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北京西城学习探究诊断高中数学必修二第二章平面解析几何初步练习


第二章 测试十

平面解析几何初步

平面直角坐标系中的基本公式
Ⅰ Ⅱ 学习目标 基础训练题

理解和掌握数轴上的基本公式,平面上两点间的距离公式,中点坐标公式. 一、选择题 1.点 A(-1,2)关于 y 轴的对称点坐标为( ) (A)(-1,-2) (B)(1,2) (C)(1,-2) (D)(2,-1)

2.点 A(-1,2)关于原点的对称点坐标为( ) (A)(-1,-2) (B)(1,2) (C)(1,-2) (D)(2,-1) 3.已知数轴上 A,B 两点的坐标分别是 x1,x2,且 x1=1,d(A,B)=2,则 x2 等于( (A)-1 或 3 (B)-3 或 3 (C)-1 (D)3 4. 已知点 M(-1, 4), N(7, 0), x 轴上一点 P 满足|PM|=|PN|, 那么 P 点的坐标为( (A)(-2,0) (B)(-2,1) (C)(2,0) (D)(2,1) 5.已知点 P(x,5)关于点 Q(1,y)的对称点是 M(-1,-2),则 x+y 等于( ) (A)6 (B)12 (C)-6 (D)

) )

9 2

二、填空题 6.点 A(-1,5),B(3,-3)的中点坐标为______. 7.已知 A(a,3),B(3,a),|AB|= 2 ,则 a=______. 8.已知 M(-1,-3),N(1,1),P(3,x)三点共线,则 x=______. 9.设点 A(0,1),B(3,5),C(4,y),O 为坐标原点. 若 OC∥AB,则 y=______; 若 OC⊥AB,则 y=______. 10.设点 P,Q 分别是 x 轴和 y 轴上的点,且中点 M(1,-2),则|PQ|等于______. 三、解答题 11.已知△ABC 的顶点坐标为 A(1,-1),B(-1,3),C(3,0). (1)求证:△ABC 是直角三角形; (2)求 AB 边上的中线 CM 的长.

12.已知矩形 ABCD 相邻两个顶点 A(-1,3),B(-2,4),若矩形对角线交点在 x 轴上, 求另两个顶点 C 和 D 的坐标.

13.已知 AD 是△ABC 底边的中线,用解析法证明:|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2).

1



拓展训练题

14.利用两点间距离公式求出满足下列条件的实数 x 的集合: (1)|x-1|+|x-2|=3; (2)|x-1|+|x-2|>3; (3)|x-1|+|x-2|≤3.

2

测试十一


直线的方程
学习目标

1.理解直线斜率和倾斜角的概念,掌握两点连线的斜率公式. 2.掌握直线方程的点斜式、斜截式及一般式.


一、选择题 1.已知直线 AB 的斜率为

基础训练题
)

1 ,若点 A(m,-2),B(3,0),则 m 的值为( 2
(D)7 )

(A)1 (B)-1 (C)-7 2.如图所示,直线 l1,l2,l3 的斜率分别为 k1,k2,k3,则(

(A)k1<k2<k3 (B)k3<k1<k2 (C)k3<k2<k1 (D)k1<k3<k2 3.直线 l 经过二、三、四象限,l 的倾斜角为 α,斜率为 k,则( ) (A)ksinα>0 (B)kcosα>0 (C)ksinα=0 (D)kcosα 符号不定 4.一条光线从点 M(5,3)射出,遇 x 轴后反射,反射光线过点 N(2,6),则反射光线所在 直线方程是( ) (A)3x-y-12=0 (B)3x+y+12=0 (C)3x-y+12=0 (D)3x+y-12=0 5.直线 x-2y+2k=0 与两坐标轴围成的三角形面积不小于 1,那么 k 的取值范围是( ) (A)k≥-1 (B)k≤1 (C)|k|≤1 (D)|k|≥1 二、填空题 6.斜率为-2 且在 x 轴上截距为-1 的直线方程是______. 7.y 轴上一点 M 与点 N(- 3 ,1)所在直线的倾斜角为 120°,则 M 点坐标为______. 8.已知直线

a x-2y-4a=0(a≠0)在 x 轴上的截距是它在 y 轴上的截距的 3 倍,则 a= 3

______. 9.已知直线 l 过点 A(-2,1)且与线段 BC 相交,设 B(-1,0),C(1,0),则直线 l 的斜 率 k 的取值范围是______. 10.如果直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位,接着再沿 y 轴正方向平移 1 个单位后又回到原 来的位置,则直线 l 的斜率为______. 三、解答题 11. 直线 l 过原点且平分平行四边形 ABCD 的面积. 若平行四边形两个相对顶点为 B(1, 4), D(5,0),求直线 l 的方程.

3

12.直线 l 与直线 y=1,x-y-7=0 分别交于 P、Q 两点,线段 PQ 的中点为(1,-1).求 直线 l 的方程.



拓展训练题

13.设 A(0,3),B(3,3),C(2,0),直线 x=a 将△ABC 分割成面积相等的两部分,求 a 的值.

14.一条直线 l 过点 P(2,3),并且分别满足下列条件,求直线 l 的方程. (1)倾斜角是直线 x-4y+3=0 的倾斜角的两倍; (2)与 x 轴、y 轴的正半轴交于 A、B 两点,且△AOB 的面积最小; (3)|PA|?|PB|为最小(A、B 分别为直线与 x 轴、y 轴的正半轴的交点).

4

测试十二

两条直线的位置关系(一)
Ⅰ 学习目标

掌握两条直线平行、垂直的条件,会利用两条直线平行、垂直的条件解决相关的问 题.



