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向量法解立体几何题(线线角与线面角)


向量法解立体几何题
一、求异面直线所成的角 设 l1 与 l2 是两异面直线, a、b 分别为 l1、l2 的方向向量,l1、l2 所成的角为 θ,则〈a, b〉与 θ 相等或互补,则 cos ? ?

| a ?b | . | a |?| b |

例 1、如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ACB=90° ,CB=

1,CA= 3 , AA1= 6 ,M 为侧
C1

棱 CC1 上一点, AM ? BA1 .
A1 B1

(1)求证: AM?平面 A1 BC ;
M

C A B

例 2 如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知 AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、 分别是线段 AB、 F BC 上的点,且 EB= FB=1. 求直线 EC1 与 FD1 所成的余弦值. 解: (I)以 A 为原点, AB, AD, AA1 分别为 x 轴,y 轴,z 轴的 正向建立空间直角坐标系, 则 D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2) 于是, DE ? (3, ?3, 0), EC1 ? (1, 3, 2), FD1 ? ( ?4, 2, 2)

??? ??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? ? ? cos ? ? ???? ??? ?
EC1 ? FD1 | EC1 |? | FD1 |

设 EC1 与 FD1 所成角为β ,则

1? (?4) ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 1 ? 3 ? 2 ? (?4) ? 2 ? 2
2 2 2 2 2 2

?

21 14

例 3、如图,已知两个正四棱锥 P-ABCD 与 Q-ABCD 的高分别为 1 和 2,AB=4.(Ⅰ)证明 PQ⊥ P 平面 ABCD; (Ⅱ)求异面直线 AQ 与 PB 所成的角; D A B

C

Q

图4

(Ⅰ)连结 AC、BD,设 AC ? BD ? O .由 P-ABCD 与 Q-ABCD 都是正四棱锥,所以 PO ⊥平面 ABCD,QO⊥平面 ABCD.从而 P、O、Q 三点在一条直线上,所以 PQ⊥平面 ABCD. (Ⅱ)由题设知,ABCD 是正方形,所以 AC⊥BD. 由(Ⅰ) ,QO⊥平面 ABCD. 故可分别以直线 CA、DB、QP 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直

角坐标系(如图) ,由题条件,相关各点的坐标分别是 P(0,0,1) ,A( 2 2 ,0,0) ,Q (0,0,-2) ,B(0, 2 2 ,0). 所以 AQ ? (?2 2 ,0,?2) PB ? (0, 2 2, ?1)

??? ?

???? ??? ? ???? ??? ? AQ ? PB 2 1 于是 cos ? AQ, PB ?? ???? ??? ? ? . ? AQ ? PB 2 3 ? 2 3 6
从而异面直线 AQ 与 PB 所成的角是 arccos .
A x

z P

1 3

D O B y

C

Q

二、直线与平面所成角 如图,设 l 为平面 ? 的斜线, l ? ? ? A ,a 为 l 的方向向量,n 为平 面 ? 的法向量, ? 为 l 与平面 ? 所成的角,则

sin ? ?| cos ? a, n ?|?

| a?n | | a |?| n |

例 4. 已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 a,侧棱长为 a,求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角. [解析] → → → DB DC DD1 分别取 AB、A1B1 的中点 D、D1,连结 DD1,以 、 、 为正交基 → → → |DB| |DC| |DD1|

a 3 3 → a 底建立空间直角坐标系,则 A- ,0,0,C1?0, a, 2a ?,AC1= , a, 2 2 2 2 ? ? 2a, 平面 ABB1A1 的一个法向量为 n=(0,1,0), → AC1·n 1 π → → 则 cos〈AC1,n〉= = .∴〈AC1,n〉= . 2 3 → |AC1||n| ∴AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为 30°.

例 5. 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正 方形,PD=DC,E、F 分别是 AB、PB 的中点. (Ⅰ)求证:EF⊥CD; (Ⅱ)在平面 PAD 内求一点 G,使 GF⊥平面 PCB,并证明你的结论; (Ⅲ)求 DB 与平面 DEF 所成角的大小. 解:以 DA、DC、DP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如

图) ,设 AD=a,则 D(0,0,0) 、A(a,0,0) 、B(a,a,0)、C(0,a,0) E (a,

a a a a ,0) 、 F ( , , ) 、 2 2 2 2

P(0,0, a).
(Ⅰ) EF ? DC ? (?

a a ,0, ) ? (0, a,0) ? 0, ? EF ? DC. 2 2

(Ⅱ) 设G( x,0, z ), 则G ? 平面PAD.

??? ? a a a FG ? ( x ? , ? , z ? ), 2 2 2 ??? ??? ? ? a a a a a FG ? CB ? ( x ? , ? , z ? ) ? (a, 0, 0) ? a ( x ? ) ? 0, x ? ; 2 2 2 2 2 (Ⅲ) 设平面 DEF 的法 2 ??? ??? ? ? a a a a a FG ? CP ? ( x ? , ? , z ? ) ? (0, ? a, a ) ? ? a ( z ? ) ? 0, z ? 0. 2 2 2 2 2 a ? G点坐标为( , 0, 0), 即G点为AD的中点. 2
向量为 n ? ( x, y, z ).

a a a ? ? ???? ? n ? DF ? 0, ?( x, y, z ) ? ( 2 , 2 , 2 ) ? 0, ? ? 由 ? ? ???? 得? ? n ? DE ? 0 ?( x, y, z ) ? ( a, a , 0) ? 0, ? ? ? 2 ?a ? 2 ( x ? y ? z ) ? 0, ? 即? 取x ? 1, 则y ? ?2, z ? 1, ? ax ? a y ? 0. ? ? 2 ??? ? ? ? ??? ? ? BD ? n a 3 ? ? n ? (1, ?2,1).cos ? BD, n ?? ??? ? ? ? , 6 | BD || n | 2a ? 6 ? DB与平面DEF 所成角大小为

?
2

? arccos

3 3 (即 arcsin ). 6 6


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