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2016届虹口区高三一模数学卷(附答案)


虹口区 2015 学年度第一学期期终教学质量监控测试 高三数学 试卷
2016.1
考生注意: 1.本试卷共 4 页,23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上,在 试卷上作答一律不得分. 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共 14 题,只要求在答题纸相应题号的空

格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.函数 f ( x) ? 2 x ?1 的反函数 f ?1 ( x) ? _________ . 2.设全集 U ? R, 若集合A ? ? x x ? 1 ? 1? , 则 ?U A ? ______. 3.若复数 z 满足

z ? i 2015 ? i 2016 ( i 为虚数单位),则复数 z ? ______. 1? i

1 4 .在二项式 ( 3 x ? )8 的展开式中,常数项的值为 ______. x
(结果用数字表示) 5.行列式 12 cos( 2 ? x) 5cos x
y

?

tan x cot( ? ? x)

的最大值为______.
B

6. 在等差数列 ?an ? 中, a1 ? a3 ? a5 ? 9, a2 ? a4 ? a6 ? 15, 则数列 ?an ? 的前 10 项的和等于_____. 7.如图,已知双曲线 C 的右焦点为 F,过它的右顶点 A 作实轴的垂线,与其一条渐近线相交于点 B ;若双曲线 C 的 焦距为 4, ?OFB 为等边三角形( O 为坐标原点,即双曲线 C 的中心),则双曲线 C 的方程为_________________. 8.已知数据 x1 , x2 ,?, x8 的方差为 16,则数据 2 x1 ? 1,
(第7题图) O A F x

2 x2 ? 1, ?, 2 x8 ? 1 的标准差为

.
O

R

9.已知抛物线 x2 ? 8 y 的弦 AB 的中点的纵坐标为 4 ,则

AB 的最大值为__________.
10.如图所示,半径 R ? 2 的球 O 中有一内接圆柱,当 圆柱的侧面积最大时,球的表面积与圆柱的侧面积之差等于___________.
(第10题图)

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1

11. 锅中煮有肉馅、三鲜馅、菌菇馅的水饺各 5 个,这三种水饺的外形完全相同. 从中 任意舀取 4 个水饺,则每种水饺都至少取到 1 个的概率为___________.(结果用最简分数表 示) 12. 设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1a2 a3 ? 64, 且

S2n ? 5(a1 ? a3 ? a5 ? ?? a2n?1 ) (n ? N ? ),
则 an ? ______.
? 13.在由正整数构成的无穷数列 ?an ? 中,对任意的 n ? N , 都有 an ? an?1 , 且对任意的

k ? N ? , 数列 ?an ? 中恰有 k 个 k ,则 a2016 ? ________.

? 2 x? a , x? 1, ? 14. 若 函 数 f ? x ? ? ? 恰有两个零点,则实数 a 的取值范围是 ? ?? x ? a ?? x ? 3a ? , x ? 1
___________.

二、选择题(本大题共 4 题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的 相应题号上,将所选答案的代号涂黑,选对得 5 分,否则一律零分. 15. 设 ?、? 为两个不同平面,若直线 l 在平面 ? 内, 则 “? ? ?”是“l ? ? ”的 ( ) (A)充分不必要条件 (C)充要条件 16 . 已知直线 x ? 条 ( 相 ) (A) 邻 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

?
4


和x?

5? 是函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ( ? ? 0, 0 ? ? ? ? ) 图像的两 4
称 轴 , 则



?







3? 4 4 3 2 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 17.已知 a 、b 均为单位向量,且 a ? b ? 0. 若 c ? 4a ? c ? 3b ? 5, 则 c ? a 的取值
(B) (C) (D) 范 围 是

?

?

?

2

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(

)

(A) ?3, ?

10 ? ?

(B) ?3, 5?

(C) ?3, 4?

(D) ? 10, 5?

?

?

18 . 设 函 数 f ( x) ? ?

? ? x ? 2 , x ? 0, 若 关 于 x 的 方 程 f ( x) ? a 有 四 个 不 同 的 解 ? ? log 2 x , x ? 0,

x1 , x2 , x3 , x4 ,


x1 ? x2 ? x3 ? x4 ,
)



x3 ( x1 ? x2 ) ?

1 x32 x4













(

(A) ? ?3, ? ? ?

(B) ? ??, 3?

(C) ? ?3,

3?

