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2012年数学一轮复习精品试题第06讲 函数的单调性与最大(小)值


第六讲

函数的单调性与最大(小)值
考号________ 日期________ 得分________

班级________ 姓名________

一、选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的 括号内.) 1.下列函数中,在区间(0,+∞)上 不是增函数的是(

A.y=2x+1 2 C.y= x B.y=3x2+1 D.y=|x | )

解析:由函数单调性定义知选 C. 答案:C 2.定义在 R 上的偶函数 f(x)的部分图象如图所示,则在(-2,0)上,下列函数中与 f(x) 的单调性不同的是( )

A.y=x2+1 B.y=|x|+1
? ?2x+1,x≥0, C.y=? 3 ?x +1,x<0 ? ?ex,x≥0, ? D.y=? -x ? ?e ,x<0

解析:利用偶函数的对称性知 f(x)在(-2,0)上为减函数.又 y=x2+1 在(-2,0)上为减函
?2x+1,x≥0, ? 数;y= |x|+1 在 (-2,0)上为减函数;y= ? 3 在(-2,0)上为增函数,y= ? ?x +1,x<0 ? x ?e ,x≥0, ? -x 在(-2,0)上为减函数.故选 C. ? ?e ,x<0

答案:C 3.(2010· 北京)给定函数①y=x2;②y=log1(x+1);③y=|x-1|;④y=2x 1,其中在区
2 1


间(0,1)上单调递减的函数的序号是( A.①② B.②③ C.③④ D .①④

)

解析:①是幂函数,其在(0,+∞)上为增函数,故此项不符合题意;②中的函数是由 函数 y=log1x 向左平移 1 个单位而得到的,因原函数在(0,+∞)上为减函数,故此项符合
2

题意 ;③中的函数图象是函数 y=x-1 的图象保留 x 轴上方的部分,下方的图象翻折到 x 轴 上方而得到的,由其图象可知函数符合题意;④中的函数为指数函数,其底数大于 1,故其 在 R 上单调递增,不符合题意,综上可知选择 B. 答案:B
? 2 ?x +4x,x≥0, 4.已知函数 f(x)=? 若 f(2-a2)>f(a),则实数 a 的取值范围是( 2 ?4x-x ,x<0. ?

)

A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
2 ? 2 ?x +4x=(x+2) -4,x≥0, 解析:f(x)=? 由 f(x)的图象可知 f(x)在(-∞,+∞)上是 2 2 ? ?4x-x =-(x-2) +4,x<0,

单调递增函数,由 f(2-a2)>f(a)得 2-a2>a,即 a2+a-2<0,解得-2<a<1.故选 C. 答案:C 5.(2010· 抚顺六校第二次模拟)f(x)= (x>1) ?a ? ?? a? 是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围为( ? ??4-2?x+2 (x≤1) A.(1,+∞) C .(4,8) B.[4,8) D.(1,8) a>1,
x

)

? a ?4- >0, 解析:因为 f(x)是 R 上的单调递增函数,所以可得? 2 ?a≥4-a+2. ? 2
B. 答案:B

解得 4≤a<8,故选

6.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=-f(x+4),当 x>2 时,f(x)单调递增,如果 x1+ x2<4,且(x1-2)(x2-2)<0,则 f(x1)+f(x2)的值( A.恒小于 0 B.恒大于 0 C.可能为 0 D.可正可负 解析:因为(x1-2)(x2-2)<0,若 x1<x2,则有 x1<2<x2,即 2<x2<4-x1,又当 x>2 时,f(x) 单调递增且 f(-x)=-f(x+4),所以有 f(x2)<f(4-x1)=-f(x1),f(x1)+f(x2)<0;若 x2<x1,同理 )

有 f(x1)+f(x2)<0,故选 A. 答案:A 二、 填空题: (本大题共 4 小题, 每小题 6 分, 24 分, 共 把正确答案填在题后的横线上. ) 7.若函数 f(x)=|logax|(0<a<1)在区间(a,3a-1)上单调递减,则实数 a 的取值范围是 ________. 解析:由于 f(x)=|logax|在(0,1]上递减,在(1,+∞)上递增,所以 0<a<3a-1≤1,解得 1 2 <a≤ ,此即为 a 的取值范围. 2 3 1 2 答案: <a≤ 2 3 8.函数 f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为 a,则 a=________. 解析:先判断函数的单调性,然后利用单调性可得最值.由于 a 是底数,要注意分情况 讨论. 若 a>1,则 f(x)为增函数,所以 f(x)max=a+loga2,f(x)min=1,依题意得 a+loga2+1=a, 1 即 loga2=-1,解得 a= (舍去). 2 若 0<a<1,则 f(x)为减函数,所以 f(x)min=a+loga2,f(x)max=1,依题意得 a+loga2+1 1 1 =a,于是 a= ,故填 . 2 2 1 答案: 2 9.已知定义在区间[0,1]上的函数 y=f(x)的图象如图所示,对于满足 0<x1<x2<1 的任意 x1、x2,给出下列结论:

①f(x2)-f(x1)>x2-x1; ②x2f(x1)>x1f(x2); ③ f(x1)+f(x2) ?x1+x2? <f 2 ? 2 ?.

