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北京市丰台区2014—2015学年度第一学期期末练习高三数学(理科)试卷


北京市丰台区 2014— 2015 学年度第一学期期末练习 高三数学(理科)试卷
第一部分
(选择题 共 40 分)

选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.设集合 A ? {x x ? x ? 2 ? 0} , B ? {1, 2,3} ,那么 A
2

B?
(D) {1, 2}

(A) {?1, 0,1, 2,3}

(B) {?1, 0,3}

(C) {1, 2,3}

2.已知向量 a ? (2,1) , b ? ( x, y ) ,则“ x ? ?4 且 y ? ?2 ”是“ a ∥b ”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件

(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 3.高二年级某研究性学习小组为了了解本校高一学生课外阅读状况,分成了两个调查小组分别对高一学生进行 抽样调查.假设这两组同学抽取的样本容量相同且抽样方法合理,则下列结论正确的是 (A) 两组同学制作的样本频率分布直方图一定相同 (B) 两组同学的样本平均数一定相等 (C) 两组同学的样本标准差一定相等 (D) 该校高一年级每位同学被抽到的可能性一定相同 4.已知 a,b,c 分别是△ABC 三个内角 A,B ,C 的对边, b ? (A) 1 (B) 2 (C) 4

7 ,c ? 3 , B ?
y
1

?
6

,那么 a 等于

(D) 1 或 4

5.已知函数 y ? log b ( x ? a ) (b>0 且 b≠1)的图象如图所示,那么函数

y ? a ? sin bx 的图象可能是
y O -1 -2 π 2π 3π x
y 2 1 π 2π 3π

O
-1

1

2

3

4

x

O

x

(A)
y

(B)
y 2

3 2

1
1

O
O π 2π 3π x

π





x

(C)

(D)

6.2014 年 11 月,北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议,出席会议的有 21 个国家和地区

的领导人或代表.其间组委会安排这 21 位领导人或代表合影留念,他们站成两排,前排 11 人,后排 10 人, 中国领导人站在第一排正中间位置, 美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧, 如果对其他领导人或代表 所站的位置不做要求,那么不同的排法共有 (A) A18 种 是
18 2 18 2 8 10 20

(B) A2 A18 种

(C) A3 A18 A10 种

(D) A20 种

7.如图,网格纸的各小格都是正方形,粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图,则该三棱锥的正视图可能

(A)

(B)

侧视图

俯视图

(C) (D) 8.在平面直角坐标系 xOy 中,如果菱形 OABC 的边长为 2,点 B 在 y 轴上,则菱形内(不含边界)的整点(横纵 坐标都是整数的点)个数的取值集合是 (A) {1,3} (B) {0,1,3} (C) {0,1,3,4} (D) {0,1,2,3,4}

第二部分 (非选择题 共 110 分)
一、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.在复平面内,复数 z1 , z2 对应的点分别是 A,B(如图所示) ,则复数 10.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,如果 a1 =2,a3 +a5 =22,那么 S3 等于 11.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是___.

z1 的值是 . z2



开始 a=1,b=1,S=2

y A 1 -1 O -1 1 B x
c=a+b S=S+c a= b 否 c>5 是 输出 S b= c

结束

?2 x ? y ? 1 ? 0, ? 12.若变量 x,y 满足条件 ? x ? y ? 0, 且 z ? x ? y 的最大值是 10,则 k 的值是 . ? y ? k, ?
13. 过点 M ( 3, y0 ) 作圆 O: 切点为 N , 如果 y0 =0 , 那么切线的斜率是 x 2 ? y 2 ? 1的切线, 那么 y0 的取值范围是 . 14.设函数 y ? f ( x) 的定义域为 D ,如果存在非零常数 T ,对于任意 x ? D ,都有 f ( x ? T ) ? T ? f ( x ) ,则称 函数 y ? f ( x) 是“似周期函数”,非零常数 T 为函数 y ? f ( x) 的“似周期”.现有下面四个关于“似周期函 数”的命题: ①如果“似周期函数” y ? f ( x) 的“似周期”为-1,那么它是周期为 2 的周期函数; ②函数 f ( x) ? x 是“似周期函数”; ③函数 f ( x) ? 2 是“似周期函数”;
-x

; 如果 ?OMN ?

?
6



④如果函数 f ( x) ? cos ? x 是“似周期函数”,那么“ ? ? k? , k ? Z ”. 其中是真命题的序号是 . (写出所有 满足条件的命题序号) ..

二、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分)

已知函数 f ( x) ? 2 3 sin( x ?

? ? ? ) cos( x ? ) ? 2 cos 2 ( x ? ) ? 1 , x ? R . 4 4 4

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值和最小值及相应的 x 的值.