基础训练题
) (D) ) (D)

一、选择题 1.如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x-y-2=0 平行,那么 a 等于( (A)-3 (B)-6 (C)-

3 2 3 2

2 3 2 3

2.如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x-y-2=0 垂直,那么 a 等于( (A)-3 (B)-6 (C)-

3.若两条直线 A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0 垂直,则( ) (A)A1A2+B1B2=0 (B)A1A2-B1B2=0 (C)

A1 A2 =-1 B1 B2

(D)

B1 B2 =1 A1 A2

4.设 A,B 是 x 轴上两点,点 P 的横坐标为 2,且|PA|=|PB|,若直线 PA 的方程为 x-y +1=0,则直线 PB 的方程为( ) (A)x+y-5=0 (B)2x-y-1=0 (C)2y-x-4=0 (D)x+y-7=0 5.已知直线 y=kx+2k+1 与 y=- (A)-6<k<2 (C)-

1 1 <k< 2 6

1 x+2 的交点在第一象限,则 k 的取值范围是( 2 1 1 (B)- <k< 2 2 1 (D)k< 2

).

二、填空题 6.以 A(1,3)、B(-1,1)为端点的线段的垂直平分线方程是______. 7.若三条直线 l1:2x-y=0,l2:x+y-3=0,l3:mx+ny+5=0 交于一点,则实数 m,n 满足的关系式是______. 8.直线 y=2x+3 关于点(2,3)对称的直线方程为______. 9.直线 2x-y+1=0 绕着它与 y 轴的交点逆时针旋转 45°角,此时直线的方程为______. 10.若三条直线 x+y=2,x-y=0,x+ay=3 构成三角形,则 a 的取值范围是______. 三、解答题 11.求经过两条直线 l1:2x+3y+1=0 和 l2:x-3y+4=0 的交点,并且垂直于直线 3x+4y -7=0 的直线方程.

12.平行四边形 ABCD 的两边 AB,AD 所在的直线方程分别为 x+y-1=0,3x-y+4=0, 其对角线的交点坐标为(3,3),求另两边 BC,CD 所在的直线方程.

5

13.已知三角形三条边 AB,BC,AC 中点分别为 D(2,1)、E(5,3)、F(3,-4).求各边 所在直线的方程.

14.已知两条直线 l1:mx+8y+n=0 和 l2:2x+my-1=0,试确定 m,n 的值,使 l1,l2 分 别满足下列条件:(1)l1,l2 相交于点 P(m,-1);(2)l1∥l2;(3)l1 与 l2 重合.

6

测试十三

两条直线的位置关系(二)
Ⅰ Ⅱ 学习目标 基础训练题
) (C)2 ) (D)3 (D)

会应用点到直线的距离公式解决相关的问题. 一、选择题 1.点 P(0,2)到直线 y=3x 的距离是( (A)1 (B)

10 5
10 3

5 5

2.平行线 3x+4y+2=0 与 3x+4y-12=0 之间的距离为( (A)2 (B) (C)

14 5

3.若直线(2+m)x-y+5-n=0 与 x 轴平行且与 x 轴相距 5 时,则 m+n 等于( ) (A)-2 或 8 (B)-2 (C)8 (D)0 4.直线 l1:ax-y+b=0 与 l2:bx-y+a=0(ab≠0,a≠b)在坐标系中的位置可能是(

)

5.A、B、C 为△ABC 的三个内角, 它们的对边分别为 a、b、c.已知原点到直线 xsinA+ ysinB+sinC=0 的距离大于 1,则此三角形形状为( ) (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)不能确定 二、填空题 6. 若直线 ax+4y-2=0 与直线 2x-5y+c=0 垂直相交于点(1, m), 则 a=____, c=_____, m=______. 7. 已知定点 A(0, 1). 点 B 在直线 x+y=0 上运动, 当线段 AB 最短时, 点 B 的坐标是____. 8.两平行直线分别过点(1,0)与(0,5),且距离为 5,它们的方程为______. 9. 若点 A(1, 1)到直线 l: xcosθ+ysinθ=2(θ 为实数)的距离为 f(θ), 则 f(θ)的最大值是___. 10.若动点 A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线 l1:x+y-7=0 和 l2:x+y-5=0 上移动,则 AB 中点 M 到原点距离的最小值是______. 三、解答题 11.过点 P(1,2)的直线 l 与两点 A(2,3),B(4,-5)的距离相等,求直线 l 的方程.

12.已知直线 l:x+2y-2=0,试求: (1)与直线 l 的距离为 5 的直线的方程; (2)点 P(-2,-1)关于直线 l 的对称点的坐标.
7

13.已知△ABC 的垂心 H(5,2),且 A(-10,2)、B(6,4),求点 C 的坐标.



拓展训练题

14.在△ABC 中,点 B(1,2),BC 边上的高所在的直线方程为 x-2y+1=0,∠A 的平分线 所在的直线方程为 y=0,求|BC|.

8

测试十四
Ⅰ Ⅱ

圆的方程

学习目标 基础训练题

掌握圆的标准方程及一般方程,能根据已知条件求圆的方程. 一、选择题 1.圆 x2+y2+ax=0 的圆心的横坐标为 1,则 a 等于( ) (A)1 (B)2 (C)-1 (D)-2 2 2 2.与圆 C:x +y -2x-35=0 的圆心相同,且面积为圆 C 的一半的圆的方程是( (A)(x-1)2+y2=3 (B)(x-1)2+y2=6 (C)(x-1)2+y2=9 (D)(x-1)2+y2=18 3.曲线 x2+y2+2 2 x-2 2 =0 关于( (A)直线 x= 2 轴对称 (C)点(-2, 2 )中心对称 ) (B)直线 y=-x 轴对称 (D)点(- 2 ,0)中心对称 )

)

4.如果圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 与 y 轴相交,且两个交点分别在原点两侧,那么( (A)D≠0,F>0 (B)E=0,F>0 (C)F<0 (D)D=0,E≠0 5.方程 x-1= 1 ? ? y ? 1? 所表示的曲线是(
2

)

(A)一个圆 (B)两个圆 (C)半个圆 (D)四分之一个圆 二、填空题 6.过原点的直线将圆 x2+y2-2x+4y=0 的面积平分,则此直线的方程为______. 7.已知圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),试根据下列条件,分别写出 a,b,r 应满足 的条件. (1)圆过原点且与 y 轴相切:______; (2)原点在圆内:______; (3)圆与 x 轴相交:______. 8.圆(x-1)2+y2=1 的圆心到直线 y=

3 x 的距离是______. 3

9.P(x,y)是圆 x2+y2-2x+4y+1=0 上任意一点,则 x2+y2 的最大值是______;点 P 到直 线 3x+4y-15=0 的最大距离是______. 10.设 P(x,y)是圆(x-3)2+y2=4 上的点,则

y 的最小值是______. x

三、解答题 11.方程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 表示圆,求 a 的取值范围.

