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浙江省江山实验中学2012-2013学年高二下学期5月阶段性测试数学(理)试题 Word版含答案(1)


江山实验中学 2012-2013 学年高二下学期 5 月阶段性测试数学(理)试题
参考公式: 如果事件 A, B 互斥, 那么 棱柱的体积公式

P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件 A, B 相互独立, 那么

V=Sh
其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 棱锥的体积公式

/>P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p, 那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率

V=

1 3

Sh

其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 球的表面积公式

Pn(k)=C n pk (1-p)n-k (k = 0,1,2,?, n)
棱台的体积公式
V ? 1 3 h( S1 ? S1S 2 ? S 2 )

k

S = 4π R2
球的体积公式

其中 S1, S2 分别表示棱台的上、下底面积,

V=

4 3

πR

3

h 表示棱台的高

其中 R 表示球的半径

第 I 卷(共 50 分)
一、选择题: 本大题共 10 小题, 每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题 目要求的. (1)已知两条不同直线 m、n,两个不同平面 α、β.给出下面四个命题:① m⊥α, n⊥α ? m//n; ② α//β, m ? ? , n ? ? ? m//n ; ③ m//n, m//α ? n//α; ④ α//β, m//n, m⊥α ? n⊥β. 其中正确命题的序号 是 (▲ ) (A) ①③ (B)②④ (C)①④ (D)②③ )

(2)已知 a ? 0 且 a ? 1 ,则 loga b ? 0 是 (a ? 1)(b ? 1) ? 0 的(▲ (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 )
2

(3 若复数 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位),则(▲ (A) 2 z ? 2 z ? 1 ? 0
2

(B) 2 z ? 2 z ? 1 ? 0 (D) z ? 2 z ? 2 ? 0
2

(C) z ? 2 z ? 2 ? 0
2

(4)在 ( x ? (A)3 项

1
3

x

) 24 的展开式中, x 的幂指数是整数的项共有(▲)
(B)4 项 (C)5 项 (D)6 项

(5)如图的倒三角形数阵满足: (1)第 1 行的, n 个数,分别 是 1 , 3 , 5 ,…, 2n ? 1 ; (2)从第二行起,各行中的 每一个数都等于它肩上的两数之和; (3)数阵共有 n 行. 问:当 n ? 2012 时,第 32 行的第 17 个数是(▲ A. 2
37

) D. 2
32

B. 2 ? 2012
36

C. 2

36

(6)已知方程 x ? ax ? bx ? c ? 0 的三个实根可分别作为一椭圆,一双曲线.一抛物线的离心率,则
3 2

a 2 ? b 2 的取值范围是(▲ A.(2,5)



B.[5, ??)

C.(5, ??)

D.(3, ??)

(7)将一个三位数的三个数字顺序颠倒,将所得到的数和原数相加,若和中没有一个数字是偶数,则称 这个数是奇和数。那么,所有的三位数中,奇和数有 ( ▲ ) A.80 B.100 C.120 D.160 (8) 袋中共有 8 个球,其中 3 个红球、2 个白球、3 个黑球.若从袋中任取 3 个球,则所取 3 个球中至多 有 1 个红球的概率是 (▲ (A) )

9 14

(B)

37 56

(C)

39 56

(D)

5 7

(9)已知点 F (?c,0)(c ? 0) 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左焦点,过 F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆 a2 b2

x 2 ? y 2 ? c 2 交于点 P ,且点 P 在抛物线 y 2 ? 4cx 上,则该双曲线的离心率是(▲ )
(A)

3? 5 2

(B) 5

(C)

5 ?1 2

(D)

1? 5 2

(10)点 P 到图形 C 上每一个点的距离的最小值称为点 P 到图形 C 的距离,那么平面内到定圆 C 的距离 与到定点 A 的距离相等的点的轨迹不可能是(▲ ... A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 ) D.直线

第 II 卷(共 100 分)
二、 填空题: 本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分. 11、已知某随机变量 ? 的概率分布列如右表,其中 x ? 0, y ? 0 ,随机变量 ? 的方差 D? ? 则x? y ? ▲ 1 2 . 3

1 , 2

?
P

x

y

x

3

5

12.已知某几何体的三视图如右图所示,其中俯视图 是边长为 2 的正三角形,侧视图是直角三角形,则此 1 1 几何体的体积为 ▲ 。 侧视图

正视图

13、若 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a 在 x ? 1 处有极值 10,则 a 的值为 第 12 题图 ▲_
3 2 2

2 2 14、已知 A 为直线 l : x ? y ? 2 上一动点,若在 O : x ? y ? 1 上存在一点 B 使 ?OAB ? 30? 成立,则点

A 的横坐标取值范围为_____▲____.

