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江苏省常州市常州中学2012届高三最后冲刺综合练习(八,文数)(含答案)


江苏省常州市常州中学 2011-2012 高三数学(文)最后冲刺综合练习 试卷(八)
一、填空题: 1.若复数 z 满足 ( 2 ? i ) z ? 5 (i 是虚数单位),则 z= 2.求值
3 ? s in 6 0
2 ? ?



2 ? cos 15

=

.

.

3.三棱锥的三条侧棱两两垂直,且长度分别为 1cm,2cm,3cm,则此棱锥的体积为 4.已知向量 a ? ? ?
? ? 3 ? 2 ,? ? 3 3 ? ? ,? ?,b ? ? ? 2 2 ? ? ?
b x

? ? ? ?

,若 a // b ,则 ? 的值为_____________.

?

?

5.已知函数 f ( x ) ? a x ? 函数 f ( x ) 的解析式 为______________. 6.若数列 ? a n ? 满足
a n ?1 an
2 2

的图象在点 M

?

3, f

?

3

? ? 处的切线方程为 y ?

2 3

x?

2 3

3

, 则

? p

(p 为正常数, n ? N ) ,则称 ? a n ? 是“等方比数列”.甲:数列
*

? a n ? 为等方比数列;
乙:数列 ? a n ? 为等比数列.甲是乙的____________条件.(填“充分不必要”“必要不充分” , , “充要”“既不充分 , 又不必要”) 7.有一个正方形网格,其中每个小正方形的边长都等于 6cm。现用直径等于 2cm 的硬币投 掷到此网格上,则硬 币落下后与网格有公共点的概率为_____________.
?x ?1
2

8. 已知函数 f ( x ) ? ?

?1? x ? 1 ? 1 ? x或 x ? 1

,若方程 f ( x ) ? m ? 0 在 R 上有且只有两个零

?2 | x |

点,则实数 m 的取值 范围是 .
0 . 38

频率 组距

9. 某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部在[13,18]内,将测试结 果按如下方式分成五组:第一组[13,14) ;第二组[14,15) ;……;第五组 [17,18].右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图, 且第一组,第二组,
第 1 页 共 10 页
0 . 08

0 . 06

O

13

14

15

16

17

18



第四组的频数成等比数列,则成绩在[13,15)内的学生有
?x ? y ? 5 ? 0 ? x ? 3 10.若 x、 y 满足不等式组 ? ? ?x ? y ? k ? 0

名.

时,恒有 2 x ? 4 y ? ? 6 ,则 k 的取值范围是___

__. 11 . 设 x1,x2 是 a x ? b x ? 1 ? 0 的 两 实 根 ; x3,x4 是 a x ? b x ? 1 ? 0 的 两 实 根 . 若
2 2 2

x 3 ? x1 ? x 2 ? x 4 ,则实数 a 的取值范围是____________.

12. 在等差数列 ? a n ? 中, n 项的和 S n ? 前 _ 或“=”). 4(填“>”“<”

n m

, m 项的和 S m ? 前

m n

, 其中 m ? n , S m ? n __ 则

13. 在等腰梯形 ABCD 中,AB∥CD,且 AB>CD. 设以 A、B 为焦点且经过点 C、D 的双 曲线的离心率为 e1 , 以 C、D 为焦点且经过点 A、B 的椭圆的离心率为 e 2 ,则 e1 ? e 2 =_____ . 14.给出定义:若 m ?
1 2 ? x ? m ? 1 2

(其中 m 为整数),则 m 叫做离实数 x 最近的整数,记

作{x},即{x}=m. 在 此基础上给出下列关于函数 f ( x ) ? | x ? { x } | 的四个命题: ① y ? f ( x ) 的定义域是 R,值域是[0,
1 2

];② y ? f ( x ) 的图像关于直线 x ?
? ?

k 2

(k ? Z )



称;③函数 y ? f ( x ) 是周期函数,最小正周期是 1;④ 函数 y ? f ( x ) 在 ? ? 函数.则其中真命题的序号是 二、解答题: 15.(本小题满分 14 分)
f ( x )?

1 1? 上是增 , ? 2 2?



2 已 知 O 为 坐 标 原 点 , O A ? ( 2 a s in x , a ) , O B ? (1, ? 2 3 s i n x c o s x ? 1) , 函 数

??? ?

