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人教版高考数学课件:反证法


第 26 课时§2.2.2 反证法 发 现 问 题 情景导思 问题: “某班有 49 位学生,则这个班至少会 有五位学生的生日在同一个月” ,这一判断 对吗?为什么? 分析:从正面不易作出判断,可从结论的反 面入手. 假设至多只有 4 位学生的生日在同一个月, 即生日同在 1,2,3,?12 月的学生人数都 不超过 4 人, ∴该班学生总数 m≤4×12=48 人,与该班 有 4

9 个学生的条件矛盾, ∴假设不成立, ∴至少会有 5 位学生的生日 在同一个月. 【思维方法】直接证明比较困难,可从否 定结论的反面进行证明, 这是反证法的基本 思想方法. ④ 结论的反面比原结论更具体或更易于证 明. 学法指导 1.利用反证法证明否定型命题 【例 1】如图,设 SA、SB 是圆锥 SO 的两 条母线,O 是底面圆心,C 是 SB 上一点。 求证:AC 与平面 SOB 不垂直. 【思维方法】结论是 “ 不垂直 ” ,呈 “ 否定 性 ” ,考虑使用反证 法,即假设 “ 垂直 ”后 再导出矛盾后,再肯 定“不垂直”. 【证明】 :假设 AC⊥ 平面 SOB, ∵ 直 线 SO 在 平 面 SOB 内, ∴AC⊥SO, ∵SO⊥底面圆 O,∴ SO⊥AB, ∴SO⊥平面 SAB, ∴平面 SAB∥底面圆 O, 知识清单 知识点 1:反证法的基本原理: 一般地,假设原命题不成立,经过正确 的推理, 最后得出矛盾, 因此说明假设错误, 从而证明了原命题成立. 知识点 2:反证法证明命题的一般步骤: ① 反设:假设命题的结论不成立,即假设 结论的反面成立; ② 归谬:从假设出发,经过推理论证,得 出矛盾; ③ 结论:由矛盾判定假设不正确,从而肯 定命题的结论正确. 知识点 3:反证法一般常用于有下述特点的 命题的证明: ① 结论本身以否定形式出现; ② 结论是“至少” 、 “至多” 、 “唯一” 、 “都 是”等形式; ③ 结论涉及“存在或不存在” , “有限或无 限”等形式; 这显然出现矛盾,所以假设不成立. 即 AC 与平面 SOB 不垂直. 【点评】证明否定型命题常用反证法.例如 证明异面直线,可以假设共面,再把假设作 为已知条件推导出矛盾。 常见否定型命题如 结论是 “不可能??” , “不能表示为??” , “不是??”,“不存在??”,“不等 于??”,“不具有某种性质”等. 2.用反证法证明“至多” 、 “至少”型命题 【例 2】已知: f ( x) ? x ? px ? q 2 O B A C S 互 动 课 堂 ⑴ 求证: f (1) ? f (3) ? 2 f (2) ? 2 ⑵ 求证: f (1) 、 f (2) 、 f (3) 中至少有一个不 小于 1 2 【证明】 :⑴ f (1) ? f (3) ? 2 f (2) ? (1 ? p ? q) ? (9 ? 3 p ? q) ? 2(4 ? 2 p ? q) ?2 ⑵ 假设 f (1) 、 f (2) 、 f (3) 中至少有一个不小 于 的限小数或无限循环小数, 可用既约分数表 示 【证明】 :假设 5 不是无理数,则 5 是有 理数, 设 5? 1 不成立, 2 2 则假设 | f (1) |? 1 , | f (2) |? 1 , | f (3) |? 1 , 2 2 则有 f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? 2 而 f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? 2 这与 f (1) ?

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