俯视图

15. A, B , C , D , E , F 6 个同学和 1 个数学老师站成一排合影留念,数学老师穿白色文化衫, A, B 和 C , D 同学分 别穿着白色和黑色文化衫,E 和 F 分别穿着红色和橙色的文化衫.若老师站中间, 穿着相同颜色文化衫的都

不相邻,则不同的站法种数为

_▲__

.

16.抛物线 y2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点为 F , A 、B 在抛物线上,且 ?AFB ? 上的射影为 N ,则
MN AB

?
2

,弦 AB 的中点 M 在其准线

的最大值为

_▲__

.

17、棱长为 2 的正四面体 ABCD 在空间直角坐标系中移动,但保持点 A, B 分别在 x 轴、 y 轴上移动,则 原点 O 到直线 CD 的最近距离为____▲____ 三、解答题: 本大题共 5 小题, 共 72 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (18) (本小题满分 14 分)袋中有大小相同的 10 个编号为 1 、 2 、 3 的球, 1 号球有1 个, 2 号球有 m 个, 3 号球有 n 个.从袋中依次摸出 2 个球,已知在第一次摸出 3 号球的前提下,再摸出一个 2 号球的概 率是 . (Ⅰ)求 m 、 n 的值; (Ⅱ)从袋中任意摸出 2 个球,记得到小球的编号数之和为 ? ,求随机变量 ? 的分布列和数学期望 E? . (19)(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3(2 ? a2 ) x2 ? 6(1 ? a2 ) x ? 1 (a∈ R). (Ⅰ 若函数 f (x)在 R 上单调, 求 a 的值; ) (Ⅱ )若函数 f (x)在区间[0,2]上的最大值是 5, 求 a 的取值范围. (20)(本题满分 14 分)如图,在梯形 ABCD 中, AB / / CD ,

1 3

AD ? DC ? CB ? 1, ?ABC ? 60? ,四边形 ACFE 为矩形,平
ACFE ? 平面 ABCD , CF ? 1 .
(I)求证: BC ? 平面 ACFE ; (II) M 在线段 EF 上运动, 点 设平面 MAB 与平面 FCB 所成 面角的平面角为 ? (? ? 90? ) ,试求 cos ? 的取值范围. (21) (本小题满分 15 分)已知椭圆 C :





x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l 过点 M (m,0) . 4 3 (Ⅰ)若直线 l 交 y 轴于点 N ,当 m ? ?1 时, MN 中点恰在椭圆 C 上,求直线 l 的方程;
(Ⅱ)如图,若直线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点,当 m ? ?4 时,在 x 轴上是否存在点 P ,使得 ?PAB 为等 边三角形?若存在,求出点 P 坐标;若不存在,请说明理由.
A

y
B
l

M

O O

x

3 2 (22) (本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? ax ? bx 在点 (3, f (3)) 处的切线方程为 12 x ? 2 y ? 27 ? 0 ,

且对任意的 x??0, ??? , f ?( x) ? k ln( x ? 1) 恒成立. (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)求实数 k 的最小值; (Ⅲ)求证: 1 ?

1 1 1 ? ? ? ? ? ln(n ? 1) ? 2 ( n ? N * ). 2 3 n

高二理科数学参考答案及评分细则
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 题目 选项 1 C 2 A 3 D 4 C 5 A 6 C 7 B 8 D 9 10

D

D

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11、

3 4

12 、

8 3 3

13、

-4

14、 17、

0?a?2

15、

112;

16、

2 2

2 ?1

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18 解: (1)记“第一次摸出 3 号球”为事件 A , “第二次摸出 2 号球”为事件 B , ?2 分 则 P ( B / A) ?

m 1 ? , 10 ? 1 3

4分 ????6 分

解得 m ? 3, n ? 6 ; (2)随机变量 ? 的取值为 3,4,5,6 , ? 的分布列为

?

3

4

5

6

????10 分

P

1 15

1 5

2 5

1 3

所以,数学期望 E? ? 5 . ????14 分

(20) (Ⅰ 解: )

f ?( x) ? 6x2 ? 6(2 ? a2 ) x ? 6(1 ? a2 ) ? 6( x ? 1)(x ? 1 ? a2 ) ,

因为函数 f (x)在 R 上单调, 即 a = 0. (Ⅱ 解: 因为 1 ? 1 ? a , )
2

所以 1 ? 1 ? a ,
2

…………………(6 分)

所以 max {f (x)}= max{ f (1) ,
0? x? 2

f (2)}= max{3a2+3, 5}=5,

即 3a2+3 ≤ 5,

解此不等式, 得 ……(14 分)

?

6 6 6 6 ?a? ?a? ,所以 a 的取值范围是 ? . 3 3 3 3

( II ) 由 ( I ) 可 建 立 分 别 以 直 线 CA, CB, CF 为 x轴,y轴, z轴 的 如 图 所 示 空 间 直 角 坐 标 系 , 令

FM ? ? (0 ? ? ? 3) ,则 C(0,0,0), A( 3,0,0) , B?0,1,0?, M ?? ,0,1?
∴ AB ? ? 3,1,0 , BM ? ??,?1,1? 设 n1 ? ?x, y, z ?为平面 MAB 的一个法向量, 由?