? 2

16. (本小题共 13 分) 某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平,在全市范围内 抽取了近千名学生参加汉字听写考试,将所得数据整理后,绘制 率分布直方图如图所示,其中样本数据分组区间为 [50, 60) , [60, 70) , [70,80) , [80,90) , [90,100] . (Ⅰ)试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩; (Ⅱ)如果从参加本次考试的同学中随机选取 1 名同学,求 同学考试成绩在 80 分以上(含 80 分)的概率; (Ⅲ) 如果从参加本次考试的同学中随机选取 3 名同学, 这3 学中考试成绩在 80 分以上(含 80 分)的人数记为 X ,求 X 的分 及数学期望. (注:频率可以视为相应的概率)

频率 组距

随机 出频

0.03 0.025 0.02 0.015 0.01

这名 名同 布列

O

50

60

70 80

90 100 考试成绩(分)

17. (本小题共 14 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, 底面 ABCD , M 是棱 PD 的中点, 且 PA=AB=AC=2, BC ? 2 2 . (Ⅰ)求证:CD ⊥平面 PAC; (Ⅱ)求二面角 M-AB-C 的大小; (Ⅲ) 如果 N 是棱 AB 上一点, 且直线 CN 与平面 MAB 角的正弦值为

P

PA⊥

M

所 成
A B N C D

10 AN ,求 的值. 5 NB

18.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? e
?x

?1 .

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的极小值; (Ⅱ)如果直线 y ? kx ? 1 与函数 f ( x) 的图象无交点,求 k 的取值范围.

19.(本小题共 14 分)

已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F ( 3, 0) ,点 M (? 3, ) 在椭圆 C 上. 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)直线过点 F ,且与椭圆 C 交于 A , B 两点,过原点 O 作直线的垂线,垂足为 P ,如果△ OAB 的面 积为

? | AB | ?4
2 | OP |

( ? 为实数) ,求 ? 的值.

20.(本小题共 13 分) 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ? ? an ?1 ? 1 , (? ? 1 , n ? 2 且 n ? N*) . (Ⅰ)求证:当 ? ? 0 时,数列 {an ?

1 } 为等比数列; ? ?1

(Ⅱ)如果 ? ? 2 ,求数列 {nan } 的前 n 项和 S n ; (Ⅲ)如果 [an ] 表示不超过 an 的最大整数,当 ? ?

2 ? 1 时,求数列 {[(? ? 1)an ]} 的通项公式.

(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)

丰台区 2014—2015 学年度第一学期期末练习 2015.01 高三数学(理科)答案及评分参考
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 1 2 3 答案 D A D 4 C 5 B 6 B 7 A 8 D

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. ?1 ? i 10.15 12.5 13. ?

11 .20 14. ①③④

2 ?1 ? y ? 1 ; 0 2

注:第 13 题第一个空 2 分;第二个空 3 分。 三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. 解: (Ⅰ) f ( x) ? 2 3 sin( x ?

?
4

) cos( x ?

?
4 )

) ? 2 cos 2 ( x ?

?
4

) ?1

? 3 sin(2 x ?

?
2

) ? cos(2 x ?

?

2

? 3 cos 2 x ? sin 2 x
? 2 sin(2 x ? T?

?
3

)
???????7 分

2? ?? . 2

(Ⅱ)因为 0 ? x ? 所以

?

?
3

2



? 2x ?

?
3 ?

?

时, ymax ? 2 ; 12 3 2 ? 4? ? 当 2x ? ? ,即 x ? 时, ymin ? ? 3 . 3 3 2 所以 当 2 x ? ,即 x ? 所以当 x ?

?

?

4? . 3

?

???????13 分

?

12

时,函数有最大值是 2 ;当 x ?

?

2

时,函数有最小值是 ? 3 .

16. 解: (Ⅰ)估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为:

0.1? 55 ? 0.2 ? 65 ? 0.3 ? 75 ? 0.25 ? 85 ? 0.15 ? 95 ? 76.5 .
(Ⅱ)设被抽到的这名同学考试成绩在 80 分以上为事件 A.

??????2 分

P( A) ? 0.025 ?10 ? 0.015 ?10 ? 0.4
答:被抽到的这名同学考试成绩在 80 分以上的概率为 0.4. ?????6 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,从参加考试的同学中随机抽取 1 名同学的成绩在 80 分以上的概率为 X 可能的取值是 0,1,2,3.

