙江省哈尔滨市第六中学2015届高三下学期第四次模拟考试数学(文)试题 Word版含答案


哈尔滨市第六中学校 2015 届第四次模拟考试

文科数学
考试说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟. (1)答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚; (2 ) 选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚; (3)请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试题卷上答题无 效; (4)保持卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀.

参考公式: 柱体体积公式 V ? Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高;锥体体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为底面面 3

积, h 为高,球的表面积和体积公式 S ? 4?R 2 , V ? ?R 3 ,其中 R 为球的半径,

4 3

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的. 1. 若全集 U ? {x ? R | x 2 ? 4} , A ? {x ? R | ?2 ? x ? 0} ,则 CU A ? ( A. (0,2) B. [0,2) C. (0,2] ) D. [0,2] )

2 2. 已知复数 z ? 1 ? i ? i ?

i10 ,则复数 z 在复平面内对应的点为(

A. (1,1)

B. (1, ?1)

C. (0,1)

D. (1, 0)


1 ? 3. 已知角 ? 终边与单位圆 x 2 ? y 2 ? 1 的交点为 P( , y ) ,则 sin( ? 2? ) ? ( 2 2
A. ?

1 2

B.

4. 将函数 y ? sin(2 x ?

?
6

1 2

C. ?

3 2

D.1

) 的图象向右平移
)

?
6

个单位,再纵坐标不变,横坐标变为原来的 2 倍,

所得新图象的函数解析式是( A. y ? sin 4 x C. y ? sin(4 x ?

B. y ? sin x

?
6

)

D. y ? sin(x ? )

?
6

)

5. 设 x ? 0 ,且 1 ? b x ? a x ,则( A. 0 ? b ? a ? 1

B. 0 ? a ? b ? 1

C. 1 ? b ? a

D. 1 ? a ? b

-1-

6.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于 A. 12 C. B. 4 D.
8 3 3

56 3

7. 某种饮料每箱装 6 听,如果其中有 2 听不合格,问质检人员从中 随机抽出 2 听,检测出不合格产品的概率为( A. C. ) 开始

2 5 3 5

B. D.

8 15 9 10

S ? 0, n ? 1

S ? S ?n n ? 2n


8. 执行如图所示的程序框图,若输出 S ? 15 ,则框图中①处可以填入

A. n ? 4 ? C. n ? 16?
9. 双曲线 C :
x
2

B. n ? 8? D. n ? 16?
? y
2

① 是 输出 S
结束

a2

b2

? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2, 焦点到渐近线的距离

为 3 ,则 C 的焦距等于( A.2 B. 2 2

) C. 2 3 D.4

10. 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c , 若 a ? 1, c ? 4 2 , 且 ?ABC 的面积为 2, 则 sin C ? ( A. ) B.

4 41

4 5
y2 b2

C.

4 25

D.

4 41 41

11. 设 F1 、 F2 是椭圆 x 2 ?

? 1(0 ? b ? 1) 的左、右焦点,过 F1 的直线 l 交椭圆于 A, B 两点,

若 | AF1 |? 3 | F1 B | ,且 AF2 ? x 轴,则 b 2 ? ( A.

) C.

1 4

B.

1 3

2 3

D.

3 4

12. 已知两条直线 l1 : y ? m 和 l 2 : y ?

4 (m ? 0) ,l1 与函数 y ?| log2 x | 的图像由左到右相交于点 m

A, B , l 2 与函数 y ?| log2 x | 的图像由左到右相交于点 C , D ,记线段 AC 和 BD 在轴上的投

影长度分别为 a , b ,当 m 变化时, A.2 B.4

b 的最小值是( a
C.8

) D.16

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13. 设向量 a 与 b 的夹角为 ? ,若 a ? (3,3) , 2b ? a ? (?1,1) ,则 cos ? ?
-2-

?x ? y ? 1 ? 0 ? 14. 设实数 x , y 满足约束条件 ? x ? 1 ? 0 ,若 z ? ?2 x ? y ,则 z 的最小值是 ?x ? y ? 1 ? 0 ?

