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重庆八中2013-2014学年高二数学下学期期末考试试题 理


重庆八中 2013—2014 学年度(下) 期末考试高二年级 数学试题(理科)
第 I 卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只有 一项是符合题目要求的 (1)设 i 是虚数单位,则复数 z ? i ? (1 ? i) 的模等于 (A) 1 (B) 2 (C) 2 2 (D) 2

>
(2)整数是自然数,由于 ?3 是整数,所以 ?3 是自然数,则有 (A)大前提错误(B)小前提错误(C)推理正确(D)推理形式错误 (3)设随机变量 X ~ N (1, 4) ,且 P( X ? a) ? P( X ? 2) ,则实数 a 的值为 (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0

P 0, f ? 0? ? (4)设函数 y ? f ?x ? 的导函数为 f ? x ? ,若 y ? f ?x ? 的图象在点 处的切线方程 f ? 0? ? f ? ? 0? 为 2 x ? y ? 2 ? 0 ,则 的值为
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

?

?

(5)在极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为 ? =4sin ? ,则圆 C 的半径为 (A) 1 (6)在区间 (B) 2 (C) 2 2 (D) 4

?0,1? 上随机取一个数 x ,使 y ? 3x ? 1 的值介于1 与 2 之间的概率为
1 (B) 2 1 (C) 3 1 (D) 4

2 (A) 3

1 ( x 2 ? )9 x 的展开式中的常数项为 (7)二项式
(A) 36 (B) ?36 (C) 84 (D) ?84

(8)将甲、乙、丙、丁、戊 5 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官,设事件 A 为“每个乡镇至 少有一名大学生村官” ,事件 B 为“甲、乙、丙三人在同一个乡镇当村官” ,则概率 于

P(B A)



-1-

1 (A) 25

2 (B) 25

1 (C) 90

2 (D) 81

(9)函数 f ( x ) 的图象如图所示,下列数值排序正确的是

? ? (A) 0 ? f (3) ? f (3) ? f (2) ? f (2) ? ? (B) 0 ? f (2) ? f (3) ? f (3) ? f (2) ? ? (C) 0 ? f (3) ? f (2) ? f (3) ? f (2)

y

? ? (D) 0 ? f ?3? ? f ?2? ? f (2) ? f (3)

O

2 3

x

(10) 若从 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10 这 10 个数中任意取出 3 个数, 则这三个数互不相邻的取法种 数有 (A) 20 种 (B) 56 种 (C) 60 种 (D) 120 种

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相应的位置上 (11)如果复数 z ? m ? (m ? 1)i 是纯虚数,则实数 m 的值为 (12)如右图所示, AB 是半径等于 3 的⊙ O 的直径,CD 是⊙ O 的 .
D B O C A P

, D C的 延 长 线 交 于 点 P , 若 PA ? 4,PC ? 5 , 则 弦, BA
DC ?


l l (13)在极坐标系中,直线 1 的极坐标方程为 ? (2cos ? ? sin ? ) ? 2 ,直线 2 的参数方程为
? x ? 1 ? 2t ? l l ? y ? 2 ? kt ( t 为参数) ,若直线 1 与直线 2 平行,则 k 的值为
(14) x 的不等式

. .

x ?1 ? x ? a ? a ?1

的解集为空集 ? ,则实数 a 的取值范围是

f ( x) ? 1 ? x ?
(15)

x 2 x3 x 4 x 2015 x 2 x3 x 4 x 2015 ? ? ??? g ( x) ? 1 ? x ? ? ? ?? ? 2 3 4 2015 , 2 3 4 2015 ,

设函数 h( x) ? f ( x ? 3) ? g ( x ? 4) ,若函数 h( x) 的零点均在区间 [a, b](a ? b, a, b ? Z ) 内, 则 b ? a 的最小值为 .

-2-

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (16) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分) 某工厂对一批产品的质量进行了抽样检测, 已知样本容量为

40 ,右图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克)数据
绘制的频率分布直方图. (Ⅰ)求 x 的值; (Ⅱ)若规定净重在 [60,65) (克)的产品为一等品,依此 抽样数据,从净重在 [60,70) 克的产品中任意抽取 2 个,求 抽出的 2 个产品中恰有 1 个一等品的概率.

(17) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分) 如图,等腰直角三角形 PAB 所在平面与直角梯形 ABCD 所在平面垂直, PA ? PB ?