(D) ? ?3,

3?

三、解答题(本大题共 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必 要的步骤. 19.(本题满分 12 分) 本题共 2 个小题,每小题 6 分. 如图,在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,已知它的底面边长为 10, 高为 20 . (1) 求正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的表面积与体积;
CC1 的中点,求异面直线 PQ 与 AC 所 Q 分别是 BC 、 (2) 若 P 、
A1 B1 Q C1

成角的大小(结果用反三角函数表示).
A B (第19题图) P C

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3

20.(本题满分 14 分) 本题共 2 个小题,每小题 7 分.
??? ? ??? ? 已知 ?ABC 的面积为 S,且 AB ? AC ? S .

(1) 求 sin A,cos A, tan 2 A 的值; (2) 若 B ?

?
4

??? ? ??? ? , CA ? CB ? 6, 求 ?ABC 的面积 S .

21.(本题满分 14 分) 本题共 2 个小题,第 1 小题 6 分, 第 2 小题 8 分. 对于函数 f ( x ) ?

1 , 定义 f1 ( x) ? f ( x), fn?1 ( x) ? f ? f n ( x)? (n ? N ? ). 已知偶函数 1? x

g ( x) 的定义域为 (??, 0) ? (0, ??), g (1) ? 0 ;当 x ? 0, 且x ? 1 时,g ( x) ? f 2015 ( x).
(1)求 f 2 ( x), f3 ( x), f 4 ( x), 并求出函数 y ? g ( x) 的解析式; (2) 若存在实数 a, b(a ? b) 使得函数 g ( x) 在 ?a , b? 上的值域为 ?mb , ma? , 求实数

m 的取值范围.

22. (本题满分 16 分) 本题共 3 个小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 4 分,第 2 小题 6 分. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S2 ? 0,

2Sn ? n ? nan (n ? N ? ).

(1) 计算 a1 , a2 , a3 , a4 , 并求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 若数列 ?bn ? 满足 b1 ? 3b2 ? 5b3 ? ?? (2n ?1)bn ? 2n ? an ? 3, 求证:数列 ?bn ? 是等 比数列; ( 3 ) 由 数 列

?an ?



















?cn ?



c1 ? a1, c2 ? a2 ? a3 ,

c3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 , ? ,

4

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的 cn ? a2 n?1 ? a2 n?1 ?1 ? a2 n?1 ?2 ? ? ? a2 n ?1 , ? . 设 Tn 为数列 ?cn ? 的前 n 项和,试求 lim Tn n
n ??

4

值.

23. (本题满分 18 分) 本题共 3 个小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 2 小题 8 分. 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的 左 焦 点 为 F , 短 轴 的 两 个 端 点 分 别 为 a 2 b2
y B M J H N A (第23题图) x

A、B, 且 AB ? 2, ?ABF 为等边三角形 .
(1) 求椭圆 C 的方程;

o
(2) 如图,点 M 在椭圆 C 上且位于第一象 限内,它关于坐标原点 O 的对称点为 N; 过点 M 作 x 轴的垂线,垂足为 H,直线 NH 与椭圆
???? ? ???? 2
F

C 交于另一点 J,若 HM ? HN ? ? 1 ,试求以线段 NJ 为直径的圆的方程;
2 2 (3)已知 l1、l2 是过点 A 的两条互相垂直的直线,直线 l1 与圆 O : x ? y ? 4 相交于

P、Q 两点,直线 l2 与椭圆 C 交于另一点 R ;求 ?PQR 面积取最大值时,直线 l1 的方程.

虹口区 2015 学年度第一学期期终教学质量监控测试 高三数学 参考答案和评分标准 2016 年
1月
一、填空题(本大题共 14 题,每题 4 分,满分 56 分) 1. log2 x ?1( x ? 0) 2. ?0, 2? 3. 2 4.28

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5

5. 13 9. 12

6.

80

7.

x2 ?
91

y2 ?1 3

8. 8 12. 4 n ?1

10. 8?

11. 50

13.63

14. ? , 1 ? ? 2, ? ? ? 3 ?

?1 ?

? ?

