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山东省2015届高三冲刺模拟(五)数学(理)试题 Word版含答案


2.程序框图如下图所示,当 A ? 0.96 时,输出的 k 的值为 A.20 B.22
k ? 1, S ? 0
S?S? 1 k (k ? 1)

( D.25



C.24
S?A



开始

输出k

/>结束


k ? k ?1
3.已知条件 p: x 2 ﹣2ax+ a 2 ﹣1>0,条件 q:x>2,且 q 是 p 的充分而不必要条件,则 a 的取值 范围是 A.a≥1 4.已知 x, y 都是区间 [ 0, B. a≤1 C. a≥﹣3 ( D. a≤﹣3 ( ) )

? ] 内任取的一个实数,则使得 y ? sin x 的取值的概率是 2
B.

A.

4 ?2

2 ?

C.

1 2

D.

2 ?2

5.设偶函数 f ( x) 对任意 x ? R 都有

f ( x) ? ?

1 ,且当 x ? [?3, ?2] 时, f ( x) ? 4 x ,则 f ( x ? 3)
( )

f (119.5) ?
A.10 B. ?10 C.

1 10

D. ?

1 10

-1-

6.将 5 名同学分到甲、乙、丙三个小组,若甲组至少两人,乙、丙两组每组至少一人,则不同的 分配方案共有 A.80 种 种 B.120 种 C.140 种 D.50 种 ( )

7. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,若 20aBC ? 15bCA ? 12c AB ? 0 ,则 ?ABC 的 最小角的正弦值等于 A. ( B. )

4 5

3 4

C.

3 5

D.

7 4

8.抛物线

y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,点 A, B 在抛物线上,且 ?AFB ? 120 ,弦 AB 中点 M 在其准
MN AB
的最大值为 ( )

线上的射影为 N ,则

A.

3 3

B.

2 3 3

C.

3

D.

4 3 3

? 1 1 ? 1? ?? 3 x ? 6 , x ? ?0, 2 ? ? ? ? ?? 9.已知函数 f ? x ? ? ? ,函数 g ? x ? ? a sin ? 3 ?6 ? 2 x , x ? ? 1 ,1? ? ? ?2 ? ? ? x ?1

? x ? ? 2a ? 2 ? a ? 0 ? , 若存在 ?

x1 , x2 ??0,1? ,使得 f ? x1 ? ? g ? x2 ? 成立,则实数 a 的取值范围是
A. ? ?

( D. ? , 2 ? 3



? 2 ? ,1 ? 3 ? ?

B. ? , ? 2 3

?1 4? ? ?

C. ? , ? 3 2

?4 3? ? ?

?1 ?

? ?

10. 已知双曲线

x2 y2 过双曲线中心的直线交双曲线于 A, B 两点, ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点 C , a2 b2
2 ? ln | k1 | ? ln | k 2 | 最小时,双曲线离心率为 k1 k 2
( )

记直线 AC , BC 的斜率分别为 k1 , k 2 ,当

A.

2

B.

3

C.

2 ?1

D. 2

-2-

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.设 p : 2 x ? 1 ? m (m ? 0), q : 围为 .

x ?1 ? 0 ,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 m 的取值范 2x ?1

?x ? y ? 1 y 1 ? ? 恒成立,则实数 a 的取值范围 12 .已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,若 x?2 2 ?x ? a ?
为 13 . △ ABC 中 , 点 .

M 在 线 段 AC 上 , 点 P 在 线 段 BM 上 , 且 满 足

AM MP ? ? 2 ,若 MC PB


AB ? 2, AC ? 3, ?BAC ? 90? ,则 AP ? BC 的值为

(0 ? x ? 1) ?ln x ? 14.函数 f ( x) ? ? ,若函数 g ? x ? ? f ? x ? ? kx ? k 的零点有 2 个,则 k 的 3 2x ? ( x ? 1) ? x ?
取值范围 . 15.义在 R 上的函数 f ( x) 是增函数,且对任意的 x 恒有 f ( x) ? ? f ( 2 ? x) ,若实数 a, b 满足不

