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优质课教案-二项式定理


授课内容

二项式定理(1)
特定项的求法

授课人 姚红雨 二项式定理复习课计划安排两个课时,本课是第一课时,主要复习二项展开式和通项。 高考要求: 1、对二项式定理的掌握与应用:以二项展开式(或多项展开式)中某一项(或某一项 的系数)的问题为主打试题; 2、 对二项展开式的性质的掌握与应用: 二项展开式中二项式系数的和与各项系

数的和; 组合多项式的求和等问题。 根据历年高考对这部分的考查情况,结合学生的特点,设定如下教学目标: 知识与技能 (1)理解并掌握二项式定理,从项数、指数、系数、通项几个特征熟记它的展开式。 (2)会运用展开式的通项公式求展开式的特定项。 过程与方法 在教学中中教给学生怎样记忆数学公式, 如何提高记忆的持久性和准确性, 从而优化记 忆品质。记忆力是一般数学能力,是其它能力的基础。在解题时树立由一般到特殊的解决问 题的意识。 情感、态度、价值观 通过对二项式定理的复习, 有意识地让学生演练一些历年高考试题, 使学生体验到成功, 树立学好数学的信心。 教学重点 运用展开式的通项公式求展开式的特定项 教学难点 转化思想的培养 教学方法 讲练结合 学法指导 在例题中培养解题常规方法及思想,通过课堂即时练习强化巩固。 教学过程 1.知识点归纳 (任务 1)写出二项式定理。

?a ? b?n ? Cn0 a nb0 ? ?? Cnr a n?r br ? ?? Cnn a 0bn , ?n ? N * ?所表示的定理,叫做二项式
定理,右边的多项式叫做 ?a ? b ? 的二项式展开式。
n

(问题 1)二项式系数是什么?通项是什么? (热身练习 1)按二项式定理展开(1) ?1 ? x ? (问题 2)系数和二项式系数是什么? (热身练习 2)求取下式的指定项
n

(2) ?1 ? 2 x ?

3

(1) 求二项式 ? ?x ?
2

? ?

1 ? ? ? 的展开式中的常数项; 2 x?
5

10

(2) 在 x 2 ?2 ? 3x? 的展开式中, x 项的系数为
6



例题组 1、 (1)求 x 2 ? 2 x ? 1 展开式中的 x 的系数.(2) 、求 (1 ? x ? x 2 )6 展开式中 x 5 的系数.
3

?

?

3

(3)求 (1 ? x)3 (1 ? x)10 展开式中 x 5 的系数; (1)分析:很明显该式是一个完全平方式,可以转化为二项式定理。 解:完全平方法:
r

?x

2

6 ? 2 x ? 1 = ?x ? 1?

?

3

r r 通项 Tr ?1 ? ?? 1? C6 x ,取 r =3

得 x 的系数为-20。 (2) 分析:(1 ? x ? x 2 )6 不是二项式, 我们可以通过 1 ? x ? x 2 ? (1 ? x) ? x 2 或 1 ? ( x ? x 2 ) 把它看成二项式展开. 解:组合为两项展开观察法: (1 ? x ? x 2 )6 ? (1 ? x) ? x 2

3

?

?

6

? (1 ? x) 6 ? 6(1 ? x) 5 x 2 ? 15(1 ? x) 4 x 4 ? ?
5 3 5 5 5 其中含 x 的项为 C5 C1 6 x ? 6C5 x ? 15 4 x ? 6x .
5
5

含 x 项的系数为 6. 组合为两项通项公式法: (1 ? x ? x 2 ) 6 ? 1 ? ( x ? x 2 )
r 2 通项 Tr ?1 ? C 6 x ? x

?

?

6

?

?

r

再对 x ? x 2

?

? 使用通项公式
r

TS ?! ? C rs x r ? s ? x 2 = Crs ?? 1?s x r ? s
s

?

?

得到 Tr ?1 ? C6 Crs ?? 1? x r ? s
r s

这里 0 ? r ? 6 , 0 ? s ? r
5 其中含 x 的项需满足 r ? s ? 5 ,满足条件的 r 、 s 记为 ?r , s ? 有 ?5,0? 、 ?4,1? 、 ?3,2?

∴ x 项的系数为 6. 排列组合法: 本题还可通过把 (1 ? x ? x ) 看成 6 个 1 ? x ? x 相乘, 每个因式各取
2 6
2

5

一项相乘可得到乘积的一项, x 5 项可由下列几种可能得到.5 个因式中取 x,一个取 1 得到
5 C5 6x . 1 3 2 3 个因式中取 x,一个取 ? x 2 ,两个取 1 得到 C3 6 ? C3 x ? (? x ) . 2 2 2 1 个因式中取 x,两个取 ? x 2 ,三个取 1 得到 C1 6 ? C5 x ? (? x ) .
5 3 1 1 2 5 5 合并同类项为 (C5 6 ? C6C3 ? C6C5 ) x ? 6 x , x 项的系数为 6.