15.若圆锥的内切球和外接球的球心重合,且内切球的半径为 1,则圆锥的体积为 16. 若函数 f ? x ? ?

tx 2 ? 2 x ? t 2 ? sin x ( t ? 0 )的最大值为 M ,最小值为 N ,且 M ? N ? 4 , x2 ? t


则实数 t 的值为

三、解答题:解答应写出文字说明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知 S n 是等差数列 {a n } 的前 n 项和,已知 S10 ? 55 ,且 a 2 , a 4 , a8 成等比数列 (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)若 bn ?

Sn ,求 b3 ? b7 ? b11 ? ? ? b4n?1 的值. n

18. (本小题满分 12 分) 某商场为了了解顾客的购物信息,随机的在商场收集了 100 位顾客购物的相关数据,整理 如下: 一次购物款(单位:元) 顾客人数 [0,50) m [50,100) 20 [100,150) 30 [150,200) n [200,+∞) 10

统计结果显示 100 位顾客中购物款不低于 100 元的顾客占 60%,据统计该商场每日大约 有 5000 名顾客,为了增加商场销售额度,对一次性购物不低于 100 元的顾客发放纪念品 (每人一件) . (注:视频率为概率) (1)试确定 m, n 的值,并估计该商场每日应准备纪念品的数量; (2)为了迎接店庆,商场进行让利活动,一次购物款 200 元及以上的一次返利 30 元; 一次性购物 款小于 200 元的按购物款的百分比返利,具体见下表: 一次购物款(单位:元) 返利百分比 估计该商场日均让利多少元? 19. (本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面是边长为 a 的正三 [0,50) 0 [50,100) 6% [100,150) 8% [150,200) 10%

A1 B1

C1

-3-

A M B

C

角形,点 M 在边 BC 上, ?AMC1 是以 M 为直角顶点的等腰直角三角形. (1)求证:直线 A1 B ∥平面 AMC1 ; (2)求三棱锥 C1 ? AB1 M 的高

20. (本小题满分 12 分) 过抛物线 C : x 2 ? 4 y 对称轴上任一点 P(0, m)(m ? 0) 作直线 l 与抛物线交于 A, B 两点, 点Q 是点 P 关于原点的对称点. (1)当直线 l 方程为 x ? 2 y ? 12 ? 0 时,过 A,B 两点的圆 M 与抛物线在点 A 处有共同的切 线, 求圆 M 的方程 (2)设 AP ? ? PB , 证明: QP ? (QA ? ?QB)

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

a 3 1 1 x ? (a ? 1) x 2 ? x ? (a ? R) 3 2 3

(1)若 a ? 0 ,求函数 f ( x) 的极值; (2)是否存在实数 a 使得函数 f ( x) 在区间 [0,2] 上有两个零点,若存在,求出 a 的取值范 围;若不存在,说明理由.

22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,已知⊙O1 与⊙O2 相交于 A,B 两点,过点 A 作⊙O1 的切线交⊙O2 于点 C,过

-4-

点 B 作两圆的割线,分别交⊙O1,⊙O2 于点 D,E,DE 与 AC 相交于点 P. (1)求证:AD∥EC; (2)若 AD 是⊙O2 的切线,且 PA=6,PC=2,BD=9,求 AD 的长. A O1 D B O2 P C E

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程 是 ? =1,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐

t ? x ? 1? , ? 2 ? (t 为参数) 标系,直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 2 ? 3 t ? 2 ?
(1)写出直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程;
? x ? ? 2 x, (2)设曲线 C 经过伸缩变换 ? 得到曲线 C ? ,设曲线 C ? 上任一点为 M ( x, y ) ,求 ? y? ? y
x ? 2 3 y 的最小值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知 a, b, x1 , x2 为正实数,且满足 a ? b ? 1 (1)求 a 2 ?

b2 的最小值 4
-5-

(2)求证: (ax1 ? bx2 )(bx1 ? ax2 ) ? x1 x2

-6-

2015 届文科数学四模试题答案
一、选择题:CAAD BBCC DBCD 二、填空题:13. 三、解答题:
? ? ?10a1 ? 45d ? 55 ?S10 ? 55 17. 解: (1)由 ? 2 得? 2 ? ? ?(a1 ? 3d ) ? (a1 ? d )(a1 ? 7d ) ?a 4 ? a 2 a8 解得 a1 ? d ? 1 ,故 a n ? a1 ? (n ? 1)d ? n
3 10 10

14. ?2

15. 3?