??? ?

? ? ?? ? ? ? ? O ? O ? ( b ? a , b? a0 ) A B ,

⑴求当 a=1 时函数 f ( x ) 的单调递增区间;⑵若 f ( x ) 的定义域为 求 a、 b 的值.

?? ? , ? ,值域为 ? 2 , 5 ? , ? ? ?2 ?

第 2 页 共 10 页

16.(本小题满分 14 分) 某隧道长 2150m,通过隧道的车速不能超过 20 m/s.一列有 55 辆车身长都为 10m 的同一车 型的车队 (这种型号的车能行驶的最高速为 40m/s) 匀速通过该隧道, , 设车队的速度为 xm/s, 根据安全和车流的需要,当 0 ? x ? 10 时,相邻两车之间保持 20m 的距离;当 10 ? x ? 2 0
( 时,相邻两车之间保持 1 6 x
2

?

1 3

x) m

的距离.自第 1 辆车车头进入隧道至第 55 辆车尾离

开隧道所用的时间为 y ( s ) . ⑴将 y 表示为 x 的函数;⑵求车队通过隧道时间 y 的最小值及此时车队的速 度. ? 3 ? 1 .7 3 ?

17.(本小题满分 16 分) 如图,已知圆 O: x 2 ? y 2 ? 2 交 x 轴于 A、B 两点,点 P 在圆 O 上运动(与 A,B 不重合) , 过 P 作直线 l1 与 x 轴交于点 T,OS 垂直 l1 且交直线 l2:x=-3 于点 S. ⑴求证:如果直线 l1 过点 T(-
2 3

,0) ,那么直线 SP 与圆 O 相切.
??? ??? ? ?

⑵证明:直线 l1 经过定点 ( ? 1, 0 ) 的充要条件是 O P ?P S ? 1

S

y l2 A T O P l1

Bx

第 3 页 共 10 页

18.(本题满分 14 分) 某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求,进行了 20 天的测试, 人为地调控每天产品的单价 P (元/件) :前 10 天每天单价呈直线下降趋势(第 10 天免费赠 送品尝) ,后 10 天呈直线上升,其中 4 天的单价记录如下表: 时间 (将第 x 天记为 x) 1 10 11 18 x 9 0 1 8 单价(元/件)P 而这 20 天相应的销售量 Q (百件/天)与 x 对应的点 ( x , Q ) 在如图所示的半圆上. (Ⅰ)写出每天销售收入 y (元)与时间 x (天)的函数关系式 y ? f ( x ) ; (Ⅱ)在这 20 天中哪一天销售收入最高?为使每天销售收入最高,按此次测试结果应将单 价 P 定为多少元为好?(结果精确到 1 元)

19.(本小题满分 16 分) 设函数 f ( x ) ? x 2 ? b ln ( x ? 1) ⑴若函数 f ? x ? 在 x=1 处取极值,求实数 b 的值;⑵若函数 f ( x ) 的定义域上是单调函数, 求 b 的取值范围;
n

⑶若 b ? ? 1 ,证明对任意的正整数 n,不等式 ? f ?
k ?1

1 1 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 都成立. 2 3 n ? k ?

第 4 页 共 10 页

20.(本小题满分 16 分) 由 1,2,3,4,…,n 为第一行, 从第二行开始每行的每一个数都等于其肩上两个数之和构成如图 1 所示的三角形数表.设 f ( i , j )( i , j ? 1, 2, 3, ? , n 且 i + j ? n + 1 , n ? N * ) 表示第 i 行第 j 个数. ⑴求 f ( i , j ) 及 M; ⑵令 a n ? 证明:
a1 a2
f ( n , 1) 2
n

,当 n 取一切正整数时,
? a1 a 3 a 5 a2a4a6 ?? ? a1 a 3 ? a 2 n ?1 a2a4 ? a2n ? 4 an ? 2

?

a1 a 3 a2a4

江苏省常州市常州中学 2011-2012 高三数学(文)最后冲刺综合练习 试卷(八)参考答案
1. 2+i 7. ? 13.
1 2

2. 2 8.k≥0

3. 1 9.
5 9

4. f ( x ) ? x ? 10. a>1

1 x

5. 必要非充分 6. m>1 11. 12 12. >

1

14. ①②③

15.解: (1)
??? ??? ? ? 2 f ( x ) ? O A ?O B ? b ? 2 a s i n x ? 2 ? ? 2 a s in ( 2 x ? 3 a s in x c o s x ? a ? b

?
6

) ? 2a ? b

………… 4 分

∴当 a ? 1 时, f ( x ) ? ? 2 s in ? 2 x ?
?

