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近5年高考数学理科试卷(全国卷1)分类汇编--函数 (解析版)(大题版)(2011年2012年2013年2014年2015年)


2011 (21) (本小题满分 12 分) 已 知 函 数 f ( x) ?
x ? 2y ? 3 ? 0 。
a ln x b ? , 曲 线 y ? f ( x) 在 点 ( 1 ,f ( 1处 ))的切线方程为 x ?1 x

(Ⅰ)求 a 、 b 的值; (Ⅱ)如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ? 解:
ln x k ? ,求 k 的取值范围。 x ?1 x

(Ⅰ) f '( x) ?

?(

x ?1 ? ln x) b x ? 2 2 ( x ? 1) x

由于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率为 ?

? f (1) ? 1, 1 ? ,且过点 (1,1) ,故 ? 1 即 2 f '(1) ? ? , ? ? 2

?b ? 1, ? ?a 1 ?b ? ? , ? ?2 2

解得 a ? 1 , b ? 1 。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

ln x 1 ? ,所以 x ?1 x

ln x k 1 (k ? 1)( x 2 ? 1) f ( x) ? ( ? )? (2ln x ? )。 x ?1 x 1 ? x2 x
(k ? 1)( x 2 ? 1) (k ? 1)( x 2 ? 1) ? 2 x ( x ? 0) ,则 h '( x) ? 考虑函数 h( x) ? 2ln x ? 。 x2 x

(i)设 k ? 0 ,由 h '( x) ? 故

k ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1) 2 知,当 x ? 1 时, h '( x) ? 0 。而 h(1) ? 0 , x2

1 h( x) ? 0 ; 1 ? x2 1 当 x ? (1,+ ? )时,h(x)<0,可得 h(x)>0 1? x2 ln x k ln x k 从而当 x>0,且 x ? 1 时,f(x)-( + )>0,即 f(x)> + . x ?1 x x ?1 x 1 (ii)设 0<k<1.由于当 x ?(1, )时, (k-1) (x2 +1)+2x>0,故 h’ (x)>0, 1? k

当 x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,可得

而 h(1)=0,故当 x ? (1, 矛盾。

1 1 )时,h(x)>0,可得 h(x)<0,与题设 1? k 1? x2

(iii)设 k ? 1.此时 h’ (x)>0,而 h(1)=0,故当 x ?(1,+ ? )时,h(x)>0, 可得
1 h(x)<0,与题设矛盾。 1? x2

综合得,k 的取值范围为(- ? ,0]

2012
21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f ' (1)e
x ?1

? f (0) x ?

1 2 x . 2 1 2 x ? ax ? b ,求 (a ? 1)b 的 2

(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式及单调区间; (Ⅱ)若 f ( x) ? 最大值. 【解析】 (1) f ( x) ? f ?(1)e
x ?1

? f (0) x ?

1 2 x ? f ?( x) ? f ?(1)e x ?1 ? f (0) ? x 2

令 x ? 1 得: f (0) ? 1

f ( x) ? f ?(1)e x ?1 ? x ?
得: f ( x) ? e ? x ?
x

1 2 x ? f (0) ? f ?(1)e ?1 ? 1 ? f ?(1) ? e 2

1 2 x ? g ( x) ? f ?( x) ? e x ?1 ? x 2

g?( x) ? ex ? 1 ? 0 ? y ? g ( x) 在 x ? R 上单调递增
f ?( x) ? 0 ? f ?(0) ? x ? 0, f ?( x) ? 0 ? f ?(0) ? x ? 0
得: f ( x ) 的解析式为 f ( x ) ? e ? x ?
x

1 2 x 2

且单调递增区间为 (0, ??) ,单调递减区间为 ( ??, 0) (2) f ( x) ?

1 2 x ? ax ? b ? h( x) ? e x ? (a ? 1) x ? b ? 0 得 h?( x) ? ex ? (a ? 1) 2

①当 a ? 1 ? 0 时, h?( x) ? 0 ? y ? h( x) 在 x ? R 上单调递增

x ??? 时, h( x) ? ?? 与 h( x) ? 0 矛盾
②当 a ? 1 ? 0 时, h?( x) ? 0 ? x ? ln(a ? 1), h?( x) ? 0 ? x ? ln(a ? 1) 得:当 x ? ln(a ? 1) 时, h( x)min ? (a ? 1) ? (a ? 1)ln(a ? 1) ? b ? 0

(a ? 1)b ? (a ? 1)2 ? (a ? 1)2 ln(a ?1)(a ?1 ? 0)
令 F ( x) ? x2 ? x2 ln x( x ? 0) ;则 F ?( x) ? x(1 ? 2ln x)

F ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? e , F ?( x) ? 0 ? x ? e
当x?

e 时, F ( x ) max ?

e 2
e 2

当 a ? e ?1, b ? e 时, (a ? 1)b 的最大值为

2013、理 21)(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲线 y=f(x)和
曲线 y=g(x)都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2. (1)求 a,b,c,d 的值; (2)若 x≥-2 时,f(x)≤kg(x),求 k 的取值范围. 解:(1)由已知得 f(0)=2,g(0)=2,f′(0)=4,g′(0)=4. 而 f′(x)=2x+a,g′(x)=ex(cx+d+c), 故 b=2,d=2,a=4,d+c=4. 从而 a=4,b=2,c=2,d=2. (2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1). 设函数 F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2, 则 F′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1). 由题设可得 F(0)≥0,即 k≥1. 令 F′(x)=0 得 x1=-ln k,x2=-2. ①若 1≤k<e2, 则-2<x1≤0.从而当 x∈(-2, x1)时, F′(x)<0; 当 x∈(x1, +∞)时, F′(x) >0.即 F(x)在(-2,x1)单调递减,在(x1,+∞)单调递增.故 F(x)在[-2,+∞)的最小值为 F(x1). 而 F(x1)=2x1+2- x12 -4x1-2=-x1(x1+2)≥0. 故当 x≥-2 时,F(x)≥0,即 f(x)≤kg(x)恒成立. - ②若 k=e2,则 F′(x)=2e2(x+2)(ex-e 2). 从而当 x>-2 时,F′(x)>0,即 F(x)在(-2,+∞)单调递增. 而 F(-2)=0,故当 x≥-2 时,F(x)≥0,即 f(x)≤kg(x)恒成立. - - ③若 k>e2,则 F(-2)=-2ke 2+2=-2e 2(k-e2)<0. 从而当 x≥-2 时,f(x)≤kg(x)不可能恒成立. 综上,k 的取值范围是[1,e2].

2014
21. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x0 ? ae ln x ?
x

be x ?1 ,曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) )处 x

的切线为 y ? e( x ? 1) ? 2 .

(I)求 a , b ; (Ⅱ)证明: f ( x) ? 1 .

【解析】(Ⅰ) 函数 f ( x) 的定义域为 ? 0, ?? ? , f ?( x) ? ae x ln x ?

a x b x ?1 b x ?1 e ? 2e ? e x x x

由题意可得 f (1) ? 2, f ?(1) ? e ? ? ,故 a ? 1, b ? 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,? f ( x) ? e ln x ?
x

……………6 分

2e x ?1 2 ,从而 f ( x) ? 1 等价于 x ln x ? xe ? x ? x e
? ? 1? e?

设函数? ?g ( x) ? x ln x ,则 g ?( x) ? x ? ln x ,所以当 x ? ? 0, ? ? ? 时, g ?( x ) ? 0 ? ? ,

当 x ? ? , ?? ? ? ? 时, g ?( x ) ? 0 ? ? ,故 g ( x) ? ? 在? ?? 0, ? 单调递减,在 ? ?? , ?? ? 单调递增,从而? ?g ( x) 在 ? 0, ?? ? ? ? ? 的最小值为 ? g( ) ? ? . 设函数? ?h( x) ? xe ? x ?

?1 ?e

? ?

? ?

1? e?

?1 ?e
1 e

? ?

1 e

……………8 分

2 ?x ,则 h?( x) ? e ?1 ? x ? ,所以当 x ? ? 0,1? ? ? 时, e

h?( x) ? 0 ? ?,当 x ? ?1, ?? ? ? ?时,h?( x) ? 0 ? ?,故 h( x) ? ?在? ?? 0,1? 单调递增,
在? ??1, ?? ? 单调递减,从而? ?h( x) g ( x) 在 ? 0, ?? ? ? ? ? 的最小值为? h(1) ? ? . 综上:当 x ? 0 时, g ( x) ? h( x) ,即 f ( x) ? 1 . ……12 分

1 e

2015 (21) (本小题满分 12 分) 1 已知函数 f(x)= x 3 ? ax ? , g ( x) ? ? ln x 4 (Ⅰ)当 a 为何值时,x 轴为曲线 y ? f ( x) 的切线; ( Ⅱ ) 用 m i n

?m, n?

表 示

m,n

中 的 最 小 值 , 设 函 数

h( x) ? min ? f ( x), g ( x)

? ( x ? 0)

,讨论 h(x)零点的个数


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