?

?

? n1 ? AB ? 0 ?n1 ? BM ? 0

得?

取 x ? 1 ,则 n1 ? 1, 3, 3 ? ? ,…………8 分 ∵ n2 ? ?1,0,0? 是平面 FCB 的一个法向量 ∴

?

?? 3x ? y ? 0 ??x ? y ? z ? 0

?

? ?? ? ? cos ? ? ?? ?? ?
| n1 ? n2 | | n1 |? | n2 | 1? 3 ?

1

?

3??

?

2

? ?1

1

?? ? 3 ?

2

…10 分

?4

∵ 0?? ? 当? ?

3

∴ 当 ? ? 0 时, cos ? 有最小值 ∴

1 3 时, cos ? 有最大值 。 2

7 , 7 ? 7 1? cos ? ? ? , ? …………………14 分 ? 7 2?

1 n 21. (Ⅰ)设点 N (0, n) ,则 MN 的中点为 (? , ) 2 2
1 n (? ) 2 ( ) 2 3 ∴ 2 ? 2 ?1 ∴n ? ? 5 4 3 2

(3 分) (4 分)

∴直线 l 的方程为: y ? ?

3 5( x ? 1) . 2

(Ⅱ)假设在 x 轴上存在点 P ,使得 ?PAB 为等边三角形.设直线 l 为 x ? ty ? 4, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则
? x ? ty ? 4 ? 2 2 ?3x ? 4 y ? 12

∴ (3t 2 ? 4) y 2 ? 24ty ? 36 ? 0

∴ y1 ? y2 ?

24t 36 , y1 y2 ? 2 , ? ? 144(t 2 ? 4) ? 0 2 3t ? 4 3t ? 4 ?16 12t , 2 ) 2 3t ? 4 3t ? 4 12t 16 ? ?t ( x ? 2 ) 3t 2 ? 4 3t ? 4
|

(6 分)

∴ AB 中点为 (

∴ AB 的中垂线为: y ?

(8 分)

12t 2 ? 12 | 2 4 12 t 2 ? 1 ∴点 P 为 (? 2 ,0) ∴ P 到直线 l 的距离 d ? 3t ? 4 ? 3t 2 ? 4 3t ? 4 t2 ?1
∵ | AB |?
12 t 2 ? 4 1 ? t2 3t 2 ? 4

(10 分)

(11 分)



12 t 2 ? 1 3 12 t 2 ? 4 ? ? 1 ? t2 3t 2 ? 4 2 3t 2 ? 4
4 3 3

(13 分)

∴t ? ?

1 ∴存在点 P 为 (? ,0) . 5

(15 分)

22. (本小题满分15分) 解: (Ⅰ)将 x ? 3 代入直线方程得 y ? ?

9 9 ,∴ 27 a ? 9b ? ? ① --------------1 分 2 2
--------------2 分

f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx, f ?(3) ? ?6 ,∴ 27 a ? 6b ? ?6 ②
①②联立,解得 a ? ? , b ? ∴ f ( x) ? ?

1 3

1 2
--------------4 分

1 3 1 2 x ? x 3 2

g ( x) 在 ?0,??? 单调递增,∴ g ( x) ? g (0)
2)当 ?=1 ? 8(k ? 1) ? 0 ,即 k ? 由 x1 ? x2 ? ?

--------------7 分

9 2 时,设 x1 , x2 是方程 2 x ? x ? k ? 1 ? 0 的两根且 x1 ? x2 8

1 ,可知 x1 ? 0 , 2

分析题意可知当 x2 ? 0 时对任意 x??0, ??? 有 g ( x) ? g (0) ;

9 8 综上分析,实数 k 的最小值为 1 .
∴ k ? 1 ? 0, k ? 1 ,∴ 1 ? k ?

--------------8 分 --------------9 分

2 2 (Ⅲ)令 k ? 1 ,有 ? x ? x ? ln( x ? 1), 即 x ? x ? ln( x ? 1) 在 x??0, ??? 恒成立;----10 分

令x?

1 1 1 1 1 ,得 ? 2 ? ln( ? 1) ? 2 ? ln(n ? 1) ? ln n n n n n n

--------------11 分

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? (ln 2 ? ln1) ? (ln 3 ? ln 2) ? ? ? (ln( n ? 1) ? ln n) 2 3 n 2 3 n 1 1 1 =1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ln(n ? 1) 2 3 n ∴ ∴原不等 1 1 1 ? 1? ? ?? ? ? ln(n ? 1) 1? 2 2 ? 3 (n ? 1)n 1 ? 2 ? ? ln(n ? 1) ? 2 ? ln(n ? 1) n
式得证. --------------15 分


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