12.求过三个点 A(0,0),B(4,0),C(2,2)的圆的方程.
9

13.已知圆 C 的圆心在直线 x+y-1=0 上,且 A(-1,4)、B(1,2)是圆 C 上的两点,求 圆 C 的方程.


2 2

拓展训练题

14.已知曲线 C:x +y -4ax+2ay+20a-20=0. (1)证明:不论 a 取何实数,曲线 C 必过定点; (2)当 a≠2 时,证明曲线 C 是一个圆,且圆心在一条直线上.

10

测试十五

直线与圆的位置关系
Ⅰ 学习目标

1.会用解析法及几何的方法判定直线与圆的位置关系,并会求弦长和切线方程; 2.会用几何的方法判定圆和圆的位置关系.



基础训练题

一、选择题 1.圆 x2+y2-2x=0 和 x2+y2+4y=0 的位置关系是( ) (A)相离 (B)外切 (C)相交 (D)内切 2 2 2.直线 3x+4y+2=0 与圆 x +y +4y=0 交于 A、B 两点,则线段 AB 的垂直平分线的方程 是( ) (A)4x-3y-2=0 (B)4x-3y-6=0 (C)3x+4y+8=0 (D)3x-4y-8=0 3.直线 3 x+y-2 3 =0 截圆 x2+y2=4 得的劣弧所对的圆心角为( (A) )

π 6

(B)

π 4

(C)

π 3

(D)

π 2

4.若圆 x2+y2=r2(r>0)上恰有相异两点到直线 4x-3y+25=0 的距离等于 1,则 r 的取值 范围是( ) (A)[4,6] (B)(4,6] (C)(4,6) (D)[4,6) 5.从直线 y=3 上的点向圆 x2+y2=1 作切线,则切线长的最小值是( ) (A)2 2 (B) 7 (C)3 (D) 10

二、填空题 6.以点(-2,3)为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是______. 7.已知直线 x=a(a>0)和圆(x-1)2+y2=4 相切,那么 a 的值是______. 8.设圆 x2+y2-4x-5=0 的弦 AB 的中点为 P(3,1),则直线 AB 的方程是______. 9.过定点(1,2)可作两直线与圆 x2+y2+kx+2y+k2-15=0 相切,则 k 的取值范围是____. 10.直线 x+ 3 y-m=0 与圆 x2+y2=1 在第一象限内有两个不同的交点,则 m 的取值范 围是______. 三、解答题 11.圆 x2+y2=8 内有一点 P(-1,2),AB 为过点 P 且倾斜角为 α 的弦. (1)当 α=

3π 时,求 AB 的长; 4

(2)当弦 AB 被点 P 平分时,求直线 AB 的方程.

12.求经过点 P(6,-4)且被圆 x2+y2=20 截得的弦长为 6 2 的直线的方程.

11

13.求过点 P(4,-1)且与圆 x2+y2+2x-6y+5=0 外切于点 M(1,2)的圆的方程.



拓展训练题

14.已知圆满足: ①截 y 轴所得弦长为 2; ②被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 3∶1; ③圆心到直线 l:x-2y=0 的距离为 求该圆的方程.

5 . 5

12

测试十六


空间直角坐标系
学习目标

1.理解空间直角坐标系的概念,能写出满足某些条件的点的坐标. 2.会用空间两点间距离公式进行相关的计算.



基础训练题

一、选择题 1.点 A(2,0,3)在空间直角坐标系的位置是( ) (A)y 轴上 (B)xOy 平面上 (C)xOz 平面上 2.在空间直角坐标系中,点 P(-2,-1,3)到原点的距离为( (A) 14 (B) 5 (C)14

(D)yOz 平面上 ) (D)5

3.点 A(-1,2,1)在 xOy 平面上的射影点的坐标是( ) (A)(-1,2,0) (B)(-1,-2,0) (C)(-1,0,0) (D)(1,-2,0) 4.在空间直角坐标系中,两个点 A(2,3,1)、A′(2,-3,1)关于( )对称 (A)平面 xOy (B)平面 yOz (C)平面 xOz (D)y 轴 5.设 a 是任意实数,则点 P(a,1,2)的集合在空间直角坐标系中所表示的图形是( ) (A)垂直于平面 xOy 的一条直线 (B)垂直于平面 yOz 的一条直线 (C)垂直于平面 xOz 的一条直线 (D)以上均不正确 二、填空题 6.点 M(4,-3,5)到 x 轴的距离为______. 7.若点 P(x,2,1)与 Q(1,1,2)、R(2,1,1)的距离相等,则 x 的值为______. 8.已知点 A(-2,3,4),在 y 轴上求一点 B,使|AB|=6,则点 B 的坐标为______. 9.已知两点 A(2,0,0),B(0,3,0),那么线段 AB 的中点的坐标是______. 10.在空间直角坐标系中,点 A(1,2,a)到点 B(0,a,1)的距离的最小值为______. 三、解答题 11.在空间直角坐标系中,设点 M 的坐标为(1,-2,3),写出点 M 关于各坐标面对称的 点、关于各坐标轴对称的点的坐标.

12.在空间直角坐标系中,设点 M 的坐标为(1,-2,3),写出点 M 到原点、各坐标轴及各 坐标面的距离.

