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数学概念教学的研究与实践


论文:数学

数学概念教学的研究与实践
高淳县下坝中学 李万胜

数学概念教学是数学基础知识和基本技能教学的核心,正确理解数学概念是 提高学生数学能力的前提。数学概念教学是数学教学中不容忽视的重要一环。正 是基于以上的认识与理解,笔者作为一名初中数学教师学习了有关数学概念教学 的理论,并对数学概念教学进行了初步的研究和实践。 一、

数学概念的涵义 数学概念是人对客观事物中有关数量关系和空间形式方面本质属性的抽象。 概念反映的所有对象的共同本质属性的总和,叫做这个概念的内涵,又称涵义。 适合于概念所指的对象的全体,叫做这个概念的外延,又称范围。如平行四边形 的内涵就是平行四边形所代表的所有对象的本质属性:有四条边,两组对边分别 平行,对角线互相平分等;我们把适合概念的所有对象的全体,一般的平行四边 形、长方形、菱形和正方形称为平行四边形的外延。概念的内涵和外延是概念的 两个方面,是相互依存、相互制约,统一而不可分割的。正确的思维要求概念明 确,明确概念即是要明确概念的内涵和外延。比如,讲到“代数式”这一概念, 首先想到的是这种式子的本质特征是怎样的?即“代数式”的内涵是什么?“用加、 减、乘、除、开方、乘方六种代数运算符号将数和字母连接起来所得到的式子” 就是“代数式” ,这是代数式的本质特征,是代数式的内涵。概念的内涵一经界 定,它的存在范围、数量也就随之确定下来了;反过来,概念的外延一经确定, 即当它所反映的思维对象的数量范围限定下来之后,我们 -以对这些对象的集合 里的元素进行观察、分类、比较、分析、综合、抽象、概括等,找出它们共有的 基本特征,一般地,也可以将概念的内涵弄清楚。 中小学数学中有很多概念,包括数的概念、运算的概念、量与计量的概念、 几何形体的概念、比和比例的概念、方程的概念以及与统计、概率知识有关的概 念等。这些概念是构成中小学数学基础知识的重要内容,它们是互相联系着的。 数学概念在数学思维中起着十分重要的作用,它是最基本的思维形式。判断是由 概念构成的,推理和证明又是由判断构成的,可以说数学概念是数学的细胞。 二、 数学概念教学的意义 1.正确理解各种数学概念是掌握数学基本知识和基本技能的基石 中学数学的基础知识包括概念、定律、性质、法则、公式等,其中数学概念 不仅是数学基础知识的重要组成部分,而且是学习其他数学知识的基础。概念反 映的是事物的本质属性,是人们对事物本质属性的反映。我们要认识、把握某个 事物,必须首先弄清它的本质属性,否则就无法正确地认识事物。学生掌握基础 知识的过程,实际上就是掌握概念并运用概念进行判断、推理的过程。数学中的 法则都是建立在一系列概念的基础上的。事实证明,如果学生有了正确、清晰、 完整的数学概念,就有助于掌握基础知识,提高运算和解题技能。相反,如果一
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个学生概念不清,就无法掌握定律、法则和公式。例如,圆周角定理是一条弧所 对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,要使学生掌握这个定理,必须事先使学 生弄清圆周角、圆心角及弧所对的圆周角,弧所对的圆心角等概念。中学数学是 一门概念性很强的学科,任何一部分内容的教学,都离不开概念教学。所以我们 要想使学生真正学懂数学、掌握数学,并能正确地运用,数学解决实际问题,必 须重视概念教学,充分认识到概念教学的重要意义。 2.正确掌握概念并加以灵活运用是发展数学思维的必要前提 概念是思维的“细胞” 。在概念、判断、推理这三种思维形式中,概念是起 点,没有概念,或概念错误,就无法形成正确的判断,无法进行正确的推理。如 要判断三角形全等,学生必须对边角边、角边角、边边边、角角边、斜边直角边 这些概念十分清楚,才能去进行判断和推理。正是在形成正确的概念,并据此进 行判断、推理的过程中,学生初步的数学思维能力才逐步得到提高。在概念教学 过程中,为了使学生顺利地获取有关概念,教师常常要提供丰富的感性材料让学 生观察,在观察的基础上,启发引导学生,让学生对感性材料进行比较、分析、 综合,最后再抽象概括出概念的本质属性,从而使他们的初步逻辑思维能力逐步 得到提高; 使学生从概念形成的过程中, 认识定义存在的必要性和定义的合理性, 达到理解概念、训练思维的目的。 3.重视概念的教学有助于学生知识结构的建立和迁移能力的增强 实践证明,教学中,学生对最基本的概念理解得越深刻,学习有关知识越容 易,迁移的能力也就越强。例如,只要学生真正掌握了商不变性质,就有助于以 后分数、比例的学习,有助于顺利地理解分数的基本性质和比例的基本性质,解 决通分、约分、扩大、缩小的问题。