其中正确结论的序号是________.(把所有正确结论的序号都填上) f(x2)-f(x1) 解析:由 f(x2)-f(x1)>x2-x1,可得 >1,即两点(x1,f(x1))与(x2,f(x2)) 连线的斜 x2-x1

率大于 1,显然①不正确;由 x2f(x1)>x1f(x2)得

f(x1) f(x2) > ,即表示两点(x1,f(x1))、(x2,f(x2)) x1 x2

与原点连线的斜率的大小,可以看出结论②正确;结合函数图象,容易判断③的结论是正确 的. 答案:②③ 10.已知函数 f(x)= 3-ax (a≠1). a-1

(1)若 a>0,则 f(x)的定义域是________; (2)若 f(x)在区间(0,1]上是减函数,则实数 a 的取值范围是________. 3 3 解析: (1)当 a>0 且 a≠1 时, 3-ax≥0 得 x≤ , 由 即此时函数 f(x)的定义域是?-∞,a?; ? ? a (2)当 a-1>0,即 a>1 时,要使 f(x)在(0,1]上是减函数,则需 3-a×1≥0,此时 1<a≤3. 当 a-1<0,即 a<1 时,要使 f(x)在(0,1]上是减函数,则需-a>0,此时 a<0.综上所述, 所求实数 a 的取值范围是(-∞,0)∪(1,3]. 3 答案:(1)?-∞,a? ? ? (2)(-∞,0)∪(1,3]

三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步 骤.) ax+1 11.函数 f(x)= 在区间(-2,+∞)上是递增的,求实数 a 的取值范围. x+2 ax+1 a(x+2)+1-2a 1-2a 解:f(x)= = = +a. x+2 x+2 x+2 任取 x1,x2∈(-2,+∞),且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)= = 1-2a 1-2a - x1+2 x2+2

(1-2a)(x2-x1) . (x1+2)(x2+2)

ax+1 ∵函数 f(x)= 在区间(-2,+∞)上为增函数, x+2 ∴f(x1)-f(x2)<0. ∵x2-x1>0,x1+2>0,x2+2>0, 1 ∴1-2a<0,a> . 2 1 即实数 a 的取值范围是 ?2,+∞?. ? ? 评析: 对于函数单调性的理解, 应从文字语言、 图形语言和符号语言三个方面进行辨析, 做好定性刻画、图形刻画和定量刻画.逆用函数单调性的定义,根据 x1-x2 与 f(x1)-f(x2)是 同号还是异号构造不等式,通过分离参数来求其取值范围.

12.已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时,f(x)<0,f(1) 2 =- . 3 (1)求证:f(x)在 R 上是减函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 解:(1)解法一:∵函数 f(x)对于任意 x,y∈R 总有 f(x)+f(y)=f(x+y), ∴令 x=y=0,得 f(0)=0. 再令 y=-x,得 f(-x)=-f(x). 在 R 上任取 x1>x2,则 x1-x2>0, f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2) =f(x1-x2). 又∵x>0 时,f(x)<0,而 x1-x2>0, ∴f(x1-x2)<0, 即 f(x1)<f(x2). 因此 f(x)在 R 上是减函数. 解法二:设 x1>x2, 则 f(x1)-f(x2) =f(x1-x2+x2)-f(x2) =f(x1-x2)+f(x2)-f(x2) =f(x1-x2). 又∵x>0 时,f(x)<0,而 x1-x2>0, ∴f(x1-x2)<0, 即 f(x1)<f(x2 ), ∴f(x)在 R 上为减函数. (2)∵f(x)在 R 上是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上也是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为 f(-3)与 f(3). 而 f(3)=3f(1)=-2,f(- 3)=-f(3)=2. ∴f(x)在[-3,3]上的最大值为 2,最小值为-2. 13. 已知定 义域为[0,1]的函数 f(x)同时满足: ①对于任意的 x∈[0,1], 总有 f(x)≥0;②f(1) =1;③若 x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有 f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2). (1)求 f(0)的值; ( 2)求 f(x)的最大值; (3)若对于任意 x∈[0,1),总有 4f2(x)-4(2-a)f(x)+5-4a≥0,求实数 a 的取值范围.

解:(1)对于条件③,令 x1=x2=0 得 f(0)≤0, 又由条件①知 f(0)≥0,故 f(0)=0. (2)设 0≤x1<x2≤1,则 x2-x1∈(0,1), ∴f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)≥f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)≥0. 即 f(x2)≥f(x1),故 f(x)在[0,1]上递增,从而 f(x)的最大值是 f(1)=1. (3)因 f(x)在 [0,1]上 是增函 数 ,则 f(x)∈[0,1],又 4f2(x) - 4(2 - a)f(x)+ 5- 4a≥0? 4f2(x)-8f(x)+5 a≤ 对 x∈[0,1)恒成立, 4-4f(x) 4f2(x)-8f(x)+5 设 y= 4-4f(x) =1-f(x)+ 则 a≤1. 1 ≥1, 4[1-f(x)]


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