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2014自主招生数学模拟试题及答案


数学模拟试题(第一套)

一、选择题 1.在 ?ABC 中, a ? b ? 3c ,则 cos A cos B cos C 的最大值为( A. ). D.

7 81

B.

1 8

C.

1 9

8 81

2

. 在正四棱锥 P - ABCD 中,M ,N 分别为 PB ,PD 的中点, 且侧面棱长等于底面边长. 则异面直线 AM 与 BN 所成角的余弦为( ). A.

1 6 1 6

B.

1 3 5 12

C.

2 3 2 3

D.

3 4
) .

3.掷两枚骰子(每枚有6面, 分别是 1 ~ 6 点), 掷到两枚点数之和为7点以下的概率为 ( A. B. C. D.

1 2
).

4.直线 y ? k ( x ? 1) ? 1与曲线 y ? 1 ? x 2 有两个公共点,则 k 的取值范围是( A. (0, ]

1 2

B. (0,??)

C. (0, ) )种面值. D. 64

1 2

D. ( ,?? )

1 2

5.从10个2分和10个5分的钱币中取出一些,共可得到( A. 70 B. 68 C. 66

6.有 A , B , C 三个景点,假设在一段时间内,它们之间的游客流向具有这样的规律:每经 过一定时间 A 景点的游客会到 B 景点, B 景点的游客会到 C 景点,而 C 景点的游客会有一 半到 A 景点,一半到 B 景点,则经过一段时间达到平衡状态时, A , B , C 三个景点的游 客数量之比为( A. 1 : 1 : 1 ) B. 1 : 2 : 3 C. 1 : 2 : 2 D. 2 : 2 : 3

7. 在 ?ABC 中,在 AB 上取点 C1 使得 AC1 ? 在 CA 上取点 B1 使得 CB1 ?

1 1 AB ,在 BC 上取点 A1 使得 BA1 ? BC , 4 4

1 CA , BB1 与 CC1 交于点 A2 , CC1 与 AA1 交于点 B2 , AA1 与 4


BB1 交于点 C2 .则
A.

S ?A2 B2C2 S ?ABC

?(

4 4 5 5 B. C. D. 13 7 13 9 8. 从 1 ~ 9 九个数字中取出6个, 得到一个顺子(即至少有5个数为连续整数)的棋率为 (
A. 4

) .

A6 6 6 A9

B. 5

A5 5 5 A9

C. 5

A5 A6 5 ?4 6 6 A5 A9 9

D. 4

A5 A6 5 ?5 6 6 A5 A9 9

9. 光线从原点发出,经直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 反射后经过点 (1,0) ,则光线在直线上的入射点

为(

). B. (0,

A. (?1,0) 10. ( x ? x ?
3

3 ) 3

C. (1, ). C. 40

2 3 ) 3

D. (?2,?

3 ) 3

1 6 ) 的展开式中 x 2 的系数为( x
B. 30

A. 20 二、解答题

D. 50

11. 在边长为2的正方体为 ABCD? A1B1C1D1 中,E 为 DD1 的中点.求点 A1 到面 ACD 的距 离.

12. 有4个互不相等的自然数,将它们两两相加,可以得到6个不同的和,其中较小的4个和 是 64,66,68,70.求这4个数.

13. 在 ?ABC 中,已知

cos A cos B ? ? 2 .求证: ?C ? 90? . sin B sin A

13. 把600粒花生分给100只猴子.请证明不管怎样分,至少有8只猴子分的花生一样多.

14. 已知 a , b , c 为正数.求证:

a2 b2 c2 a?b?c ? ? ? . b?c a?c a?b 2

数学模拟试题(第一套) 答
一、选择题 1.利用正弦定理,将边的关系转化为角的关系, sin A ? sin B ? 3 sin C ? 3 sin( A ? B) ,



sin

A? B A? B A? B A? B A? B A? B A? B ? 3 cos cos ? 3 sin cos ?1 , cos .而 cos 2 2 2 2 2 2 2 7 7 A? B 1 ? ,所以 cos( A ? B) ? ? ,即 cos C ? . 所以 cos 9 9 2 3 1 1 cos A cos B cos C ? [cos( A ? B) ? cos( A ? B)] cos C ? (1 ? cos C ) cos C 2 2 1 1 1 1 7 1 1 7 ? ? (cos C ? ) 2 ? ? ? ? ( ? ) 2 ? ? . 答案: A 2 2 8 2 9 2 8 81

10. 不妨设棱长为1,取 PN 的中点 E ,连接 ME , AE .在 ?PAD 中,由余弦定理求出

AE ?

13 3 1 3 ,在 ?AME 中, AM ? , EM ? BN ? ,由余弦定理求出 4 2 2 4
1 . 答案: A 6

cos ?AME ?