二、选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,满分 20 分) 15. B 16. A 17. B 18. D

三、解答题(本大题共 5 题,满分 74 分) 19.(本题满分 12 分) 本题共 2 个小题,每小题 6 分. 解 : ( 1 )
A1 B1 Q C1

A B (第19题图) P

C

S正三棱柱ABC ? A1B1C1侧 =2S?ABC ? 3S矩形ABB1 A1 =2 ? V正三棱柱ABC ? A1B1C1 =S?ABC ? AA1 =

3 ?102 +3 ?10 ? 20 ? 600 ? 50 3(cm2 ) ……(3 分) 4

3 ?102 ? 20 ? 500 3(cm3 ) ……(6 分) 4

(2)连结 BA1 , BC1 , 则 BC1 / / PQ, 又 AC 1 1 / / AC, 故 ?BC1 A1 等于异面直线 PQ 与 AC 所成角. 易得 BC1 ? BA ,故 1 ? 10 5, 而AC 1 1 ? 10
cos ?BC1 A 1 ?
2 2 BC12 ? A 5 1C1 ? BA 1 ? . 2 ? BC1 ? A 10 1C1

……(8 分)

于是异面直线 PQ 与 AC 所成角的大小为 arc cos

5 ……(12 分) . 10

20.(本题满分 14 分) 本题共 2 个小题,每小题 7 分.

6

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??? ? ??? ? 解:(1)由 AB ? AC ? S 得

1 ? c ? b ? sin A 2 ? ?? ? tan A ? 2 , 于是 A ? ? 0, ? . 2? ? c ? b ? cos A ?

… … (4

分) 进而求得
2 5 5 4 , cos A ? , tan 2 A ? ? . 5 5 3 ??? ? ??? ? ??? ? (2) 由 CA ? CB ? 6 得 BA ? 6 , 即c ? 6. sin A ?
2 6? b c c sin B 2 由正弦定理,有 ? ?b? ? ? 2 5, sin B sin C sin( A ? B) 2 5 2 5 2 ? ? ? 5 2 5 2

……(7 分) ……(9 分)

……(12

分)
于是 S ? 1 1 2 5 bc ? sin A ? ? 2 5 ? 6 ? ? 12. 2 2 5

……(14

分) 21.(本题满分 14 分) 本题共 2 个小题,第 1 小题 6 分, 第 2 小题 8 分. 解:(1)因为 f1 ( x) ? f ( x) ?
f 2 ( x) ? f

1 ? x ? 1? , 故 1? x
1 1 1? 1? x
1

? f1 ( x)? ?

? 1?

1 ? x ? 0, x ? 1? , x

f 3 ( x) ? f

? x ( x ? 0, x ? 1), 1 1 ? (1 ? ) x 1 f 4 ( x) ? f ? f 3 ( x) ? ? ( x ? 0, x ? 1), 1? x

? f 2 ( x) ? ?

?? (3分)

故对任意的 n ? N , 有 于

f3n?i ( x) ? fi ( x) (i ? 2,3, 4),


f2 (

1 故当 x ? 0, x ? 1 时,g ( x) ? f 20150( x) x) ? 1? . x 1 又g (1) ? 0, 故当 x ? 0 时,g ( x) ? 1 ? . x 1 1 由 g ( x) 为偶函数, 当 x ? 0 时, ? x ? 0, g ( x) ? g (? x) ? 1 ? ? 1? . ?x x ?
? ?

?

? ?

1 x

?

?

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7

因此

? 1? ? ? g ( x) ? ? ?1 ? ? ?

1 , x ? 0, x 1 , x ? 0. x

? 1?

1 . x

……(6 分)

(2)

由 于

y ? g ( x)

的 定 义 域 为

y

(??, 0) ? (0, ? ?) ,
又 a ? b, mb ? ma, 可知 a 与b 同号, 且m ? 0;进而
-1

1

O

1

x

g( x)在?a, b? 递减,且 a ? b ? 0.

……(8 分)

(第21题解图)

函数 y ? g ( x) 的图像,如图所示. 由题意,有

1 ? g (a ) ? 1 ? ? ma, ? ? a ? ? g (b) ? 1 ? 1 ? mb, ? b ?
故 a, b 是方程 1 ? 上有 两个不相等的实根,于是

……(10 分)

1 ? m x 的两个不相等的负实数根,即方程 m x2 ? x ?1 ? 0 在 ? ??, 0? x

? ? ? ? 1 ? 4m ? 0 ? 1 ? ?a ? b ? ? 0 m ? 1 ? ab ? ? ? 0 ? m ? 1 ? ? ? m ? 0. 4
综合上述,得:实数 m 的取值范围为 ? ?? ,

……(12 分)

1 ? 4

? 0 ?. ?