2且

AB // CD, DA ? AB, AD ? 2, CD ? 4, E 是线段 PC 的中点.
(Ⅰ)求证:直线 BE / / 平面 PAD ; (Ⅱ)求二面角 P ? BD ? A 的余弦值.
E B C D A P

(18) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分) 某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的 8 场比 赛中得分统计的茎叶图如下:若以甲、乙两名队员 得分的频率作为概率,假设甲、乙两名队员在同一 场比赛中的得分互不影响. (Ⅰ)预测下一场比赛中,甲乙两名队员至少有一 名得分超过 15 分的概率; (Ⅱ)求本赛季剩余的 2 场比赛中甲、乙两名队员得分均超过 15 分的次数 X 的分布列和期望. 甲 乙

6

3

9 3 8

7 1 3

0 1 2

7 0 1

8 4 3

7

9

-3-

(19) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分)

已知函数

f ? x? ?

x2 ? a ln x ? a ? 1? 2 .

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求 f ( x) 的单调区间;

?1, e? 上的极值点. (Ⅱ)讨论 f ( x) 在区间

(20) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分)

C:
已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2 的短轴长为 2 , 椭圆 C 上任意一点到右焦点 F 距离

的最大值为 2 ? 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ) 过点 D(0, ?2) 作直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点, 点N 满足 ON ? OA ? OB( O 为坐标原点) , 求四边形 OANB 面 积的最大值,并求此时的直线 l 的方程.

B O A D

????

??? ? ??? ?

(21) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 3 分, (Ⅱ)小问 4 分(Ⅲ)小问 5 分)

f ( x) ? ax ?
已知函数

a ?1 1 ? 1 ? 2a ( a ? ) x 2 .

1, f ?1? (Ⅰ)当 a ? 2 时,求函数 y ? f ( x) 在点 处的切线;
(Ⅱ)证明: f ( x) ? ln x 在 [1, ??) 上恒成立;

?

?

-4-

1?
(Ⅲ)证明:

1 1 1 n ? ? ? ? ? ln(n ? 1) ? 2 3 n 2(n ? 1) ( n ? N * ).

重庆八中 2013—2014 学年度(下) 期末考试高二年级 数学试题(理科)参考答案 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只有 一项是符合题目要求的 题号 答案 1 D 2 A 3 D 4 D 5 B 6 C 7 C 8 A 9 A 10 B

0 ? f ?(3) ?
9. 法一:观察图象及导数的几何意义得:

f (3) ? f (2) ? f ?(2) 3? 2

法二:拉格朗日中值定理。 10.法一: 【直接法、间接法】 ,此法思路简捷,但列举量较大,因此正难则反。
3 1 1 1 1 C10 ? [C7 ? C7 ? 7C6 ] ? C8 ? 120 ? 56 ? 8 ? 56 3 C8 =56 3 C8 =56

法二: 【映射法】 法三: 【挡板法】 题号 答案 14. 解: 11

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相应的位置上 12 13 14 15

0

3


4

(??,1)

10

a ?1 ? a ? 1 ? a ? 1 ? 0 ? a ? 1

f ?( x) ? 1 ? x ? x 2 ? x3 ? ? ? x 2014 ?
15. 解:由

1 ? (? x)2015 1 ? x2015 ? 1 ? ( ? x) 1 ? x 可得:

? ? 当 x ? 0 时,有 f ( x) ? 0 ;当 x ? 0 时,有 f ( x) ? 0 ;且 f (0)=1 。
所以当 x ? 0 时,有 f ( x) ? 1 ? 0 ; 当 x ? 0 时,有 y ? f ( x) 单调递增,

f (?1) ? 1 ? 1 ?
又 即

1 1 1 ? ?? ? ?0 2 3 2015 , 所以在 (?1, 0) 上函数 y ? f ( x) 有且只有一个零点,

f ? x ? 3?

在 (?4, ?3) 上有且只有一个零点.

-5-

g ?( x) ? ?1 ? x ? x 2 ? x3 ? ? ? x 2014 ? ?[ f ?( x)] ? ?
同理,由

1 ? x 2015 1 ? x 可得:

? ? 当 x ? 0 时,有 g ( x) ? 0 ;当 x ? 0 时,有 g ( x) ? 0 ;且 g (0)=1。
所以当 x ? 0 时,有 g ( x) ? 1 ? 0 ; 当 x ? 0 时,有 y ? g ( x) 单调递减,

g (1) ? 1 ? 1 ?


1 1 1 1 ? ? ?? ? ?0 2 3 4 2015 ,

g (2) ? 1 ? 2 ?

