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2013年广州市二模理科数学试题及答案


广东省广州市 2013 届高三 4 月综合测试(二) 理科数学试题
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1. 答卷前,考生务必用 2B 铅笔在 考生号”处填涂考生号。用黑色字迹的钢笔或签 字 “ 笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写 在答题 卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答

题卡相应位置上。 2. 选择题每小题选出答案后:用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑; 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区 域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使 用铅笔 和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4. 作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏涂、 错 涂、多涂的,答案无效。 5. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式: 锥体的体积公式 V =
1 3 Sh 油,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 对于任意向量 a、b、c,下列命题中正确的是
A. |a.b| = |a| |b| C. (a.b)c =a (b-c) B. |a+b|=|a|+丨 b 丨 D. a.a =|a|2

2. 直线 y=kx +1 与圆 x2+y2-2y=0 的位置关系是
A.相交 B.相切 C.相离 D.取决于 k 的值

3. 若 1-i(i 是虚数单位)是关于 x 的方程 x2+2px +q=0(p、q∈R)的一个解,则 p+q= A. -3
B. -1 C. 1 D. 3

4. 已知函数 y=f(x)的图象如图 l 所示,则其导函数 y=f'(x)的图象可能是

5. 若函数 y ? cos( ? x ?
A.1 B. 2

?
6

)( ? ? N *) 的一个对称中心是(

?
6

, 0 ) ,则ω 的最小值为

C. 4

D. 8

6. 一个圆锥的正(主)视图及其尺寸如图 2 所示.若一个平 行于圆 锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为 l:7 的上、下两部分,则截面 的面积为
A. C
1 4 9 4

? ?

B. ?

B 4?

7. 某辆汽车购买时的费用是 15 万元,每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为 1.5 万 元.年维修保养费用第一年 3000 元, 以后逐年递增 3000 元, 则这辆汽车报废的最佳年 限(即使用多少年的年平均费用最少)是
A. 8 年 B. IO 年 C. 12 年 D. 15 年

9. 记实数 x1,x2,?,xn 中的最大数为 max{x1,x2,?,xn} ,最小数为 min{x1,x2,?,xn} 则 max{min{x+1,x2 - x + 1, -x +6}}= A.
3 4

B. 1

C. 3 D.

7 2

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (-)必做题(9-13 题) 9.某商场销售甲、乙、丙三种不同型号的钢笔,甲、乙、丙三种型号钢笔数量之比依次 为 2:3:4. 现用分层抽样的方法抽出一个容量为 n 的样本, 其中甲型钢笔有 12 支, 则此样 本 容量 n =____ 10.已知 a 为锐角,且 cos( a ?
?
4 ) ? 3 5

,则 sina=_____.

11.用 0,1,2,3,4,5 这六个数字,可以组成____个没有重复数字且能被 5 整除的五

位数(结果用数值表示). 12.已知函数 f(x) =x 2 - 2 x,点集 M = {( X , Y )| f(x) +f(y)≤2 },N = {( X , Y )|

f{x)-f{y) 0},则 M ? N 所构成平面区域的面积为______
13.数列{an}的项是由 l 或 2 构成, 且首项为 1, 在第 k 个 l 和第 k+ 1 个 l 之间有 2k-1 个 2,即数列{an} 为:1, 2,1, 2,2,2,1,2,2,2,2,2, 1, …,记数列 {an}的前 n 项和 为 Sn,则 S20=________; S2013 =_____. (二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14.(几何证明选讲选做题) 在ΔBC 中,D 是边 AC 的中点,点 E 在线段 BD 上,且满足 BE= 点 F,则
BF FC 1 3

BD,延长 AE 交 BC 于

的值为_______.

15.(坐标系与参数方程选做题)

在极坐标系中,已知点 A(1,

?
2

),点 P 是曲线 ? sin2θ =4cosθ 上任意一点,设点

P 到直 线 ? cosθ + 1 = 0 的距离为 d, 则丨 PA 丨+ d 的最小值为_______.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.( 本小题满分 12 分) 某单位有 A、B、C 三个工作点,需要建立一个公共无线网络发射点 0,使得发射点到 三 个工作点的距离相等.已知这三个工作点之间的距离分别为 AB=80m, BC = 70 m, CA=50m. 假定 A、B、C、O 四点在同一平面内.
(1)求 ? BAC 的大小; (2)求点 O 到直线 BC 的距离

17.( 本小题满分 12 分)

已知正方形 ABCD 的边长为 2,E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点. (1) 在正方形 ABCD 内部随机取一点 P,求满足|PH|< 2 的概率; (2) 从 A、B、C、D、E、F、G、H 这八个点中,随机选取两个点,记这两个点之间的 距 离为 ? ,求随机变量 f 的分布列与数学期望 E ? .

18.( 本小题满分 14 分) 等边三角形 ABC 的边长为 3, D、 分别是边 AB、 上的点, 点 E AC 且满足 图 3).将Δ
AD DB ? CE EA ? 1 2

(如

ADE 沿 DE 折起到Δ A1DE 的位置,使二面角 A1-DE-B 成直二面角,

连结

A1B、A1C (如图 4).
(1) 求证:A1D 丄平面 BCED; (2) 在线段 BC 上是否存在点 P,使直线 PA 1 与平面 A1BD 所成的角为 60 0?若存在,求 出 PB 的长;若不存 在,请说明理 由

19.( 本小题满分 W 分) 巳知 a > 0 , 设命题 p:函数 f(x)=x2-2ax+ 1-2a 在区间[0,1]上与 x 轴有两个不同 的交点; 命题
q: g(x) =|x-a|-ax 在区间(0, + ∞ )上有最小值.若 ( ? p ) ? q 是真命题,求实数 a 的取值范围.

20.( 本小题满分 14 分) 经过点 F (0, 1)且与直线 y = - 1 相切的动圆的圆心轨迹为 M 点 A、 在轨迹 M 上, 且 D 关于 y 轴对称,过线段 AD (两端点除外)上的任意一点作直线 l,使直线 l 与轨迹 M 在 点 D 处的切线平行,设直线 l 与轨迹 M 交于点 B、 C. (1) 求轨迹 M 的方程; (2) 证明: ? BAD ? ? CAD ; (3) 若点 D 到直线 AB 的距离等于
2 2 | AD | ,且Δ ABC 的面积为 20,求直线BC 的方程.

21.( 本小题满分 1 4 分) 设 an 是函数 f ( x ) ? x ? n x ? 1 ( n ? N *) 的零点.
3 2

(1)证明:0<an<1; (2)证明:
n n ?1 ? a 1 ? a 2 ? ... ? a n ? 3 2


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