……(14 分)

注:若采用数形结合,得出直线 y ? m x 与曲线 y ? 1 ? 进行求解也可.

1 ( x ? 0) 有两个不同交点,并 x

22. (本题满分 16 分) 本题共 3 个小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 4 分,第 2 小题 6 分. 解:(1)当 n ? 1 时,由 2S1 ? 1 ? a1 , 得 a1 ? ?1; 由 S2 ? a1 ? a2 ? 0, 得 a2 ? 1; 当 n ? 3 时,由 2S3 ? 3 ? 2a3 ? 3 ? 3a3 , 得 a3 ? 3 ;

8

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当 n ? 4 时,由 2S4 ? 4 ? 2a4 ? 10 ? 4a4 , 得 a4 ? 5 . 猜想: an ? 2n ? 3 (n ? N ? ). 下面用数学归纳法证明: ① 当 n ? 2 时, a2 ? 1 , 结论显然成立; ② 假设当 n ? k ? 2 时, ak ? 2k ? 3 . 由条件知 2Sn ? nan ? n , 故 ……(3 分)

2ak ?1 ? 2Sk ?1 ? 2Sk ? ?(k ?1)ak ?1 ? (k ?1)? ? (kak ? k ) ? (k ?1)ak ?1 ? kak ?1,
于是 (k ?1)ak ?1 ? kak ? 1 ? k (2k ? 3) ? 1 ? (k ?1) (2k ?1), 从而 ak ?1 ? 2(k ? 1) ? 3.
? 故数列 ?an ? 的通项公式为: an ? 2n ? 3 (n ? N ).

……(6 分)

另解(1):当 n ? 1 时,由 2S1 ? 1 ? a1 , 得 a1 ? ?1; 由 S2 ? a1 ? a2 ? 0, 得 a2 ? 1; 当 n ? 3 时,由 2S3 ? 3 ? 2a3 ? 3 ? 3a3 , 得 a3 ? 3 . 当 n ? 4 时,由 2S4 ? 4 ? 2a4 ? 10 ? 4a4 , 得 a4 ? 5 . 当 n ? 3 时,由条件知 2Sn ? nan ? n , 故 ……(2 分)

2an ? 2Sn ? 2Sn?1 ? ? nan ? n? ? ?(n ?1)an?1 ? (n ?1)? ? nan ? (n ?1)an?1 ?1,
于是 (n ? 2)an ? (n ? 1)an ?1 ? 1 ?

an a 1 1 ? n ?1 ? ? , n ?1 n ? 2 n ? 2 n ?1

……(4 分)

从而

an a a a a a a ? ( n ? n ?1 ) ? ( n ?1 ? n ? 2 ) ? ? ? ( 3 ? 2 ) ? a2 n ?1 n ?1 n ? 2 n?2 n?3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ?? ? ( ? )?( ? ) ? 2? 1 2 2 3 3 4 n ?3 n ?2 n ? 2 n ?1 n ?1

故 an ? 2n ? 3 (n ? 3). 于是数列 ?an ? 的通项公式为: an ? 2n ? 3 (n ? N ? ). ……(6 分) 证:(2)当 n ? 1 时, b1 ? 2a1 ? 3 ? 1, 当 n ? 2 时,由条件得

(2n ? 1)bn ? ?b1 ? 3b2 ? 5b3 ? ? ? (2n ? 3)bn ?1 ? (2n ? 1)bn ? ? ?b1 ? 3b2 ? 5b3 ? ? ? (2n ? 3)bn ?1 ? ? ? 2n ? an ? 3? ? ? 2n ?1 an?1 ? 3? ? 2n (2n ? 3) ? 2n ?1 (2n ? 5) ? 2n ?1 (2n ? 1)
故数列 ?bn ? 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列.

? (8分)
……(10 分)

n ?1 从而 bn ? 2 .

解:(3)由题意,得

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9

cn ? a2n?1 ? a2n?1 ?1 ? a2n?1 ? 2 ? ? ? a2n ?1 ? (2 ? 2n ?1 ? 3) ? (2 ? 2n ?1 ? 1) ? (2 ? 2n ?1 ? 1) ? ? ? (2 ? 2n ? 7) ? (2 ? 2 n ? 5) ?
n ?1 n 2n ?1 ? ? ?(2 ? 2 ? 3) ? (2 ? 2 ? 5) ? ?