2 2 23 2 4 22015 ? ? ?? ? 2 3 4 2015 1 2 1 2 1 2 ? ?1 ? 22 ( ? ) ? 24 ( ? ) ? ? ? 22014 ( ? )?0 2 3 4 5 2014 2015 , 所以在 (1, 2) 上函数 g ( x)

有且只有一个零点,即

g ? x ? 4?

在 (5, 6) 上函数有且只有一个零点。

? 3) ? g (x ? 的 4 )零 点 均 在 区 间 [a, b](a ? b, a, b ? Z ) 内 , 所 以 由 于 函 数 h( x)? f ( x b ? 6 ,a ? ? 4 ,即 b ? a ? 10 ,所以 b ? a 的最小值为 10 .
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (16) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分) 【解】 (Ⅰ)由频率分布直方图可知: (0.01 ? 0.02 ? 2 ? x ? 0.05 ? 0.06) ? 5 ? 1, 解得 x ? 0.04 ????????6 分

(Ⅱ)净重在 [60,70) 克的产品有 40 ? (0.01 ? 0.02) ? 5 ? 6 个; 净重在 [60,65) 克的一等品产品有 40 ? 0.01? 5 ? 2 个。
1 1 C2 ? C4 8 = 2 15 C6 则所有概率为

????????13 分

(17) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分) 【解】 (I)取线段 CD 的中点 F ,连接 EF , BF 。 在 ?CDP 中,由中位线 EF 得 EF / / PD ;
C E B F D A P

-6-

又 AB / / FD 且 AB =FD ,所以 BF / / AD ; 所以平面 EFB //平面 PAD ,由 BE ? 平面 EFB ,所以直线 BE / / 平面 PAD .????6 分

(Ⅱ)解法一:取 AB 中点 H ,则 PH ? AB ,因平面 PAB ? 平面 ABCD ,所以 PH ? 平 面 ABCD ,作 HG ? BD 与点 G ,则 ?PGH 为二面角 P ? BD ? A 的平面角。

因 AD ? AB ? 2 ,且 DA ? AB ,所以

?HBG =

?
4 ,易知 PH ? BH ? 1 ,所以

HG ?

2 2 ,

tan ?PGH ?
所以

PH 3 ? 2 cos ?SGH ? GH 3 . ,所以

??????13 分

解法二:取 AB 中点 O ,则 PO ? AB ,因平面 PAB ? 平面 ABCD ,所以 PO ? 平面 ABCD

0 1), B(0 , ? 1, 0), D(2 , 1, 0), F (2 , ?1, 0) , 如图建立空间直角坐标系,则有: P(0 ,,

?? ? ??? ? ??? ? BP ? (0,1,1), BD ? (2,2,0) .易知平面 ADB 的法向量为 n1 ? (0,0,1) ,设平面 PBD 的法向量 ?? ? ??? ? ? ?n2 ?BP ? b ? c ? 0 ?c ? ?b ? ??? ? ?? ? ?? ? ??? ? n2 ?BD ? 2a ? 2b ? 0 n ? ( a , b , c ) n ?( 1 , 1 ? , 1 ) 。 x ? ? b ? ? b ? ? 1 ? 2 为 , 于是有 , 解得 , 令 , 则 2 ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? n1 ? n2 3 cos ? n1 , n2 ?? ?? 3 ? ?? ? ? 3 n1 ?n2 所以 ,故所求二面角的余弦值为 3 。
P

?
P E

E B C F G H D A

B C F

G

O D

A

(18) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分) 【解】 (Ⅰ)根据统计结果:在一场比赛中,甲、乙得分超过 15 分的概率分别为:

3 1 P1 ? , P2 ? 8 2 ,于是两人至少有一名得分超过 15 分的概率: 5 1 11 P ? 1 ? ?1 ? P ? ? 1 ??1 ? P 2 ? ? 1? 8 2 16

???????????6 分
k 2? k

? 3? k ? 3 ? ? 13 ? X ~ B ? 2, ? , P ? X ? k ? ? C2 ? ? ? ? ? 16 ? ? 16 ? ? 16 ? (Ⅱ)依题意:

, k ? 0,1, 2


-7-

于是: X 的分布列为:

X
P

0

1

2

169 256

78 256

9 256
????????13 分

X 的期望

E ? X ? ? 2?

3 3 ? 16 8

(19) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 6 分)

【解】 (Ⅰ) a ? 2 时,

f ? x? ?

x? 2 x? 2 2 x2 ? 2 x2 ? ? 2ln x,f ' ( x) ? x ? ? x x x 2
?????6 分

?

??