? f (a 2 ? 6a ? 23) ? f (b 2 ? 8b) ? 0 等式组 ? ,则 a 2 ? b 2 的范围为 a ? 3 ?
16. (本小题满分 12 分) 已知向量 a



三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

1 ? (sin x , ? 1) , b ? ( 3 cos x , ? ) ,函数 f ( x) ? (a ? b) ? a ? 2 . 2
3 , c ? 4 ,且

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期 T ; (Ⅱ)已知 a, b, c 分别为 ?ABC 内角 A,B ,C 的对边, 其中A为锐角 , a ? 2

f ( A) ? 1,求A, b 和 ?ABC 的面积S.

-3-

17. (本小题满分 12 分) 某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周末时间进行了一次社会实践活动, 且每个小组有 5 名同学,在实践活动结束后,学校团委会对该班的所有同学都进行了测评, 该班的 A、B 两个小组所有同学所得分数(百分制)的茎叶图如图所示,其中 B 组一同学的 分数已被污损,但知道 B 组学生的平均分比 A 组学生的平均分高 1 分. (Ⅰ)若在 A,B 两组学生中各随机选 1 人,求其得分均超过 86 分的概率; B 两组学生得分超过 80 分的同学中随机挑选 3 人参加下一轮的参 (Ⅱ) 若校团委会在该班 A, 观学习活动,设 B 组中得分超过 85 分的同学被选中的个数为随机变量 ? ,求 ? 的分布列 和数学期望.

-4-

18. (本小题满分 12 分) 如 图 , 三 棱 锥 C ? A B D中 , A B ? A D? B D ?

BC ?

CD ? 2 , O 为 BD 的 中 点 ,

?AOC ? 120 , P 为 AC 上一点, Q 为 AO 上一点,且
(Ⅰ)求证: PQ ∥平面 BCD ; (Ⅱ)求证: PO ⊥平面 ABD ; (Ⅲ)求 BP 与平面 BCD 所成角的正弦值。

AP AQ ? ? 2. PC QO

-5-

19. (本小题满分 12 分) 数列 数列 ?bn ? 是首项为 a1 , 公差为 d (d ? 0) 的等差数列, ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 2n?1 ? 2 ,
y R P

且 b1 , b3 , b11 成等比数列. (Ⅰ)求数列

?an ? 与 ?bn ? 的通项公式;
bn ,求证:数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn ? 5 . an

(Ⅱ)设 cn ?

O S Q

x

-6-

20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0) . a 2 b2

(Ⅰ)若椭圆的长轴长为 4,离心率为 (Ⅱ) 在 (Ⅰ) 的条件下, 设过定点 M

3 ,求椭圆的标准方程; 2

?0,2? 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A、B , 且 ?A O B
x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )相交于 a 2 b2

为锐角(其中 O 为坐标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围; (Ⅲ)如图,过原点 O 任意作两条互相垂直的直线与椭圆

P, S , R, Q 四点,设原点 O 到四边形 PQSR 一边的距离为 d ,试求 d ? 1 时 a , b 满足的
条件

-7-

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 g(x)=

x ,f(x)=g(x)-ax. ln x

(Ⅰ)求函数 g(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 f(x)在区间(1,+∞)上是减函数,求实数 a 的最小值; (Ⅲ)若存在 x1 , x2 ∈, (e=2.71828……是自然对数的底数)使 f( x1 )≤ 数 a 的取值范围.

f ?( x2 ) +a,求实

-8-

7、C

解析:由 20aBC ? 15bCA ? 12c AB ? 0 得

?20aCB ? 15bCA ? 12c CB ? CA ? 0 ? (15b ? 12c)CA ? (20a ? 12c)CB ,
4 ? b? c ? ?15b ? 12c ? 0 ? 5 ?? 因为 CA, CB 不共线,所以 ? ,所以角 A 最小,又 cosA= ?20a ? 12c ? 0 ?a ? 3 c ? 5 ? 2 2 2 3 b ?c ?a 4 ? ,所以 sinA= ,故选 C. 5 2bc 5 8 、 A 解 析 : 设 MN ? m, AB ? n, AF ? x, BF ? y , 则 x+y=2m , 由 余 弦 定 理
2 2 2 ? x? y? 3 2 n2 ? x2 ? y 2 ? 2 xy cos120? ? ? x ? y ? ? xy ? ? x ? y ? ? ? ? ? ? x ? y ? ? 3m , ? 2 ? 4 MN m 3 ? ? 则 ,所以选 C. AB n 3 2

?