而且只有以最基本的概念为核心,通过不断 迁移学到的知识才不是孤立的、零散的,才有助于形成主次分明、纲目清楚的认 知结构,才便于学生理解、迁移和记忆。如列方程解应用题这部分知识,其中方 程是最基本、最核心的概念,有关的知识在这一概念的作用下才形成了一个有机 的知识结构。 三、数学概念教学中存在的问题 从教师的教学来看,存在如下问题: (1)比较忽视概念的教学。在教学实践中,我们发现不少教师片面重视计算 教学,而不重视概念教学,把注意力和精力过多地投入到了计算教学上,在讲概 念时一带而过,不注意讲懂、讲透,让学生真正理解概念。 (2)比较忽视概念的形成。在教学概念时往往把一些新概念和盘托出,强输 硬灌,要求孩子们去记一些现成的结论,学生囫囵吞枣,结果是知其然而不知其 所以然。 (3)比较忽视概念间的联系。在教学概念时容易就事论事,不注意概念之间 的有机联系,结果,许多有联系的数学概念分散而孤立地保留在学生的头脑中, 只见树木不见森林,没有组成概念系统。 (4)比较忽视概念的灵活运用。没有主动地去创设一些条件,引导学生在解
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决实际问题中去灵活运用概念,从而加深理解概念。 诸上问题导致了学生不能牢固地掌握数学知识,不能融会贯通地灵活运用知 识,不能形成真正的计算能力。例如,一位教师在教完全平方 公式时主观地以为学生能容易理解,故对完全平方公式结构的讲解不够,并没有 利用各种变式去帮助学生理解,而把大量的时间花在机械的运算上,结果时间一 长就出现完全平方公式等同于平方差公式的错误。 学生学习概念,往往会出现两种倾向: (1)有的学生认为基本概念单调乏味,作用不大而不去重视它。 (2)有的学生对基本概念虽然重视但只是死记硬背,而不去真正透彻理解。 这样久而久之,就会经常出现概念不清的情况,从而严重影响对数学基础知 识和基本技能的掌握和运用。 如学生由于对绝对值概念理解不清, 出现了的错误。 这个现象说明只有真正掌握了数学中的基本概念,我们才能把握数学的知识系 统,才能正确、合理、迅速地进行运算、论证和空间想象。从一定意义上说,数 学水平的高低,取决于对数学概念掌握的程度。 四、进行数学概念教学的实践 1.丰富学生的感性认识 由于形成准确概念的先决条件是使学生获得十分丰富和符合实际的感性材 料,通过对感性材料的抽象、概括,来揭示概念所反映的本质属性,因此在教学 中,要密切联系数学概念在现实世界中的实际模型,通过对实物、模型的观察, 对图形的大小关系、位置关系、数量关系的比较分析,创设情境等,在具有充分 感性认识的基础上引入概念。 如在教学 “数轴” 这个概念时, 如果照教材宣读 “把 一条规定了方向、原点和单位长度的直线叫数轴” ,这样直接引入对初学者来讲 往往空对空,理解不深。其实,人们早就知道怎样用“直线”上的“点”表示各 种数量,如秤杆上的“点”表示物体的重量,温度计上的“点”表示温,标尺上 的“点”表示长度等。秤杆、温度计、标尺都具有“三要素” :度量的起点,度 量的单位,明确增减方向。这些模型都启发人们用直线上的“点”表示数,从而 引入“数轴’ ’概念,这样教学学生容易接受。又如, “平面直角坐标系”的引人, 我们可以问学生你坐在教室里的什么位置,要回答这个问题,学生必然会说,我 在第几组、第几排。事实上,这个第几组、第几排正是点坐标最初原型。再如平 移、旋转、投影概念的引入,可充分借助于教具或电教手段,把产生的过程加以 演示,使学生形成实感,加深对概念的领悟。 教 学实践证明,使学生身临其境 去体验并理解有关知识,他们能很快准确地掌握相关的数学概念。在感知的过程 中,在引导学生逐个地感知客观事物的时候,教师要注意使用数学术语。但教师 提供材料时要注意两点:一是所选材料要确切。二是所选材 料要突出所授知识 的本质特征。例如直角三角形的本质特征是“有一个角是直角的三角形” ,至于 这个直角是三角形中的哪一个角,直角三角形的大小、形状,则是非本质的。因 此教学时应出示不同的图形,使学生在不同的图形中辨认其不变的本质属性。 2.引导学生抽象出事物的本质属性
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透过事物的外部现象,抽象概括出事物的本质属性时,才叫形成了概念。即 完成了从感性认识到理性认识的飞跃之后,学生脑中才能形成概念。也就是说, 在感知的基础上,要引导学生以抽象概括,找出全体材料共同的本质属性。如学 习梯形的概念时,可针对图 1—5 所提供的形式不同的梯形,找出其共同之处: ①都是四边形,②每个四边形仅有一组对边平行。合并上述两个要点,即可得出: 只有一组对边平行的四边形叫做梯形。