?

f ( x) 的单调递减区间为 (0, 2) ,单调递增区间为 ( 2, ??)

x? a x? a a x2 ? a x2 ' f ( x) ? x ? ? ? f ? x ? ? ? a ln x, x x x 2 (Ⅱ) ,
2 ①当 a ? e, 即 a ? e 时,

?

??

?

f ( x) 在区间 ?1, e ? 上单减, f ( x) 无极值点.
2 ②当 a ? e, 即 1 ? a ? e 时,

f ( x) 在区间 1, a 上单减, 在区间

?

?

?

a, e

? 单增,
????????12 分

? f ( x) 的极小值点为 x ? a ,无极大值点.
(20) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 6 分)

x2 ? y2 ? 1 4 【解】 (Ⅰ)椭圆方程为 (过程略)
(Ⅱ)因为 ON ? OA ? OB ,所以四边形 OANB 为平行四边形, 当直线 l 的斜率不存在时显然不符合题意; 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,l 与椭圆交于

A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

两点,

? y ? kx ? 2 ? 2 ?x 2 2 2 ? ? y ?1 ( 由?4 得 1+4k ) x ? 16kx ? 12 ? 0

????6 分 [ 由

-8-

? ? 16 k ? 48(1 ? 4k ) ? 0 ,得
2 2 2

k2 ?

3 4

? x1 ? x2 ?

16k 12 , x1 x2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

??????8 分

? S ?OAB ?

1 | OD || x1 ? x2 |?| x1 ? x2 |, 2

? S? OANB ? 2S ?OAB ? 2 | x1 ? x2 |? 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 2 (

16k 2 12 ) ?4 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

?2

162 k 2 ? 48(1 ? 4k 2 ) 4k 2 ? 3 ? 8 (1 ? 4k 2 ) 2 (1 ? 4k 2 ) 2

????10 分

2 2 令 4k ? 3 ? t ,则 4k ? t ? 3 (由上可知 t ? 0 ) ,

S? OANB ? 8

t 1 1 ?8 ?8 ?2 2 16 7 (t ? 4) 16 8?t ? k2 ? t ? 4, t 4 时取等号; 当且仅当 即
7 , 2 平行四边形 OANB 面积的最大值为 2 y?? 7 x?2 2

?当

k??

此时直线 l 的方程为

????12 分

(21) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 3 分, (Ⅱ)小问 4 分(Ⅲ)小问 5 分) 【解】(Ⅰ) 当 a ? 2 时,

f ( x) ? 2 x ?

1 1 ? 3 ? f ?( x) ? 2 ? 2 ? f ?(1) ? 1 x x ,且 f (1) ? 0 ,
????????3 分

1, f ?1? 则函数 y ? f ( x) 在点 处的切线为: y ? x ? 1
g ( x) ? f ( x) ? ln x ? ax ?
(Ⅱ)解法一:令

?

?

a ?1 ? 1 ? 2a ? ln x( x ? 1) x ,则有:

a ? 1 1 ax 2 ? x ? (a ? 1) g ?( x) ? a ? 2 ? ? ? x x x2
a?
由于

a( x ? 1)( x ? x2

1? a ) a ( x ? 1)


1 1? a ?1 ? 2得 a ,所以 g ( x) ? 0 ,所以 y ? g ( x) 在 [1, ??) 上单调递增,且 g (1)=0 。
?????7 分

所以 g ( x) ? g (1) ? 0 ,即 f ( x) ? ln x 在 [1, ??) 上恒成立.

-9-

a?
(Ⅲ)解法一:当

1 1 1 ( x ? ) ? ln x 2 时,由(Ⅱ)可知 2 x 在 [1, ??) 上恒成立。

1 1 n ?1 ( x ? ) ? ln x ln(n ? 1) ? ln n ? ln S ? ln( n ? 1) ? x n , 当 x ? 1 时, 2 。由 n 通项公式为 x?


k ?1 k ?1 1 k ?1 k 1 1 1 1 1 1 ? ln ? ( ? ) ? [(1 ? ) ? (1 ? )] ? ( ? ) k k 2 k k ?1 2 k k ?1 2 k k ?1

1 1 1 ln(k ? 1) ? ln k ? ( ? ) 2 k k ? 1 ,由累加法得: 即:

ln(n ? 1) ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ??? ) ? ? ln(n ? 1) ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 2 2 3 n 2(n ? 1) 2 2 3 n 2(n ? 1) 所

1?


1 1 1 n ? ? ? ? ? ln(n ? 1) ? 2 3 n 2(n ? 1)

?????12 分 (略)

解法二: 【数学归纳法+分析法+构造法+求导定单调性】

- 10 -


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