13.如图,正方体 OABC-A1B1C1D1 的棱长为 a,|AM|=2|MB|,|B1N|=|NC1|,分别写 出点 M 与点 N 的坐标.

13

14.在空间直角坐标系中,设点 P 在 x 轴上,它到点 P1(0, 2 ,3)的距离为到点 P2(0,1, -1)的距离的两倍,求点 P 的坐标.

14

测试十七

平面解析几何初步全章综合练习
Ⅰ 基础训练题

一、选择题 1.方程 y=k(x-2)表示( ) (A)经过点(-2,0)的所有直线 (B)经过点(2,0)的所有直线 (C)经过点(2,0)且不垂直于 x 轴的所有直线 (D)经过点(2,0)且去掉 x 轴的所有直线 2.点 P(x,y)在直线 x+y-4=0 上,O 为坐标原点,则|OP|的最小值为( (A) 10 (B)2 2 (C) 6 (D)2

)

3.若直线 l:y=kx- 3 与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一象限,则直线 l 的倾斜角的 取值范围是( (A) [ , ) ) (B) ( , )

π π 6 3

π π 6 2

(C) ( , )

π π 3 2

(D) [ , ]

π π 6 2

4.若直线(1+a)x+y+1=0 与圆 x2+y2-2x=0 相切,则 a 的值为( ) (A)1 或-1 (B)2 或-2 (C)1 (D)-1 2 2 5.如果直线 l 将圆:x +y -2x-4y=0 平分,且不通过第四象限,那么直线 l 的斜率的取 值范围是( ) (A)[0,2] (B)[0,1] (C) [ 0, ]

1 2

(D) [0, )

1 2

二、填空题 6.经过点 P(-2,3)且在 x 轴、y 轴上截距相等的直线方程为______. 7.若直线 mx+ny-3=0 与圆 x2+y2=3 没有公共点,则 m、n 满足的关系式为______. 8.已知圆 x2+(y-1)2=1 及圆外一点 P(-2,0),过点 P 作圆的切线,则两条切线夹角的 正切值是______. 9. 已知 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点, PA, PB 是圆 x2+y2-2x-2y+1=0 的两条切线. A、 B 是切点,C 是圆心,那么四边形 PACB 面积的最小值为______. 10.已知两个圆 x2+y2=1①与 x2+(y-3)2=1②,则由①式减去②式可得上述两圆的对称 轴方程.将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题, 而已知命题应成为所推广命题的一个特例.推广的命题为______. 三、解答题 11.已知直线 l1:2x-y+3=0 与直线 l2 关于直线 y=-x 对称,求直线 l2 的方程.

12.圆心在直线 x-2y-3=0 上,且圆与两坐标轴都相切,求此圆的方程.

13.求通过直线 2x+y-4=0 及圆 x2+y2+2x-4y+1=0 的交点,并且有最小面积的圆的方 程.

15

14.在△ABC 中,顶点 A(2,4)、B(-4,2),一条内角平分线所在直线方程为 2x-y=0, 求 AC 边所在的直线方程.



拓展训练题

15.已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点(A 在 B 的右侧),分别 过点 A、B 作 y 轴的平行线与函数 y=log2x 的图象交于 C、D 两点. (1)证明:点 C、D 和原点 O 在同一条直线上. (2)当 BC 平行于 x 轴时,求点 A 的坐标.

16*.已知圆 C:(x-1)2+(y-2)2=25,及直线 l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R). (1)证明:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆 C 恒相交; (2)求直线 l 被圆 C 截得的弦长最短长度及此时的直线方程.

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参考答案 第二章 测试十 平面解析几何初步

平面直角坐标系中的基本公式

一、选择题 1.B 2.C 3.A 4.C 5.D 提示: 1.点(a,b)关于 x 轴、y 轴、坐标原点 O、直线 y=x 的对称点坐标为(a,-b),(-a,b), (-a,-b),(b,a). 二、填空题 6.(1,1); 提示: 9.若 AB =(x1,y1), CD =(x2,y2), 则 AB ∥ CD ? x1y2-x2y1=0(应注意向量平行与直线平行的关系); 则 AB ⊥ CD ? x1x2+y1y2=0(即 AB ? CD =0); 三、解答题 11.(1)证明:由已知计算得 | AB |? 7.2 或 4; 8.5; 9.

16 , ?3 ; 3

10. 2 5 .

(1 ? 1) 2 ? (?1 ? 3) 2 ? 2 5 , | BC |? 5

| AC |? 5 ,所以,|AB|2+|AC|2=|BC|2,所以△ABC 是直角三角形.
另解:由已知 AB =(-2,4), AC =(2,1), 所以, AB ? AC =-2?2+4?1=0, 所以, AB ⊥ AC ,△ABC 是直角三角形. (2)解:由已知,AB 的中点 M 的坐标为 ( 所以, | CM |?

1?1 ?1? 3 , ) ,即 M(0,1), 2 2

32 ? 12 ? 10.

12.设矩形对角线交点为 M(x,0),因为|MA|=|MB|,
2 2 则 ( x ? 1) ? 3 ?

( x ? 2) 2 ? 4 2 ,解得 x=-5,所以 M(-5,0).

设 C(x1,y1),因为 M 为 AC 中点,所以

x1 ? 1 y ?3 ? ?5, 1 ? 0, 2 2

解得 x1=-9,y1=-3,所以,C(-9,-3),同理,D(-8,-4). 注:本题也可以利用向量平行、垂直的有关知识来解. 13.提示:通过建立适当的坐标系,利用坐标法来证明.
17

14.(1){x|x=0,x=3};(2){x|x<0 或 x>3};(3){x|0≤x≤3}.