16. 2

S n ?1 n(1 ? n) ,∴ bn ? n ? ,则 b4 n ?1 ? 2n 2 n 2 n(2 ? 2n) ∴ b3 ? b7 ? ? ? b4n?1 ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n ? ? n2 ? n 2 18. 解(1)100 位顾客中购物款不低于 100 元的顾客有 n ? 10 ? 30 ? 100 ? 60% , n ? 20 ;
(2)∵ S n ?

m ? 100 ? ? 20 ? 30 ? 20 ?10? ? 20 .

60 ? 3000 . 100 (2)设购物款为 a 元,当 a ? [50,100) 时,顾客有 5000 ? 20%=1000 人, 当 a ?[100,150) 时,顾客有 5000 ? 30%=1500 人, 当 a ? [150, 200) 时,顾客有 5000 ? 20%=1000 人, 当 a ?[200, ??) 时,顾客有 5000 ?10%=500 人,
该商场每日应准备纪念品的数量大约为

5000 ?

所以估计日均让利为

75 ? 6% ?1000+125 ? 8% ?1500 ? 175 ?10% ?1000 ? 30 ? 500 ? 52000 元
19. 证明: (1)连接 A1 C ,交 AC1 于点 N,连接 MN ∵直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ∴ CC1 ? 平面 ABC ,又 AM ? 平面 ABC ,∴ CC1 ? AM ∵ AM ? MC1 , CC1 ? MC1 ? C1 ,∴ AM ? 平面 B1 BCC1 ∴ AM ? BC ,故 M 为 BC 的中点,而 N 为 A1 C 的中点 则 MN ∥ A1 B , MN ? 平面AMC1,A1 B ? 平面AMC1 , ∴ A1 B ∥平面 AMC1 (2)设三棱锥 C1 ? AB1 M 的高为 h 1 1 ∵ AM ? 平面 B1 BCC1 ,∴ VC1 ? AB1M ? V A? B1MC1 ,即 S ?AB1M ? h ? S ?B1MC1 ? AM 3 3 3 2 2 3 6 a , AM ? a ,∴ h ? a ∵ S ?AB1M ? a 2 , S ?B1MC1 ? 8 4 2 3 ? x ? 2 y ? 12 ? 0 20 解:(1)由 ? 2 解得点 A,B 的坐标分别是 (6,9), (?4,4) , ?x ? 4 y
9?4 1 13 ? , ) ,斜率为 k ? 6 ? ( ? 4 ) 2 2 故 AB 的垂直平分线方程为 x ? y ? 14 ? 0 1 1 由 x 2 ? 4 y 得 y ? x 2 , y ? ? x ,所以抛物线在点 A 处的切线斜率为 3 2 4 1 ?b ? 9 ?? ? 2 2 2 设圆 M 的方程为 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,则 ? a ? 6 3 ?a ? b ? 14 ? 0 ? 125 3 23 解得 a ? ? , b ? , r 2 ? (a ? 4) 2 ? (b ? 4) 2 ? 2 2 2

则 AB 的中点为 (1,

-7-

3 23 125 所以圆 M 的方程为 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? 2 2 2 (2)设 AB 方程为 y ? kx ? m , A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) ,

? y ? kx ? m 由? 2 得 x 2 ? 4kx ? 4m ? 0 , x1 ? x 2 ? 4k , x1 x 2 ? ?4m ?x ? 4 y x 由 AP ? ? PB ,得 ? ? ? 1 ,又点 Q(0,2m) ,从而 QP ? (0,2m) x2
QA ? ?QB ? ( x1 , y1 ? m) ? ?( x2 , y2 ? m) ? ( x1 ? ?x2 , y1 ? ?y2 ? (1 ? ?)m)

x1 2 x1 x 2 2 x QP ? (QA ? ? QB) ? 2m[ y1 ? ?y 2 ? (1 ? ? )m] ? 2m[ ? ? ? (1 ? 1 )m] 4 x2 4 x2 ? 2m( x1 ? x 2 ) ? x1 x 2 ? 4m ? 4m ? 4m ? 2m( x1 ? x 2 ) ? ?0 4x2 4x2

所以 QP ? (QA ? ?QB) 21、解: (1) f ? ? x ? ? ax 2 ? ? a ? 1? x ? 1 ? a ? x ? 1? ? x ? 1 ? ? ?