2

?

3 n ? 4 ? 2n ?1 4

?? (12分)

故 Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ?

3 (4 ? 4 2 ? ? ? 4 n ) ? (2 2 ? 23 ? ? ? 2 n ?1 ) 4 3 4(4n ? 1) 2 2 ? (2 n ? 1) ? ? ? ? 4n ? 4 ? 2n ? 3 4 4 ?1 2 ?1
lim
n n ? Tn ?1? ?1? ? ? lim 1 ? 4 ? ? 3 ? ? ? ? ? ? ? 1. n ?? 4 n n ?? ?2? ?4? ? ? ? ?

?? (14分)

从而

……(16 分)

注:在解答第(3)小题时,可直接求出 Tn . 23. (本题满分 18 分) 本题共 3 个小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 2 小题 8 分.

2b ? 2, ? ? 解:(1)由题意,得 ? c ? 3 b, ? b2 ? c2 ? a 2 , ? ? a ? 2, x2 ? ? y 2 ? 1. 解得 ? b ? 1, 故椭圆 C 的方程为 4 ? ?c ? 3.

……(2 分)

……(4 分)

(2)设 M ( x0 , y0 ), 则由条件,知 x0 ? 0, y0 ? 0, 且 N (? x0 , ? y0 ), H ( x0 , 0). 从而 HM ? (0, y0 ), HN ? (?x0 , ? y0 ).

???? ?

????

???? ? ???? 1 2 于是由 HM ? HN ? (0, y0 ) ? (? x0 , ? y0 ) ? ? y0 2 ? ? , 及 y0 ? 0, 得 y0 ? . 2 2 x0 2 ? y0 2 ? 1, 求得 x0 ? 2. 再由点 M 在椭圆 C 上,得 4
所以 M ( 2,
2 2 ), N (? 2, ? ), H ( 2, 0 ); 2 2

……(6 分)

进而求得直线 NH 的方程: x ? 4 y ? 2 ? 0. 由? ? x2
? ? 4 ?x ? 4 y ?
2

2 ? 0,
求得 J (

? y ? 1,

7 5

2,

1 10

2).

……(8 分)

进而 NJ ? (

7 1 1 3 1 1 2 ? 2)2 ? ( 2? 2)2 ? 34, 线段 NJ 的中点坐标为( 2, ? 2). 5 10 2 5 5 5

10

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因此以线段 NJ 为直径的圆的方程为: ( x ?

1 1 153 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? . 5 5 50

……(10 分)

(3)当直线 l1 的斜率不存在时,直线 l2 与椭圆 C 相切于点 A,不合题意;当直线 l1 的斜 率为 0 时,可以求得 S?PQR ? 2 3. ……(12 分)

当直线 l1 的斜率存在且不为 0 时,设其方程为 y ? k x ? 1 (k ? 0), 则点 O 到直线 l1 的距 离为 d ?

1 k 2 ?1

2 , 从而由几何意义,得 PQ ? 2 4 ? d 2 ? 2 4k2 ? 3 ,

k ?1

由于 l2 ? l1 , 故直线 l2 的方程为 y ? ?

1 x ? 1, 可求得它与椭圆 C 的交点 R 的坐标为 k
2 2

? ? 8k k 2 ? 4 ? 于是 8k ? ? k 2 ? 4 8 k 2 ?1 ? ? , ? ; AR ? ? ? ? ? 1 ? . ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 k2 ? 4 ? k ?4? ? k ?4 ? ? k ?4 k ?4?

故 S?PQR ?

1 8 4k 2 ? 3 PQ ? AR ? , 2 k2 ? 4

……(15 分)

32u 32 16 令u ? 4k 2 ? 3 ? 3, 则 S?PQR ? 2 ? ? 13 13 u ? 13 u ? 13 u
当且仅当 u ? 13(? 3), 即 k ? ? 因为
10 时,上式取等号. 2

16 16 l 13 ? 2 3, 故当 k ? ? 10 时, ? S?PQR ? ? 13 ;此时直线 1 的方程为: max 13 13 2

y??

10 x ? 1. (也可写成 ? 10x ? 2 y ? 2 ? 0. ) 2

……(18 分)

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11

12

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