测试十一

直线的方程

一、选择题 1 B 2B 3 B 4 D 5 D 提示: 3.由题意知,l 的倾斜角 α 为钝角,cosα<0,k<0,故 kcosα>0. 4.反射光线过点 N(2,6),同时,还经过点 M(5,3)关于 x 轴的对称点 M′(5,-3),所 以,反射光线的斜率为

6 ? (?3) ? ?3 ,直线方程为 3x+y-12=0. 2?5

要注意, “光线”问题常用对称点的思路去思考问题. 5.直线 x-2y+2k=0 与两坐标轴交点为 A(-2k,0).B(0,k), 所以, S ?AOB ?

1 1 | OA | ? | OB |? | ?2k | ? | k |? k 2 ,由题意 k2≥1, 2 2

得|k|≥1 为所求. 二、填空题 6.2x+y+2=0; 7.(0,-2); 8.a=-2; 9. ? 1 ? k ? ?

1 ; 3

10. ?

1 ? 3

提示: 10.提示:设 A(x0,y0)为直线 l 上一点,根据题意,A 点沿 x 轴负方向平移 3 个单位,接着 再沿 y 轴正方向平移 1 个单位后仍应在直线 l 上,即点(x0-3,y0+1)在直线 l 上. 所以直线 l 的斜率为

y0 ? 1 ? y0 1 ?? ? x0 ?3? x0 3

三、解答题 11.提示:平分平行四边形面积的直线必过平行四边形的对角线交点,即过 BD 的中点(3, 2). 所以,所求直线方程为 2x-3y=0. 12.略解:设 P(x1,1),因为 PQ 的中点为(1,-1),根据中点坐标公式, 可得 Q(2-x1,-3),因为点 Q 在直线 x-y-7=0 上, 所以,(2-x1)-(-3)-7=0, 解得 x1=-2,所以,P(-2,1),Q(4,-3), k / ? 所以,l:2x+3y+1=0. 13.略解:由已知得 AB∥x 轴,作 CD⊥AB 于 D, ∵C(2,0),A(0,3),B(3,3).∴S△ADC>S△BDC. ∵x=a 将△ABC 面积平分, ∴x=a 在直线 CD 左侧,即 0<a<2.

1 ? (?3) 2 ?? ? ?2?4 3

1 1 ? 3 ? 3 ? 2 ? a (3 ? y p ) ,其中 yp 表示 AC 与 x=a 的交点的纵坐标. 2 2 x y ∵直线 AC 的方程为 ? ? 1 .即 3x+2y-6=0. 2 3 6 ? 3a 6 ? 3a ,? y p ? 当 x=a 时, y ? ,代入上式,得 a ? ? 3. 2 2
由题意得 S ?ABC ?
18

∵a∈(0,2).? a ? 3 为所求. 14.(1)设直线 l 的倾斜角为 α,则所求直线倾斜角为 2α,由已知, tan ? ? =

8 2 tan ? 8 ? ,所以,所求直线 l 方程为 y ? 3 ? ( x ? 2) ,即 8x-15y+29= 2 1 ? tan ? 15 15 3 ,0) ,B(0,3-2k),S△ k

1 ,所以,tan2α 4

0. (2)依题意,设直线 l 方程为 y-3=k(x-2),k<0,则 A(2 ?

AOB

?

1 2

x A y B ? 6 ? (?2k ?

9 ? 2k

? 2k ? ) ? 6 ? 6 ? 12 , 此时,

9 3 , 即k ? ? , 2. ? 2k

因为 k<0,

3 3 ,所求直线 l 方程为 y ? 3 ? ? ( x ? 2) ,即 3x+2y-12=0. 2 2 3 (3)依题意,设直线 l 方程为 y-3=k(x-2),k<0,则 A(2 ? ,0), B(0,3 ? 2k ) , k
所以 k ? ?

| PA | ? | PB |?
此时, ? k ?

9 1? k2 1 2 ? 9 ? 4 ? 4 k ? 6 ? ? 6 ? (?k ? ) ? 12, 2 | k | k ?k

1 ,即 k=±1,因为 k<0,所以 k=-1, ?k

所求直线 l 方程为 y-3=-(x-2),即 x+y-5=0.

测试十二
一、选择题 1.B 2.D 提示: 3.A 4.A

两条直线的位置关系(一)
5.C

? 2 ? 4k ? 2k ? 1 ? 0 2 ? 4k 6k ? 1 ? , ) ,解不等式组 ? 5.提示:可以求出两条直线的交点坐标 ( , 6 k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 ? ?0 ? ? 2k ? 1
可得 ?

1 1 ?k? ? 6 2 1 x ? 2 与 x 轴、y 轴的交点坐标为(4,0),(0,2).利用数形结合的思 2

另外,注意到直线 y=kx+2k+1 可变形为 y-1=k(x+2),即此直线过定点(-2,1), 又,直线 y ? ?

路可得结论. 二、填空题 6.x+y-2=0; 7.m+2n+5=0; 8.2x-y-5=0; 9.3x+y-1=0; 10.a∈R,a≠±1 且 a≠2. 提示: 9.设直线 2x-y+1=0 的倾斜角为 α,由已知,所求直线的倾斜角为 α+45°,
19

因为 tanα=2,所以, tan( ? ? 45 ) ?
?

tan ? ? tan 45 ? ? ?3 ,又直线 2x-y+1=0 与 y 1? tan ? tan 45 ?

轴的交点为(0,1),所以,所求直线方程为 3x+y-1=0. 10.直线 x+ay=3 与另两条直线不平行也不重合,并且三条直线不过同一点. 三、解答题 11.4x-3y+9=0. 12.CD:x+y-11=0,BC:3x-y-16=0. 13.方法一:用中点. DE 中点 G ( ,2) ,又 G 为 BF 的中点,∴B(4,8). 同理,EF 中点 H ( 4,? ), ? C (6,?2). DF 中点 M ( ,? ),? A(0,?6).

7 2

1 2

5 2

3 2

? AB : y ?

7 x ? 6,7 x ? 2 y ? 12 ? 0. 2

BC:y+2=-5(x-6),5x+y-28=0.

AC : y ?