2 , 5

2 3 27 ; P( X ? 0) ? C30 ( ) 0 ( ) 3 ? 5 5 125 54 1 2 1 3 2 P( X ? 1) ? C3 ( )( ) ? ; 5 5 125 2 3 36 P( X ? 2) ? C32 ( ) 2 ( )1 ? ; 5 5 125 8 3 2 3 3 0 P( X ? 3) ? C3 ( ) ( ) ? . 5 5 125 X 的分布列为: 0 X 27 P 125

1

2

3

54 125

36 125

8 125
?????12 分 ?????13 分

27 54 36 8 6 ? 1? ? 2? ? 3? ? . 所以 E ( X ) ? 0 ? 125 125 125 125 5 2 2 6 (或 X ~ B (3, ) ,所以 E ( X ) ? np ? 3 ? ? . ) 5 5 5

17. 证明: (Ⅰ)连结 AC. 因为在△ABC 中, AB= AC=2, BC ? 2 2 , 所以 BC 2 ? AB 2 ? AC 2 , 所以 AB ? AC . 因为 AB ∥ CD , 所以 AC ? CD . 又因为 PA ? 底面 ABCD , 所以 PA ? CD . 因为 AC ? PA ? A , 所以 CD⊥平面 PAC. (Ⅱ)如图建立空间直角坐标系, 则 A(0, 0, 0) , P (0, 0, 2) , B (2, 0, 0) , C (0, 2, 0) ,

P

M

A B N C

D

??????4 分
z P

D(?2, 2, 0) .

因为 M 是棱 PD 的中点, 所以 M (?1,1,1) . 所以 AM ? (?1,1,1) , AB ? (2, 0, 0) . 设 n ? ( x, y, z ) 为平面 MAB 的法向量,
B x N C y M

A

D

? ?n ? AM ? 0 所以 ? , ? ? n ? AB ? 0 ?? x ? y ? z ? 0 即 ? , ?2 x ? 0
?x ? 0 ? 令 y ? 1 ,则 ? y ? 1 , ? z ? ?1 ?
所以平面 MAB 的法向量 n ? (0,1,-1) . 因为 PA⊥平面 ABCD ,

所以 AP ? (0, 0, 2) 是平面 ABC 的一个法向量. 所以 cos? n, AP? ?

n ? AP AP n

?

?2 2 . ?? 2 2? 2

因为二面角 M-AB-C 为锐二面角, 所以二面角 M-AB-C 的大小为

?

4



??????10 分

(Ⅲ)因为 N 是在棱 AB 上一点,所以设 N ( x,0,0) , NC ? (? x, 2, 0) . 设直线 CN 与平面 MAB 所成角为? , 因为平面 MAB 的法向量 n ? (0,1,-1) , 所以 sin ? ? cos(
z P

?
2

??) ?
2

n ? NC n ? NC
? 10 . 5
x A B N C

M

?

D

2? x ?4
2

y

解得 x ? 1 ,即 AN ? 1 , NB ? 1 ,所以

AN ? 1. NB

??????14 分

18. 解: (Ⅰ)函数的定义域为 R. 因为 f ( x) ? x ? e ? x ? 1 , 所以 f ?( x) ?

ex ?1 . ex

令 f ?( x) ? 0 ,则 x ? 0 .

x

(??, 0)


0 0 极小值

(0, ??)
+ ↗ ??????6 分

f ?( x) f ( x)

所以 当 x ? 0 时函数有极小值 f ( x)极小值 =f (0) ? 0 . (Ⅱ)函数 f ( x) ? x ? 1 ?

1 . ex 1 ? 0 , y ? k ? 0 ? 1 ? ?1 , e0

当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 ? 1 ?

所以要使 y ? kx ? 1 与 f ( x) 无交点,等价于 f ( x) ? kx ? 1 恒成立.

1 ? (kx ? 1) ,即 g ( x) ? (1 ? k ) x ? e ? x , ex (1 ? k )e x ? 1 所以 g ?( x) ? . ex 1 ①当 k ? 1 时, g ( x) ? x ? 0 ,满足 y ? kx ? 1 与 f ( x) 无交点; e 1 1 1 1 ) ? (1 ? k ) ? e1? k ? e1? k ? 1 , ②当 k ? 1 时, g ( k ?1 k ?1
令 g ( x) ? x ? 1 ?

1 ? 0 , e1? k ? 1 , 1? k 1 所以 g ( ) ? 0 ,此时不满足 y ? kx ? 1 与 f ( x) 无交点. k ?1
而 ③当 k ? 1 时,令 g ?( x) ?