?

? ?

?? 2?b, 6 ?

由2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

3? 2

?k

? Z

?
2? ? k ? Z ? . …………… ?? 3 ?

得 y ? f ( x ) 的单调递增区间为 k ? ? ?
?

?

?
6

, k? ?

6分

(2) f ( x ) ? ? 2 a s i n ( 2 x ?

?
6

) ? 2a ? b

当x?

? ? ? 7 ? 1 3? ? ? ? ? 1? ?? ? ? ? ,? ,? 2 x ? , , s in ? 2 x ? ?? ? ? ? ? ? 1, ? ? ? ? 6 ? ? 6 6 ? 6 ? ? 2? ?2 ? ? ?

………8 分

第 5 页 共 10 页

当 a ? 0 时, ?

? ?

2a ? 2a ? b ? 5 1

??2a? ? 2a ? b ? 2 ? 2

,解得 ?

?a ? 1 ?b ? 1

,不满足 a ? b ,舍去;…10 分

? 2a ? 2a ? b ? 2 ?a ? ?1 ? 当 a ? 0 时, ? ,解得 ? ,符合条件。……………12 分 1 ?2a? ? 2a ? b ? 5 ? b ? 6 ? ? 2

综上 a ? ? 1, b ? 6 。
2150 ? 10 ? 55 ? 20 ? ( 55 ? 1 ) x

…………………14 分
3780 x

16(1)当 0 ? x ? 10 时, y ?

?

………2 分

2150 ? 10 ? 55 ? (

1 6 x

x

2

?

1 3

x ) ? ( 55 ? 1 )
?

当 10 ? x ? 20 时, y ?

2700 x

? 9 x ? 18

……………………………4 分
3780 ? ( 0 ? x ? 10 ) ? x 所以, y ? ? 2700 ? ? 9 x ? 18 (10 ? x ? 20 ) ? x

…………………………6 分

(2)当 x ? ( 0 ,10 ] 时,在 x ? 10 时, y min ?

3780 10

? 378 ( s )

………………8 分

当 x ? (10 , 20 ] 时, y ?

2700 x

? 9 x ? 18 ? 18 ? 2 ?

9x ?

2700 x

? 18 ? 180

3 ? 329 . 4 ( s )

当且仅当 9 x ?

2700 x

,即: x ? 17 . 3 ( m / s ) 时取等号.

因为 17 . 3 ? (10 , 20 ] ,所以 当 x ? 17 . 3 ( m / s ) 时, y min ? 329 . 4 ( s ) … ………12 分 因为 378 ? 329 . 4 ,所以 当 x ? 17 . 3 ( m / s ) 时, y min ? 329 . 4 ( s ) ………………14 分
2 2 17 解 (1)设 P ? x 0 , y 0 ? ? y 0 ? 0 ? ,则 x 0 ? y 0 ? 2 .

当 x0 ? ?

2 3

时,∵直线 l1 过点 T(-

2 3

,0) ,∴S(-3,0) ,即

??? ? ??? ??? ? ? 2 2 P S ? ? ? 3 ? x 0 , ? y 0 ? ,? O P ?P S ? ? 3 x 0 ? x 0 ? y 0 ? 2 ? 2 ? 0

…………2 分

第 6 页 共 10 页

当 x0 ? ?

2 3

时,∵直线 l1 过点 T(-

2 3

,0) ,∴直线 l1 斜率 k 1 ?

y0 x0 ? 2 3



x0 ?

2 3

x0 ?

2 3 x

∴直线 OS 的斜率 k ? ?
y0

,其方程为 y ? ?
y0

,∴ S ? ? 3,
?

?

3 x0 ? 2 ? ?, y0 ?



??? ? ? ? 3 x0 ? 2 P S ? ? ? 3 ? x0 , ? y0 ? y0 ? ?