2 x ? 6,2 x ? 3 y ? 18 ? 0. 3

方法二:用斜率. EF 斜率为

7 7 ? ? AB : y ? 1 ? ( x ? 2) ,得 7x-2y-12=0. 2 2

FD 斜率为-5.∴BC:y-3=-5(x-5),得 5x+y-28=0. DE 斜率为

2 2 ? ? AC : y ? 4 ? ( x ? 3) ,得 2x-3y-18=0, 3 3

14.解:(1)由 ?

?m 2 ? 8 ? n ? 0, 解得 m=1,n=7. ?2m ? m ? 1 ? 0,
m 8 n ? ? 时, ? 2 m ?1

(2)易知 m≠0,所以,当

即 m=4,n≠-2,或 m=-4,n≠2 时 l1∥l2. (3)结合(2)的结果,当 m=4,n=-2,或 m=-4,n=2 时,l1 与 l2 重合.

测试十三
一、选择题 1.B 2.C 提示: 5.由已知, 3.A 4.D

两条直线的位置关系(二)
5.C

| sin C | sin A ? sin B
2 2

? 1 ,所以,sin2C>sin2A+sin2B.
20



a b c ? ? ? 2 R ,所以,c2>a2+b2, sin A sin B sin C
a2 ? b2 ? c2 ? 0 ,所以,C 为钝角,三角形为钝角三角形. 2ab 1 1 , ); 2 2

由余弦定理,得 cos C ? 二、填空题 6.10,-12,-2;

7. ( ?

8.y=0,y=5 或 5x-12y-5=0,5x-12y+60=0; 9. 2 ?

2;

10. 3 2 .

提示: 7.当 AB 与已知直线垂直时,线段 AB 最短. 9. f (? ) ?

cos? ) ? 2 | 2 2 sin 2 ? ? cos 2 ? π π ?| 2 sin(? ? ) ? 2 |? 2 ? 2 sin(? ? ) ,所以,f(θ)的最大值为 2 ? 2. 4 4 2(

| sin ? ? cos? ? 2 |

?| sin ? ? cos? ? 2 |?|

2

sin ? ?

2

10.由已知,点 M 到两直线 l1,l2 的距离相等.即点 M 在直线 x+y-6=0 上,于是,问题 变成“点 M 在直线 x+y-6=0 上运动,求原点到点 M 的最小距离” ,可利用第 7 题的 思路加以解决. 三、解答题 11.提示:满足题目条件的直线 l 或者与直线 AB 平行,或者经过线段 AB 的中点. 当直线 l 与直线 AB 平行时,l:4x+y-6=0; 当直线 l 经过线段 AB 的中点时,l:3x+2y-7=0. 12.解:(1)设所求直线方程为 x+2y+c=0, 根据题意

|c?2| ? 5 ,解得 c=3 或 c=-7, 5

所以,所求直线方程为 x+2y+3=0 或 x+2y-7=0. (2)设 P(-2,-1)关于直线 l 的对称点为 P′(x0,y0). 则 kpp'kl=-1,且 PP′的中点在直线 l 上,即点 (

x0 ? 2 y0 ? 1 , ) 在直线 l 上. 2 2

y ?1 ? x0 ? 2 ? 2? 0 ?2?0 ? ? x0 ? 2 y 0 ? 8 ? 0 2 ? 2 所以, ? ,即 ? , ?2 x0 ? y 0 ? 3 ? 0 ? y0 ? 1 ? (? 1 ) ? ?1 ? 2 ? x0 ? 2
解得 x0 ? 13.解:AB 斜率为

2 19 2 19 , y0 ? ? 即 P' ( , ) . 5 5 5 5

1 ,设 C 坐标(x0,y0). 8

所以,

y0 ? 2 ? ?8 ????????① x0 ? 5
21

因为 AH 斜率为 0,∴BC 斜率不存在,即 BC 直线方程为 x=6, 所以,x0=6.??????????② ②代入①,得 y0=-6.∴C 点坐标(6,-6). 14.略解:解 ?

? x ? 2 y ? 1 ? 0, 得 A(-1,0), ? y ? 0,

所以 AB:x-y+1=0. 设 C(x0,y0),因为 BC 与 BC 边上的高线垂直,并且 C 关于直线 y=0(∠A 的平分线) 的对称点 C′在直线 AB 上. 所以,kBC=-2,C′(x0,-y0)在直线 AB 上.

? y0 ? 2 ? ?2 ? 所以, ? x0 ? 1 解得 x0=5,y0=-6,即 C(5,-6),故|BC|= 4 5 . ?x ? y ? 1 ? 0 0 ? 0

测试十四
一、选择题 1.D 2.D 提示: 3.D 4.C 5.C

圆的方程

4.只需坐标原点在圆内,即原点与圆心的距离小于半径,已知圆圆心为 (?

D E ,? ) ,半径 2 2



D 2 ? E 2 ? 4F ( D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0) ,结合 2
? 0) 2 ? ( E 2 ? 0) 2 ? D 2 ? E 2 ? 4F 4
及 D2+E2-4F>0,可得 F<0.

(

D 2

2 5.方程 x ? 1 ? 1 ? ( y ? 1) 可以等价变形为(x-1)2+(y-1)2=1,

且 x-1≥0,1-(y-1)2≥0. 即(x-1)2+(y-1)2=1,且 x≥1,0≤y≤2.
2 所以,方程 x ? 1 ? 1 ? ( y ? 1) 所表示的曲线是半个圆.

二、填空题 6.2x+y=0; 7.(1)a2+b2=r2 且|a|=r 或 b=0,|a|=r;(2)a2+b2<r2;(3)|b|<r; 8.

1 ; 2

9. 9 ? 4 5,6 ;

10. ?

2 5 ? 5

提示: 9.x2+y2 的几何意义是点 P(x,y)到原点距离的平方.利用这个几何意义求解. 10.

y 的几何意义是点 P(x,y)与原点连线的斜率.利用这个几何意义求解. x

三、解答题

22

11.提示:将方程配方为 ( x ?