1

(1 ? k )e x ? 1 ? 0 , 则 x ? ? ln(1 ? k ) , ex

当 x ? (??, ? ln(1 ? k )) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (??, ? ln(1 ? k )) 上单调递减; 当 x ? (? ln(1 ? k ), ??) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (? ln(1 ? k ), ??) 上单调递增; 当 x ? ? ln(1 ? k ) 时, g ( x) min ? g (? ln(1 ? k )) ? (1 ? k )(1 ? ln(1 ? k )) . 由 (1 ? k )(1 ? ln(1 ? k )) ? 0 得 1 ? e ? k ? 1 , 即 y ? kx ? 1 与 f ( x) 无交点. 综上所述 当 k ? (1 ? e,1] 时, y ? kx ? 1 与 f ( x) 无交点. ?????13 分

19. 解: (Ⅰ)由题意知: c =

3.

根据椭圆的定义得: 2a = 即a = 2. 所以 b = 4 - 3 = 1 .
2

(-

3-

1 1 3) 2 + ( ) 2 + , 2 2

x2 ? y 2 ? 1. 4 1 ? | AB | ?4 (Ⅱ)由题意知,△ABC 的面积 S ?ABC = | AB | ? | OP | = , 2 2 | OP | 4 2 整理得 ? = | OP | ? . | AB |
所以椭圆 C 的标准方程为 ① 当直线的斜率不存在时,的方程是 x ? 此时 | AB |= 1 , | OP |?

?????4 分

3.
4 = ?1. | AB |
3) ,

3 ,所以 ? = | OP |2 ?

②当直线的斜率存在时,设直线的方程为 y =k ( x 设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) .

ì ? x2 2 ? ? + y =1 由 í 4 可得 (4k 2 + 1) x 2 - 8 3k 2 x + 12k 2 - 4 = 0 . ? ? ? ? ? y =k ( x - 3) ì ? 8 3k 2 ? x1 + x2 = , ? 2 ? 4 k + 1 ? 显然 ? > 0 ,则 í ? 12k 2 - 4 ? ? x1 x2 = . ? 4k 2 + 1 ? ?
因为 y1 =k ( x1 所以 | AB |=

3) , y2 =k ( x2 -

3) ,

( x1 - x2 ) 2 + ( y1 - y2 ) 2 =
2 2

(k 2 + 1)( x1 - x2 ) 2

=
2

k2 + 1 (k + 1)[( x1 + x2 ) - 4 x1 x2 ] = 4 2 . 4k + 1

所以 | OP | = (

|-

3k | k2 + 1

)2 =

3k 2 , k2 + 1

此时, ? =

3k 2 4k 2 ? 1 ? = ?1 . k 2 ?1 k 2 ?1

综上所述,

? 为定值 ?1 .

?????14 分

20. 解: (Ⅰ)当 ? ? 0 时,设 bn ? an ?

1 , ? ?1 1 an ? b ? ?1 . 则 当 n ? 2 时, n ? bn ?1 a ? 1 n ?1 ? ?1
因为 an ? ? an ?1 ? 1 ,

1 ? 1 ? an ?1 ? ? (an ?1 ? ) bn ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? ? ? 为常数. 所以 1 1 1 bn ?1 an ?1 ? an ?1 ? an ?1 ? ? ?1 ? ?1 ? ?1 1 ? ? ? 0, 因为 a1 ? ? ?1 ? ?1 1 ? } 是首项为 所以 数列 {an ? ,公比为 ? 的等比数列. ?????4 分 ? ?1 ? ?1 ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ? ? 2 时 {an ? 1} 为首项为 ,公比为 ? 的是等比数列, ? ?1

? an ?1 ? 1 ?

所以 an ? 1 ? 2 .
n

nan ? n2n ? n .

设 An ? 1? 2 ? 2 ? 2 ?
2

? n ? 2n , ? n ? 2n ?1 . ? 2n ? n ? 2n ?1 ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 .

则 2 An ? 1? 2 ? 2 ? 2 ?
2 3

相减得 An ? ?2 ? 2 ?
2

设 Bn ? 1 ? 2 ?

?n?

n2 n ? , 2 2 n2 n ? . 2 2
?????9 分

S n ? An ? Bn ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 ?
即 S n ? ( n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 ? (Ⅲ)由(Ⅰ)可知 an ?

n2 n ? . 2 2 1 ? n ?1 . ? ? ?1 ? ?1
n

? ? ?1
n

? n ?1 ?

设 cn ? (? ? 1) an ? ? ? 1 ? ( 2 ? 1) ? 1 , 由二项式定理可知 ( 2 ? 1) n ? ( ? 2 ? 1) n 为整数, 所以 [cn ] ? ?
n n ? ?( 2 ? 1) ? (? 2 ? 1) ? 2, n ? 2k ,

? ?( 2 ? 1) ? (? 2 ? 1) ? 1, n ? 2k ? 1.
n n

( k ? N* ) .

所以 [cn ] ? ( 2 ? 1) n ? ( ? 2 ? 1) n ?

3 (?1) n . ? 2 2

?????13 分

(若用其他方法解题,请酌情给分)


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