……………………4



??? ??? ? ? 2 2 ? O P ?P S ? ? 3 x 0 ? x 0 ? 3 x 0 ? 2 ? y 0 ? 2 ? 2 ? 0

。 …………6 分

? OP ? PS

∵点 P 在圆 O 上,∴直线 SP 与圆 O 相切。
??? ??? ? ?

(2)充分性:若 O P ?P S ? 1 , 设 S(-3,t) ? x 0 , y 0 ? ? y 0 ? 0 ? ,P 则 P S ? ? ? 3 ? x 0 , t ? y 0 ? ,? O P ?P S ? 1,? ? 3 x 0 ? x 0 ? ty 0 ? y 0 ? 1 ,
2 2

??? ?

??? ??? ? ?

又 x 0 2 ? y 0 2 ? 2 ,? t ?

3 ? 3 x0 y0



当 x 0 ? ? 1 时,直线 l1 的方程为 x=-1,显然过点 T(-1,0) …………8 分 . 当 x 0 ? ? 1 时,直线 OS 的斜率 k ? ?
x0 ? 1 y0



∴直线 l1 的方程为 y ? y 0 ?

y0 x0 ? 1

( x ? x0 ) ,

令 y=0,得 x=-1,∴直线 l1 恒过定点(-1,0) .…………………12 分 必要性:证明略 …………………15 分
??? ??? ? ?

综上,直线 l1 经过定点 ( ? 1, 0 ) 的充要条件是 O P ?P S ? 1 .
?10 ? x , x ? ?1 ,10

……………………16 分

18【解】 (1) p ? ?
Q ?

?

? x ? 10 , x ? ?11 , 20
2

?

,x? N

*


*

………3 分 ………6 分
2

100 ? ? x ? 10

? , x ? ?1, 20 ?, x ?
?x
? 10

N ,

∴ y ? 100 Qp ? 100

?

2

?100

? ? x ? 10

?

?, x ? ?1, 20 ?, x ? N

*



………8 分

第 7 页 共 10 页

(2)∵ ? x ? 10 ? ?100 ? ? x ? 10 ?
2
2

2

?

? ? x ? 10 ? ? ? ?
2

?

2

? 100 ? ? x ? 10 2

?

2

? ? ? ?

2

? 2500 ,……11 分

∴当且仅当 ? x ? 10 ? ? 100 ? ? x ? 10 ? ,即 x ? 10 ? 5 2 时, y 有最大值。……13 分
* ∵ x ? N ,∴取 x ? 3或 17 时, y max ? 700

51 ? 4999

(元) ,

此时, p ? 7 (元) 。答:第 3 天或第 17 天销售收入最高,此时应将单价 P 定为 7 元为好

19 解: (1)由 x ? 1 ? 0 得 x ? ? 1 ,? f ( x ) 的定义域为 ( ? 1, ? ? ) ,
? 函数 f

1分

? x ? 在 x=1 处取极值,故有
b x ?1 ,? 2 ? b 2 4 x ?1

f (1) ? 0 ,
'

∵ f (x) ? 2 x ?
'

? 0 , 解得 b ? ? 4

.……………………3 分

当 b ? ? 4 时, ? f ( x ) ? 2 x ?
'

?

( x ? 2 ) ( x ? 1) x ?1



当 x ? 1 时, f ' ( x ) ? 0 ,函数单调递增;当 ? 1 ? x ? 1 时, f ' ( x ) ? 0 ,函数单调递减。 ∴函数 f ? x ? 在 x=1 处取极值,故 b ? ? 4
b x ?1 2x ? 2x ? b x ?1
2

………………4 分

(2)? f ( x ) ? 2 x ?
'

?

又函数 f(x)在定义域上是单调函数,∴ f ' ( x ) ? 0 或 f ' ( x ) ? 0 在 ( ? 1, ? ? ) 上恒成立. 若 f ' ( x ) ? 0,? x ? 1 ? 0,? 2 x 2 ? 2 x ? b ? 0 在 ( ? 1, ? ? ) 上恒成立,
? ?
1 1 ? 1 恒成立,由此得 b ? ; ? ? 2 2? 2
2

2

即b ? ?2 x2 ? 2 x ? ?2 ? x ?