3 a 2 3 ) ? ( y ? a ) 2 ? 1 ? a ? a 2 ,则 1 ? a ? a 2 ? 0, 2 4 4 2 即 3a2+4a-4<0,(3a-2)(a+2)<0,解得, ? 2 ? a ? ? 3

12.提示:方法一:设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,由已知三个点在圆上,可得

?F ? 0 ? 解得 D=-4,E=0,F=0,所以,所求圆方程为 x2+y2-4x ?16 ? 4 D ? F ? 0 ?2 D ? 2 E ? F ? 8 ? 0 ?
=0. 方法二:注意到 kAC=1,kBC=-1,kACkBC=-1,所以,三角形 ABC 是直角三角形, ∠C=90°,所以,所求圆心为 AB 边中点,即(2,0)点,可求半径 r=2, 所以,所求圆的方程为(x-2)2+y2=4. 13.提示:因为 A(-1,4),B(1,2)是圆 C 上的两点,所以圆心在线段 AB 的中垂线上, 因为 AB 中点坐标为(0,3),kAB=-1,所以线段 AB 的中垂线方程为 x-y+3=0, 解?

?x ? y ? 3 ? 0 2 2 得圆心坐标为(-1,2),半径 r ? (?1 ? 1) ? (2 ? 2) ? 2, ?x ? y ? 1 ? 0

所以,圆 C 的方程为(x+1)2+(y-2)2=4. 14.分析:(1)曲线 C 方程可变形为(x2+y2-20)+a(-4x+2y+20)=0, 由?

? x 2 ? y 2 ? 20 ? 0 ?x ? 4 ,解得 ? . ?? 4 x ? 2 y ? 20 ? 0 ? y ? ?2

即点(4,-2)满足曲线 C 的方程,故曲线 C 过定点(4,-2). (2)曲线 C 方程(x-2a)2+(y+a)2=5(a-2)2,因为 a≠2,所以曲线 C 是圆心为(2a,- a),半径为 5 | a ? 2 | 的圆. 设圆心坐标为 (x , y) ,则有 ?

? x ? 2a 1 ,消去 a 可得 y ? ? x ,故圆心必在直线 2 ? y ? ?a

y??

1 x. 2

测试十五

直线与圆的位置关系

一、选择题 1.C 2.B 3.C 4.C 5.A 提示: 5.圆方程 x2+y2=1,圆心(0,0),半径 1, 切线长的平方=圆心到直线 y=3 距离的最小值的平方 ? r ? 3 ? 1 ?
2 2 2

8 ? 2 2.

二、填空题 6.(x+2)2+(y-3)2=4; 9. ? ?

7.3;

8.x+y-4=0;

? 8 ? ? 8 ? 3,?3 ? ? ? 2, 3?; ? 3 ? ? 3 ?

10. 3 ? m ? 2.
23

提示: 9.圆方程配方为 ( x ?

k 2 3 ) ? ( y ? 1) 2 ? 16 ? k 2 , 2 4

依题意, (1 ?

k 2 3 3 ) ? (2 ? 1) 2 ? 16 ? k 2 ,且 16 ? k 2 ? 0, 4 2 4
8 8 ? 8 ? ? 8 ? 3?k? 3 ,所以, ? ? 3,?3 ? ? ? 2, 3?. 3 3 ? 3 ? ? 3 ?

解得 k<-3 或 k>2,且 ?

10.结合图形,求出直线与圆在第一象限相切时的 m 值为 2,求出直线过(0,1)点时的 m 值为 3 .进而得出 m 值范围. 三、解答题 11.提示:(1)方法一:由已知,AB:x+y-1=0,与圆方程联立,解方程组得 x ? 则 | AB |?

| x2 ? x1 | ? 30. π cos 4
| ?1 | 2 ? , 2 2
1 2 ? 30.

1 ? 15 , 2

方法二:圆心到直线 AB 的距离 d ?

所以 | AB |? 2 r ? d
2

2

?2 8?

(2)当弦 AB 被点 P 平分时,AB⊥OP,又 kOP=-2, 所以, k AB ?

1 , AB : x ? 2 y ? 5 ? 0. 2

12.提示:注意到,过点 P(6,-4)倾斜角为 90°的直线不满足题意,设所求直线为 y+4 =k(x-6),由弦长为 6 2 ,圆半径为 20 ,所以圆心 O 到所求直线的距离为 2 , 即

| 6k ? 4 | 1? k
2

? 2 ,解得 k=-1 或 k ? ?

7 ,所以所求直线方程为 x+y-2=0 或 7x 17

+17y+26=0. 13.略解:圆(x+1)2+(y-3)2=5 的圆心为(-1,3),

?(a ? 1) 2 ? (b ? 2) 2 ? (a ? 4) 2 ? (b ? 1) 2 ? b?2 3?2 设圆心(a,b),得 ? ? ? a ?1 ?1?1 ?
解得 ?

,

?a ? 3 ,圆心(3,1),半径为 5 ,所以,所求圆方程为(x-3)2+(y-1)2=5. b ? 1 ?
24

14.分析:设所求圆的圆心为 P(a,b),半径为 r,则 P 到 x 轴、y 轴的距离分别为|b|,|a|. 由题设圆 P 截 x 轴所得劣弧所对圆心角为 90°,圆 P 截 x 轴所得弦长为 2r , 故 r2=2b2.又圆 P 截 y 轴所得弦长为 2,所以有 r2=a2+1,从而有 2b2-a2=1. 又点 P(a,b)到直线 x-2y=0 的距离 d ?

| a ? 2b | 5

?

5 ,所以|a-2b|=1, 5

解?

?| a ? 2b |? 1 ?2b ? a ? 1
2 2

,得 ?

?a ? 1 ?a ? ?1 或? . ?b ? 1 ?b ? ?1
2,

由于 r2=2b2,知 r ?

于是所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2 或(x+1)2+(y+1)2=2.