?

a?

1 a ? 0,? ? 1, a

2 1 ? 1 ? ?2a ? 3a ? 1 , f x f ? x ?极小值 =f ? ? = ? ?极大值 =f ?1? = ? ? a ? 1? 2 6 6a ?a?

(2) f ? 1 ? = ?2a 2 ? 3a ? 1 = ? ? a-1?? 2a-1? , f ?1? = ? 1 ? a ? 1? ? ? 2 2
?a? 6a 6a

6

f ? 2? =

1 ? 2a ? 1? , 3

① 当 a ? 1 时, f ? x ? 在 0,1 上为增函数,在 ?1,2? 上为减函数, f ? 0 ? = ? 1 <0 , 2 3 1 1 f ?1? = ? ? a ? 1? >0 , f ? 2? = ? 2a ? 1? ? 0 , 3 6 所以 ②

? ?

1 f ? 0 ? = ? <0 3

f ? x ? 在区间 ?0,1? , ?1,2? 上各有一个零点,即在 ?0,2? 上有两个零点;
当 1 <a ? 1 时, f ? x ? 在

? a? ?a ? 1 ? 1 ? ? ? a -1?? 2a-1? , 1 1 >0 f ? 2 ? = ? 2a ? 1? >0 ,所 f ? 0 ? = ? <0 , f ?1? = ? ? a ? 1? >0 , f ? ? = 2 6a 6 3 3 ?a?
2

1? ?1 ? ?0,1? 上为增函数,在 ? ? 1, ? 上为减函数,? ,2 ? 上为增函数,

以 f ? x ? 只在区间 ②

?0,1? 上有一个零点,故在 ?0,2? 上只有一个零点; 当 a >1 时, f ? x ? 在 ? 0, 1 ? 上为增函数,在 ? 1 ,1 ? 上为减函数, ?1,2 ? 上为增函数, ? ? ? ?
? a?
?a ?

1 1 ? ? ? a -1?? 2a-1? , f ?1? = ? 1 ? a ? 1? <0 , f 2 = 1 2a ? 1 >0 , 所以 f ? 0 ? = ? <0 , f ? ? ? ? ? <0 ? ?= 6 3 3 6a 2 ?a?
-8-

f ? x ? 只在区间 ?1,2 ? 上有一个零点,故在 ?0,2? 上只有一个零点;
故存在实数 a ,当 a ? 1 时,函数 f ?x ? 在区间

2

?0,2? 上有两个零点。

22(1)证明:连接 AB,∵AC 是⊙O1 的切线,∴∠BAC=∠D,又∵∠BAC=∠E,∴∠D=∠E。 ∴AD∥EC (2)设 BP=x,PE=y,∵PA=6,PC=2,∴xy=12,① ∵ AD ∥ EC ,∴
? x ? ?12 ?x ? 3 DP AP 9? x 6 或? (舍去)∴ ? ? ? ②, 由①②可得, ? PE PC y 2 ? y ? ?1 ?y ? 4

DE=9+x+y=16, ∵AD 是⊙O2 的切线,∴AD2=DB ? DE=9× 16,∴AD=12。 23 解: (1) l : 3x ? y ? 2 ? 3 ? 0 x? ? x? ? 2 x ? x ? 代入 C 得 (2)? ? ?? 2 ? ? y? ? y ? y ? y? ?
? x ? 2 cos? 设椭圆的参数方程 ? (? 为参数) ? y ? sin?

C : x2 ? y2 ? 1
?C? : x2 ? y2 ? 1 4

则 x ? 2 3 y ? 2 cos ? ? 2 3 sin ? ? 4 sin(? ? 24(1)当 a ?

?
6

) 则 x ? 2 3 y 的最小值为-4。

b2 1 4 1 2 ,b ? 时, a ? 的最小值为 5 5 5 4

(2) (ax1 ? bx2 )(bx1 ? ax2 ) ? ( ax1 ax2 ? bx1 bx2 )2

? (a x1x2 ? b x1x2 )2 ? (a ? b)2 x1x2 ? x1x2

-9-


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