8分

若 f ' ( x ) ? 0,? x ? 1 ? 0,? 2 x 2 ? 2 x ? b ? 0 在 ( ? 1, ? ? ) 上恒成立, b ? ? 2 x ? 2 x 恒成立, 即 因 ? 2 x ? 2 x 在 ( ? 1, ? ? ) 上没有最小值,∴不存在实数 b 使 f ( x ) ? 0 恒成立.
2

综上所述,实数 b 的取值范围是

?1 ? , ?? ? . ? ?2 ?

………………………

10 分

(3) b ? ? 1 时, 当 函数 f ( x ) ? x 2 ? ln ( x ? 1) , 令函数 h ( x ) ? f ( x ) ? x 3 ? x 2 ? ln ( x ? 1) ? x 3 ,

第 8 页 共 10 页

则h'(x) ? ?3x2 ? 2 x ?

1 x ?1

? ?

3 x ? ( x ? 1) x ?1

3

2

,∴当 x ? ? 0 , ? ? ? 时, h ' ( x ) ? 0 ,所以函数

h(x)

在 ? 0 , ? ? ? 上单调递减.又 h ( 0 ) ? 0 ,∴当 x ? ? 0 , ? ? ? 时,恒有 h ( x ) ? h ( 0 ) ? 0 ,即
3

x ? ln ( x ? 1) ? x .
2

……14 分
1 k

? k ? N ? ,?

1 k

? ? 0, ?? ? ,

取x ?

,则有 f ?

1 ? 1 ? ? ? 3 , k ? k ?

n

∴? f ?
k ?1

1 1 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ,故结论成立.………………………………16 分 2 3 n ? k ?

20(1)解:注意到每行的数构成等差数列,且公差分别为 2 0 , 2 1 , 2 2 , ? . 当 i ? 2 时,
? f ( i , j ) ? f ( i ? 1, j ) ? f ( i ? 1, j ? 1) ? f ( i ? 1, j ) ? f ( i ? 1, j ) ? 2
f (i, j ) 2
i

i?2

? 2 f ( i ? 1, j ) ? 2

i?2

?

?

f ( i ? 1, j ) 2
i ?1

?

1 4

.? ?

f (1, j ) j 1 ? f (i, j ) ? ? 为首项, 为公差的等差数列. ? 是以 i 2 2 4 ? 2 ?

?

f (i, j ) 2
i

?

j 2

? ( i ? 1) ?

1 4

,即: f ( i , j ) ? ? i ? 2 j ? 1 ? ?2

i? 2

………………

4分

由题知:M 是第 n 行第一个数.令 i=1,j=1 得 M= f ( n ,1) ? ( n ? 1) ? n ? 2 . ………… 6 分 2
* (2)证 当 n ? N 时, a n ?

f ( n , 1) 2
n

?

n ?1 4

. 设 An ?

a1 a 3 ? a 2 n ?1 a2a4 ? a2n



即 An ?

2 ?4 ?6 ?? ?( 2 n ) 3 ?5 ?7 ?? ?( 2 n ? 1)
4 5 5 6 2n 2n ? 1

.又设 T n ?
2n ? 1 2n ? 2

3 ?5 ?7 ?? ?( 2 n ? 1) 4 ?6 ?8 ?? ?( 2 n ? 2 )

,由真分数的性质知

2 3

?

3 4

,

?

,? ,

?

,

?

2 ?4 ?6 ?? ?( 2 n ) 3 ?5 ?7 ?? ?( 2 n ? 1)

?

3 ?5 ?7 ?? ?( 2 n ? 1) 4 ?6 ?8 ?? ?( 2 n ? 2 )

,即 A n ? T n .

…………………10 分

从而
A n ? A n ?T n ?
2

1 n ?1

, An ?

1 n ?1

?

2 n ?1 ? n ?1

?

2 n ?1 ? n

? 2(

n ?1 ?

n)

?

a1 a2

?

a1 a 3 a2a4

? 1?

a1 a 3 a 5 a2a4a6 3 ?

?? ?

a1 a 3 ? a 2 n ?1 a2a4 ? a2n

? A1 ? A 2 ? ? ? A n n ) ? 2( n ? 1 ? 1)

? 2(

2 ?

2 ?? ?

n ?1 ?

第 9 页 共 10 页

? 2(2

a n ? 1) ? 4

a n ? 2 ………16 分

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