11. 解法一:当第一枚1点,第二枚可以1,2,3,4,5点;当第一枚2点,第二枚可以1,2, 3,4;当第一枚3点,第二枚可以1,2,3;当第一枚4点,第二枚可以1,2;当第一枚5点,

15 5 ? . 答案: B 6 2 12 1 5 解法二:先算和为7点的概率为 , 而剩余情况 中, 大于7点的概率等于小于7点的概率, 6 6 5 各为 . 答案: B 12
第二枚可以1点,共15种情况,概率为 12. 由数形结合,过点 (1,1) 的直线与单位圆的上半圆相交,斜率 k 的范围为 (0, ] . 答案: A

1 2

13. 可得到的面值有2,4,5,6,…,64,65,66,68,70,从4到66是连续的,所以共66 种. 答案: C 14. 设到达平衡状态时, A , B , C 三个景点的游客数量分别为 x , y , z ,则 x ?

z , 2

y ? x?

z , z ? y ,所以 x : y : z ? 1 : 2 : 2 . 答案: C 2

7. 作 A1D // CC1 ,则

3 3 BD BA1 1 AB , ? ? ,而 BC1 ? AB ,故 BD ? 4 16 BC1 BC 4

C1 D ?

3 3 9 A B C D 9 AB2 4 AB ? AB ? AB ,所以 1 2 ? 1 ? , ? .类似的方法可求出 4 16 16 AB2 AC1 4 AA1 13

A1C2 1 ? ,于是 AA1 上的三条线段之比 4 : 8 : 1 .同样,可得 BB1 , CC1 上的三条线段之比 AA1 13
也都是 4 : 8 : 1 .

S ?A2 B2C2 S ?A1B2C

?

B2C2 A2 B2 8 2 16 S?A1B2C A1B2 9 , ? ? , ? ? ? ? AA 13 A1 B2 B2C 9 3 27 S?AA1C 1

S ?AA1C S ?ABC

?

S ?A B C A1C 3 16 9 3 4 ? ,所以 2 2 2 ? ? ? ? . 答案: A BC 4 S ?ABC 27 13 4 13

? 56789之一的概率为 5 15. 取到12345, ? ? ,

A5 A6 5 , 取到123456, 456789之一的概率为 4 6 …, 6 A5 A9 9

所以得到一个顺子的概率为 5

A5 A6 5 ? 4 6 . 答案: C 6 A5 A9 9

16. 入射角等于出射角,进而算出斜率. 答案: B 17. x 可以是2个 x 和4个
2 3

1 1 的乘积,也可以是4个 x 和2个 的乘积,所以概率为 x x
答案: B

2 4 C6C4 ? C6C2 ? 6 ? 5 ? 30 . 4 2

二、解答题 11. 取 AC 的中点 F ,容易求出 ?DEF 的高 DH (就是 D 点到面 ACD 的距离)为

6 .因 3

为 AA // DE , AA ? 2DE ,所以 A1 到面 ACD 的距离为 D 点到面 ACD 的距离的2倍,即 1 1

2 6 . 3
12. 设4个数为 a ,b , c , d ,且 a ? b ? c ? d ,则6个和为 a ? b , a ? c , a ? d ,b ? c ,

b ? d , c ? d .于是有 a ? b ? a ? c ? a ? d ? b ? c ? b ? d ? c ? d 或 a?b ? a?c ? b?c ? a?d ? b?d ? c?d

? a ? b ? 64 ? a ? b ? 64 ?a ? 30 ? a ? 31 ? a ? c ? 66 ? a ? c ? 66 ?b ? 34 ? b ? 33 ? ? ? ? 则? ,或 ? ,分别解得 ? ,或 ? ?a ? d ? 68 ?a ? d ? 70 ? c ? 36 ? c ? 35 ? b ? c ? 70 ? b ? c ? 68 ?d ? 38 ?d ? 39 ? ? ? ?
13. sin A cos A ? sin B cos B ? 2 sin A sin B , sin 2 A ? sin 2 B ? 4 sin A sin B ,

sin(A ? B) cos(A ? B) ? cos(A ? B) ? cos(A ? B) , sin C cos(A ? B) ? cos(A ? B) ? cosC .
以下用反证法:假设 sin C ? 1 ,则 cos( A ? B) ? ? 只要证明

| cosC | ? ? 1 ,就导致矛盾.事实上,利用 cos x ? sin x ? 1(1 ? x ? ) 即得, 1 ? sin C 2

cos C . 1 ? sin C

? 所以假设 sin C ? 1 不成立,即 ?C ? 90 .

14. 假设没有8只猴子分的花生一样多,那么至多7只猴子分的花生一样多.我们从所需花生 最少情况出发考虑:分得0粒,1粒,2粒,…….13粒的猴子各有7只,分得14粒,15粒花生的 猴子各有1只,于是100只猴子最少需要分的花生为 7 ? (0 ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? 13) ? 14 ? 15 ? 666 粒,现在只有600粒花生,无法使得至多7只猴子分的花生一样多,故至少有8只猴子分的花 生一样多. 15. 利用柯西不等式 (a ? b ? c )(x ? y ? z ) ? (ax ? by ? cz) ,得
2 2 2 2 2 2 2

(

? a2 a2 b2 c2 b2 ? ? )[(b ? c)(c ? a)(a ? b)] ? ? (b ? c) ? (c ? a ) ? b?c b?c c?a a?b c?a ?

? c2 ? ( a ? b) ? ? ( a ? b ? c ) 2 . ? a?b ?
所以

2

a2 b2 c2 a?b?c ? ? ? b?c c?a a?b 2


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