图 1-5

3.通过练习加深对概念的理解 练习题除了安排一定量的基本题之外,还应安排好“变式”反例”两种类型 的题目。变式练习题通常指题目的形式与的例题有所变化,而本质属性不变,其 主要特征是“是非而是” 。例如,教学垂线的认识时,通常用 两个典型例

进行教学,练习时应引导学生 判断 两个图中条直线是否垂直。从 表面看这两个图中都没有四个角,但直线是没有端点的,应把这两个图看成: ,可认这两个图中的两条直线互相垂直。这两个图为学生画三角边上的高 和确认直角三角形的高打下坚实的基础。 反例练习则是“似是而非” ,即表面上练习题与典型的例题,但本质属性已经 起了根本性的变化。如,学生对三角形有了初步认识之后,引导学生辩认下面的 图形是不是三角 形

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( 2) 图 1-6

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图 1—6 三个图从表面看与三角形相似,而本质已变化。(1)图中有三条线段,但 未“围成” (2)图中“围成”了但有四条线段; (3)图中有三条边,也围成了, 但是有一条边不是线段。这三个图都不是三角形。 除了变式练习外,还可以进行变换本质属性的叙述或表达方式方面的练习。 学生理解和掌握概念的特点之一往往是: 对某一概念的内涵不很清楚, 也不全面, 把非本质的特征作为本质的征。 ,为此,往往需要变换概念的叙述或表达方式, 让学生从各个侧面来理解概念,目的是从变式中把握概念的本质属性,排除非本 质属性的干扰。因为事物的本质属性可以运用不同的语言来表达,如果学生对各 种不同的叙述和表达都能理解和掌握,就说明学生对概念的理解是透彻的,是灵
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活的,不是死记硬背的。如教学“梯形”的概念,在学生按课本识了梯形后,出 示下面图 1—7 的两个图形,问:它们是梯形吗?当学生回答后,再要他们指出这 个梯形的上底、下底和高。接着出示图 1—8,要求学生说出图中有哪些梯形,并 分别指出这些梯形的高、上底和下底。有的学生认为。是梯形,有的认为 ^也是 梯形,还有 的认为。和凸合起来是 个大梯形。 说明学生已经灵活掌握 丁“梯形” 这一概念。
a (1) 图 1-7 (2) 图 1-8 b

4.在应用中加深对概念的理解 学习概念时,即使弄清了概念的涵义,但要真正掌握它,还必须通过应用, 在应用中加深理解。加深对概念的理解,还可以让学生把概念应用于生活实践。 数学概念来源于生活,就必然要回到生活实际中去。教师引导学生运用概念去解 决数学问题,是培养学生思维、发展各种数学能力的过程。并且,也只有让学生 把所学习到的数学概念,拿到生活实际中去运用,才会使学到的概念巩固下来, 进而提高学生对数学概念的运用技能。为此,教师在教学中应当根据教材内容和 学生实际, ,有意识地深化和发展学生的数学概念。例如在学习圆的面积后,一 位教师就设计了这样的问题: “我们已经学习了圆面积公式,谁能想办法算一算, 学校操场上白杨树树干的横截面面积 ?”同学们就讨论开了,有的说,算圆面积 一定要先知道半径,只有把树砍下来才能量出半径;有的不赞成这样做,认为树 一砍下来就会死掉。这时教师进一步引导说: “那么能不能想出不砍树就能算出 横截面面积的办法来呢?大家再讨论一下。 ”学生们渴望得到正确的答案,通过积 极思考和争论,终于找到了好办法,即先量出树干的周长,再算出半径,然后应 用面积公式算出大树横截面面积。课后许多学生还到操场上实际测量了树干的周 长,算出了横截面面积。再如,在教学平行光投影时,可以启发学生运用旗杆高 度与影长的关系,巧妙地算出了旗杆的高度。这样通过创设有效的教学情境,教 师适时点拨,不但启迪了学生的思维,而且培养了学生学以致用的兴趣和能力, 也加深了对所学概念的理解。 5.指导学生系统归类,巩固概念 现代认知心理学研究表明,学生的知识、概念如果不经整理杂乱地放在脑子 里是很难被提取的,所以在每一教学单元结束后,要及时进行概念总结,在总结 时要特别重视同类概念的区别和联系,从不同角度出发,制作较合理的概念系统 归类表。

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