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高三第二次模拟考试数学(文)试题1


高三第二次模拟考试数学(文)试题 1
时间:120 分钟 姓名: 满分:150 分 班级: 50 分)

第 I 卷(选择题

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.已知 i 是虚数单位,若 z1 ? a ? i, z2 ? a ? i, 若 A.-1 B.0 2. “ x ? 0 ”是“ x ?

0 ”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 3.已知抛物线 y2 =8x 的焦点 F 与双曲线

z1 为纯虚数,则实数 a= z2
C.1 D.1 或-l ( )

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点相同,且 F 到双曲线的右 a 2 b2

顶点的距离等于 1,则双曲线的离心率是 A. 2 B. 3 C.2 D.3 ( D.8 ) )

4.在等比数列 {an } 中, a2012 ? 8a2009 ,则公比 q 的值为 A.2 B.3 C.4

5. 已知实数 x, y 满足 ?1 ? x ? y ? 4且2 ? x ? y ? 3 , 则 z ? 2 x ? 3 y 可能取到的值是 ( A.1 B.3 C.5 D.8

6.如下程序框图输出的结果是

20 ,则判断框内应填入的条件是 21

A. n ? 20?

B. n ? 20?

C. n ? 20?

D. n ? 20?

7.在 ?ABC 中,若 sin2 A ? sin2 B ? sin2 C ? 3sin B sin C, 则角 A 的值为 A. ( B. )

5? 6

2? 3

第 1 页 共 9 页

C.

? 3

D.

? 6
( )

8.下列说法正确的是 A.做 n 次随机试验,事件 A 发生了 m 次,则事件 A 发生的概率为

m ; n

B.样本容量很大时,频率分布直方图就是总体密度曲线; C.独立性检验是研究解释变量和预报变量的方法; D.从散点图看,如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近,就称两个变量之间 具有线性相关关系。 9.函数 y ? 3 x ?

2 ? 1, x ? ? ?1, 0 ? ? ? 0,1? ,则 y 的取值范围是 x
( ) C. { y | 0 ? y ? 2} D. { y | y ? 0} B. { y | y ? R}

A. { y | y ? 2}

10.我们将日期“20111102”即 2011 年 11 月 2 日称为“世界完全对称日” ,那么在 21 世纪 (20010101~20991231)内的“世界完全对称日”共有( )个 ( ) A.10 B.12 C.13 D.24

第 II 卷(非选择题,100 分)
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.命题“ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是
2

。 。

12.已知向量 a, b 满足 | a |? 1,| b |? 2, a与b 的夹角为 60 ? ,则 | a ? 2b | = 13.一个棱锥的三视图如图所示,正视图和侧视图都是腰长为 1 的 等腰直角三角形,俯视图是边长为 1 的正方形,则该棱锥的表 面积是 。 14.直线 ax ? 2 y ? 2a ? 4 ? 0 被圆 x ? y ? 2 x ? 8 ? 0 所截得弦长
2 2

范围是



15.如果 y ? f ( x) 的导函数的图象如图所示,给出下列判断: ①函数 y ? f ( x) 在区间 (??, ? ) 内单调递增; ②函数 y ? f ( x) 在区间 (? ,3) 内单调递减; ③函数 y ? f ( x) 在区间 (4, ??) 内单调递增; ④当 x=2 时,函数 y ? f ( x) 有极小值;
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1 2

1 2

⑤当 x ? ?

1 时,函数 y ? f ( x) 有极大值。 2

则上判断中正确的序号为 。 (写出你认为所有正确的序号) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin x(sin x ? cos x) (1)求 f ( x ) 的最小正周期和最大值; (2)将 f ( x ) 的图像向右平移

? 个单位得到函数 g ( x) 的图像,求 g ( x) 在 [0, ? ] 上的零点。 8

17.(本小题满分 12 分) 我省城乡居民社会养老保险个人年缴费分 100,200,300,400,500,600,700,800, 900,1000(单位元)十个档次,某社区随机抽取了 50 名村民,按缴费在 100~500 元, 600~1000 元,以及年龄在 20~39 岁,40~59 岁之间进行了统计,相关数据如下:

(1) 用分层抽样的方法在缴费 100~500 元之间的村民中随机抽取 5 人, 则年龄在 20~39 岁之间应抽取几人? (2)在(1)的条件下抽取的 5 人中,随机选取 2 人进行到户走访,求这 2 人的年龄都 在 40~59 岁之间的概率。 (3)能否有 95%的把握认为缴费的档次与年龄有关?

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18. (本小题满分 12 分) 如图,FD 垂直于矩形 ABCD 所在平面,CE//DF, ?DEF ? 90? . (Ⅰ )求证:BE//平面 ADF; (Ⅱ )若矩形 ABCD 的一个边 AB = 3 ,EF =2 3 ,则另一边 BC 的长为何值时,三棱锥 F-BDE 的体积为 3 ? F

E A D B C

19. (本小题满分 12 分)
2 设 函 数 f ( x) ? a x ? b x , 曲 线 y ? f ( x) 通 过 点 ( 0 , 2a+3 ) ,且在点 ? ( c a ? 0)

(?1, f (?1)) 处的切线垂直于 y 轴。
(1)用 a 分别表示 b 和 c; (2)当 b ? c 取得最小值时,求函数 g ( x) ? ? f ( x) ? e 的单调区间。
x

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20. (本小题满分 13 分) 数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ,数列 {bn } 满足 b1 ? 2, bn?1 ? bn ? 3 ? 2 n .
a

(1)求数列 {an },{bn } 的通项公式; (2)若 cn ? 2n ? log2 bn?1 (n ? N * ), Tn为 {cn } 的前 n 项和,求 Tn .

21. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 b x ? a y ? a b (a ? b ? 0) 与圆 x ? y ? 4c 只有两个公共点, 其中 c 是
2 2 2 2 2 2
2 2 2

该椭圆的半焦距,椭圆上的点到直线 x ? y ? c ? 0 距离的最大值为 2 2. (1)求椭圆的离心率; (2)若 a ? 2c 时,求椭圆的方程。

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答案:

16.(1) f ( x) ? 2sin x ? 2sin x cos x ? 2 ?
2

所以 T ?

2? ? ? ? ,当 sin(2 x ? ) ? 1 时, f ( x) 最大值为 1 ? 2 2 4

? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x = 2 sin(2 x ? ) ? 1 4 2

(2)g ( x) ? f ( x ?

) ? 2 sin[2( x ? ) ? ] ? 1= 2 sin(2 x ? ) ? 1 = ? 2 cos 2 x ? 1 2 8 8 4 ? ? 2 令 g ( x) ? 0 得 cos 2 x ? 故 2 x ? 2k? ? , x ? k? ? , 因为 x ? [0, ? ] , 4 8 2 ? 7? 所以 x ? , 8 8

?

?

?

?

17.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设抽取 x 人,则

5 x ? , x ? 2 ,所以在 20~39 岁之间应抽取 2 人. 25 10

(Ⅱ)记在缴费 100~500 元之间抽取的 5 人中,年龄 20~39 的两人为 a1 , a2 , 年龄 40~59 岁的三人为 b1 , b2 , b3 , 所以随机抽取 2 人的所有情况有:

(a1, a2 ),(a1, b1 ),(a1, b2 ),(a1, b3 ),(a2 , b1 ),(a2 , b2 ),(a2 , b3 ),(b1, b2 ),(b1, b3 ),(b2 , b3 )
10 种,其中年龄都在 40~59 岁之间有 3 种,故 P ? ( III ) K ?
2

3 10

n(ad ? bc)2 50 ? (190 ? 90)2 ? ? 1.47 , 因 为 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 16 ? 34 ? 25 ? 25
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1.47 ? 3.84 ,所以没有 95 0 0 的把握认为缴费档次和年龄有关.
18、

19.解: (Ⅰ)由已知得: f ? ? x ? ? 2ax ? b



y ? f ? x ? 通过点? 0,2a ? 3?

? f ? 0? ? 2a ? 3.又f ? 0? =c ?c ? 2a ? 3 曲线y ? f ? x ? 在? ?1, f ? ?1?? 处的切线垂直于y轴 ? f ? ? ?1? ? 0即-2a ? b ? 0?b ? 2a
3? 9 ? (Ⅱ)由(Ⅰ)得: bc ? 2a ? 2a ? 3? ? 4 ? a ? ? ? 4? 4 ?
3 9 故当a ? ? 时,bc取得最小值 ? 4 4 3 3 3 3 3 3 3 此时有b ? ? , c ? ? f ? x ? ? ? x 2 ? x ? , f ? ? x ? ? ? x ? 2 2 4 2 2 2 2

2

3 3? ?3 ? g ? x ? ? ? f ? x ? ? ex ? ? x2 ? x ? ? ? ex 2 2? ?4
3 ?3 ? g ? ? x ? ? ? ? f ? x ? ?? ? e x ? ? ? f ? x ? ? ? ? e x ?? ? ? x 2 ? 3x ? ? e x ? x ? x ? 4 ? ? e x 4 ?4 ?

令g? ? x ? =0得x1 ? 0, x2 ? ?4 . 当x ? ? ??, ?4?时,g? ? x ? ? 0;
第 7 页 共 9 页

当x ? ? ?4,0?时,g? ? x ? ? 0;

当x ? ? 0 , ? ? ?时, g? ? x ? ?0 .

故g ? x ?的单调递增区间为? ??, ?4?, ?0, ???,单调递减区间为? ?4,0?.

(Ⅱ)

cn ? 2n ? log22

2 n?1

? (2n ? 1) ? 2n
? cn ? 3? 2 ? 5 ? 22 ? ? (2n ? 1) ? 2n

?Tn ? c1 ? c2 ?

2Tn ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ?

? (2n ?1) ? 2n ? (2n ?1) ? 2n?1 ,两式相减得: ? 2n ) ? (2n ?1)2n?1

?Tn ? 3? 2 ? 2 ? (22 ? 23 ?
? 2 ? 22 ? 23 ?

? 2n?1 ? (2n ? 1)2n?1

? 2(2n?1 ?1) ? (2n ? 1)2n?1 ? ?(2n ?1)2n?1 ? 2

?Tn ? (2n ?1)2n?1 ? 2

21.解:(Ⅰ)椭圆 b x ? a y ? a b (a>b>0) 与圆 x ? y ? 4c 只有两个公共点,
2 2 2 2 2 2
2 2 2

故圆 x ? y ? 4c 必过椭圆长轴端点或短轴端点,? 2c ? a, 或2c ? b ??3 分
2 2 2

当 2c ? a 时,可得 e ?

5 1 ;当 2c ? b 时,可得 e ? . 5 2

????????6 分

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