(3)分析:本题可以转化为二项式展开的问题,视为两个二项展开式相乘; 解:局部展开法:注意到 x 次数不高,对其局部展开
5

?1 ? x?3 ?1 ? x?10 = ?1 ? 3x ? 3x 2 ? x 3 ??1 ? 10x ? 45x 2 ? 120x 3 ? 210x 4 ? 252x 5 ??
展开式中的 x 5 可以看成下列几种方式得到,然后合并同类项:
5 5 用 (1 ? x) 展开式中的常数项乘以 (1 ? x) 展开式中的 x 5 项,可以得到 C10 x ;

3

10

4 用 (1 ? x)3 展 开 式 中 的 一 次 项 乘 以 (1 ? x)10 展 开 式 中 的 x 项 可 得 到

4 4 4 5 (?3x)(C10 x ) ? ?3C10 x ;

3 3 3 5 用 (1 ? x) 中的 x 乘以 (1 ? x) 展开式中的 x 可得到 3x 2 ? C10 x ? 3C10 x ;

3

2

10

3

2 2 2 5 用 (1 ? x) 中的 x 项乘以 (1 ? x) 展开式中的 x 项可得到 ? 3x3 ? C10 x ? ?C10 x ,

3

3

10

2

合并同类项得 x 项为:
5 4 3 2 (C10 ? C10 ? 3C10 ? C10 ) x5 ? ?63x5 .

5

变式练习 1: 1、求 ? x ?

? ?

1 ? ? 1? 的展开式中的常数项。(资料基 7) x ?

5

? 1 ? 2、 1 ? x ? (资料综 1) ?1 ? 4 ? ? 展开式中的常数项为( ) x? ?
3 6

?

?

10

A.1 B. 46
n

C. 4245

D. 4246

1 ? ? 2、若 ? x ? ? 2 ? 的展开式的常数项为 ? 20 ,求 n . x ? ?
分析:题中 x ? 0 ,当 x ? 0 时,把三项式

1 ? ? ? x ? ? 2? x ? ?
n

n

转 化 为 ?x?

? ?

1 1 ? ? ? ? 2? ? ? x ? ? x x? ? ?
2n

n

2n

; 当 x?0 时 , 同 理

1 1 ? ? ? n? 然后写出通项, 令含 x 的幂指数为零, 进而解出 n . ? . ? x ? ? 2 ? ? (?1) ? ? x ? x ?x? ? ? ? 1 1 ? ? ? ? 解:当 x ? 0 时 ? x ? ? 2 ? ? ? x ? ? ,其通项为 x x? ? ? ?
r 2 n?r Tr ?1 ? C2 (? n( x)

n

2n

1 r r 2 n?2 r , ) ? (?1) r C2 n( x) x

令 2n ? 2r ? 0 ,得 n ? r ,
n ∴展开式的常数项为 (?1) n C2 n;

1 1 ? ? ? ? 当 x ? 0 时, ? x ? ? 2 ? ? (?1) n ? ? x ? ? , x ?x? ? ? ?
n 同理可得,展开式的常数项为 (?1) n C2 n. n 无论哪一种情况,常数项均为 (?1) n C2 n. n 令 (?1) n C2 n ? ?20 ,以 n ? 1 , 2 , 3 , ? ,逐个代入,得 n ? 3 .

n

2n

? 1 ? 3、在 ? ? x? 4 ? ? 的展开式中,前三项的系数成等差数列,求展开式中的有理项。 2 x? ?
有理项定义:系数为有理数,次数为整数的项叫做有理项 分析:本题是典型的特定项问题,涉及到前三项的系数及有理项,可以通过抓通项公 式解决. 解:二项式的展开式的通项公式为:

n

Tr ?1 ? C ( x )
r n

n?r

? 1 ? r 1 ? ? 4 ? ? ? Cn 2r x ?2 x ?

r

2 n ?3 r 4

前三项的 r ? 0,1,2.
1 得系数为: t1 ? 1, t 2 ? C n

由已知: 2t 2 ? t1 ? t 3 ∴n ? 8 通项公式为
r Tr ?1 ? C8

1 1 1 1 ? n, t3 ? C 2 ? n(n ? 1) , n 2 2 4 8 1 n ? 1 ? n(n ? 1) , 8

1 x 2r

16 ?3 r 4

r ? 0,1,2?8, Tr ?1 为有理项,故16 ? 3r 是 4 的倍数,

∴ r ? 0,4,8.
4 4 依次得到有理项为 T1 ? x , T5 ? C8

1 35 1 ?2 1 2 x? x, T9 ? C8 ? x . 8 8 x 4 2 8 2 256

(变式练习 2) (1)求

?

x ? 3 x 展开式中的有理项。 (资料 360 变 1)
n

?

9

1? ? (2)记 ? 2 x ? ? 的展开式中第 m 项的系数为 bm ,若 b3 ? 2b4 ,则 n = x? ?

(资料综 5)

课时小结 本节课主要学习了如何求取展开式中的特定项, 对于二项展开式运用通项公式。 对于三 项展开式转化为二项展开或者运用组合知识讨论解决;遇到 n 不确定的首先确定 n 。 课后作业

? 1 ? ? 1.、若 ? ? 3x ? ? 的展开式中各项系数之和为 1024,则展开式中含有 x 的整数次幂的项共 x? ?
有( ) A.2
n

n

(资料基 3) B. 3 C. 5 D. 6

1? ? 2、在 ? x 2 ? 3 ? 的展开式中含有常数项,则正整数 n 的最小值是( ) (资料基 5) x ? ?
A.4 B. 5 C. 6 D. 7
4

3、在 ?x ? 1??x ? 2??x ? 3??x ? 4??x ? 5? 的展开式中, x 项的系数为( ) (资料综 3) A.-15 B. 85 C. -120 D. 274

4、 ( 2 ? 3 3)100 的展开式中含有多少个有理项?


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