测试十六
一、选择题 1.C 2.A 二、填空题 6. 34 ; 3.A 4.C 5.B

空间直角坐标系

7.1;

8.(0,-1,0),(0,7,0);

9. (1,

3 ,0) ; 2

10.

6 2 .

三、解答题 11.答:点 M 关于平面 xOy 的对称点为(1,-2,-3); 点 M 关于平面 yOz 的对称点为(-1,-2,3); 点 M 关于平面 xOz 的对称点为(1,2,3); 点 M 关于 x 轴的对称点为(1,2,-3); 点 M 关于 y 轴的对称点为(-1,-2,-3);点 M 关于 z 轴的对称点为(-1,2,3). 12.答:点 M 到原点的距离为 14 ;点 M 到平面 xOy 的距离为 3; 点 M 到平面 yOz 的距离为 1;点 M 到平面 xOz 的距离为 2; 点 M 到 x 轴的距离为 13 ;点 M 到 y 轴的距离为 10 ; 点 M 到 z 轴的距离为 5 . 13.答: M (a,

2 1 a,0), N ( a, a, a). 3 2

14.答:(1,0,0)或(-1,0,0).

测试十七
一、选择题 1.C 2.B 提示: 3.B 4.D

平面解析几何初步全章综合练习
5.A

3.直线 l : y ? kx ? 3 过定点 (0,? 3) ,直线 2x+3y-6=0 与 x 轴、y 轴交点坐标为(3,
25

0)、(0,2),作图分析可得答案. 二、填空题 6.x+y-1=0,3x+2y=0; 7.0<m2+n2<3; 8.

4 ; 3

9. 2 2 ;

10.两圆(x-a)2+(y-b)2=r2 与(x-c)2+(y-d)2=r2 的对称轴的方程为 2(c-a)x+2(d-b)y+a2+b2-c2-d2=0. 提示: 9. S PACB ? 2 ? =
2

1 | PA | r (r 是圆的半径),由已知 r=1,所以,即求|PA|的最小值,又|PA| 2

PC ? 1 ,而|PC|的最小值为 C 到直线 3x+4y+8=0 的距离,即
1 | PA | r ? 2 2 . 2

| 3? 4?8| 32 ? 42

?3,

所以,所求最小值为 S PACB ? 2 ?

三、解答题 11.提示:直线 l1 与 l2 的交点坐标为(-1,1), 直线 l1 与 y 轴交点坐标为(0,3),且(0,3)点关于直线 y=-x 对称点坐标为(-3,0), 所以,直线 l2 过点(-3,0)和(-1,1),l2:x-2y+3=0. 12.提示:设圆心为(a,b),由已知|a|=|b|=r,又 a-2b-3=0, 解?

?a ? 2b ? 3 ? 0 ?a ? 2b ? 3 ? 0 ?a ? ?3 ?a ? 1 及? 得? 或? , ?a ? b ?a ? ?b ?b ? ?3 ?b ? ?1

所以,所求圆方程为(x+3)2+(y+3)2=9 或(x-1)2+(y+1)2=1. 13.提示:所求圆即为以已知直线和已知圆相交的弦为直径的圆.

1 ? x? ?x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 ?x ? 1 ? ? 5 解? 得? 或? . ? y ? 2 ? y ? 18 ?2 x ? y ? 4 ? 0, ? 5 ?
即直线与圆的交点坐标为 (1,2), ( ,

4 5 1 18 ) ,弦长为 5 , 5 5

所以圆心为 ( ,

2 5 3 14 ) ,半径为 5 , 5 5

所求圆方程为 ( x ? ) ? ( y ?
2

3 5

14 2 4 ) ? . 5 5

14.提示:注意到点 A(2,4)在直线 2x-y=0 上,所以,已知直线为∠A 的平分线 l,过 B 作与 l 垂直的直线 m:x+2y=0,l 与 m 的交点为(0,0),B(-4,2)关于(0,0)的对称 点为 B′(4,-2),AB′所在直线即为 AC 边所在的直线,所以 AC 边所在的直线方程 为 3x+y-10=0. 15.(1)证明:设 A、B 的横坐标分别为 x1、x2,
26

由题设知 x1>1、x2>1,点 A(x1,log8x1),B(x2,log8x2). 因为 A、B 在过点 O 的直线上,?

log 8 x1 log 8 x2 x1 ? x2 ?

又点 C、D 的坐标分别为(x1,log2x1)、(x2,log2x2), 由于 log 2 x1 ?

log 8 x1 log 8 x2 ? 3 log 8 x1 , log 2 x2 ? ? 3 log 8 x2 , log8 2 log8 2

所以 OC 的斜率和 OD 的斜率分别为:

kOC ?

3 log8 x2 log2 x1 3 log8 x1 log x ? , kOD ? x2 2 ? x2 2 x1 x1

由此得 kOC=kOD,即点 O、C、D 在同一条直线上.
3 (2)解:由 BC 平行于 x 轴,有 log2x1=log8x2,解得 x2= x1 .

将其代入

log8 x1 log8 x2 3 x1 ? x2 ,得 x1 log8 x1 ? 3x1 log8 x1 .

3 由 x1>1, 知 log8x1≠0, 故 x1 =3x1, 即 x1 ? 3 , 于是点 A 的坐标为 ( 3, log8 3).

16.分析:(1)直线 l 的方程可化为 x+y-4+m(2x+y-7)=0,则 l 是过定点(3,1)的直 线束.又(3-1)2+(1-2)2=5<25,∴点(3,1)在圆内部,因此不论 m 为 何实数,直线 l 与圆恒相交. (2)由(1)可知,直线 l 过点 M(3,1),则过此点的直线 l 与圆 O 的半径垂直且 M 为 AB 中点时,l 被圆所截得的弦长|AB|最短.

(| AB |? 2 r 2 ? OM 2 ? 4 5 ) .此时 kl ? ?
直线方程为 y-1=2(x-3),即 2x-y-5=0.

1 kOM

??

1? 3 ? 2, 2 ?1

27


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