?

4 x3 ? 6 x 2 ?1 ? ? 0 ,所以此时函数单调递增,其值域为 9、B 解析:因为当 x ? ? ,1? 时, f ' ? x ? ? 2 ? x ? 1? ?2 ?

?1 ? ? 1? ? 1? ? ,1? ,当 x ? ?0, ? 时,值域为 ?0, ? ,所以函数 f(x)在其定义域上的值域为,又函数 g ?6 ? ? 2? ? 6?
-9-

? 3 ?? a ? 2 ? 0 (x)在区间上的值域为,若存在 x1 , x2 ??0,1? ,使得 f ? x1 ? ? g ? x2 ? 成立,则 ? 2 ? ??2a ? 2 ? 1 1 4 解得 ? a ? ,所以选 B . 2 3
10、B 设 A(x1,y1) ,C(x2,y2) , 由题意知点 A,B 为过原点的直线与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的交点, a 2 b2

∴由双曲线的对称性得 A,B 关于原点对称, ∴B(-x1,-y1) ,k1= ∴k1k2= ∴

y2 ? y1 y2 ? y1 ,k2= , x2 ? x1 x2 ? x1

y2 ? y1 y2 ? y1 y 2 2 ? y 21 ? = ,∵点 A,C 都在双曲线上, x2 ? x1 x2 ? x1 x 2 2 ? x 21

x12 y12 x2 2 y2 2 x12 ? x2 2 y2 2 ? y 2 2 =0, , ,两式相减,得: ? ? 1 ? ? 1 ? a 2 b2 a 2 b2 a2 b2 2 2 x12 ? x2 2 a 2 ? 2 ? 0 >0,∴ k k = +ln|k1|+ln|k2|= +ln(k1k2) ∴ 1 2 , 2 2 k1k2 k1k2 y2 ? y 2 b 2 2 1 对于函数 y= +lnx, (x>0) ,由 y′=- ? 2 + =0,得 x=0(舍)或 x=2, x x x 2 1 x>2 时,y′=- ? 2 + >0, x x 2 1 2 0<x<2 时,y′=- ? 2 + <0,∴当 x=2 时,函数 y= +lnx(x>0)取得最小值, x x x 2 2 a a2 = +ln|k1|+ln|k2|最小时,k1k2= =2,∴e= 1 ? ∴当 3 .故选:B. k1k2 b2 b2 ? m ?1 m ?1 ?x? 11 、 ?0,2? ,解析: 2x ? 1 ? m?m ? 0? ,解 ? m ? 2 x ? 1 ? m ,解得 ;由 2 2 1? x ?1 ? ? 0 ,得 ?x ?1??2 x ?1? ? 0 ,得 ? x | x ? 1或x ? ? ,由于 p 是 q 的充分不必要条件, 2? 2x ?1 ? m ?1 1 ? ? ,解得 m ? 2 ,又由于 m ? 0 ,? 0 ? m ? 2 ,故答案为 0 ? m ? 2 2 2 y 12、 ?0,1? ,解析:易知 a ? 1 ,不等式表示的平面区域如图所示,
y ? kPQ , x?2 a ?1 当 P 是 x ? a 与 x ? y ? 1 交点时, PQ 的斜率最大,为 a?2 1 ?a 当 P 是 x ? a 与 x ? y ? 1 交点时, PQ 的斜率最小,为 , a?2 1? a 1 a ?1 1 1] ?? 且 ? 得 0 ? a ? 2 ,又 a ? 1 ,所以 a ? [0, 由 a?2 2 a?2 2
0) ,平面区域内动点 P ( x,y ) ,则 设 Q (2,

1 Q 2

1 P -1

x

13



-

2 3







BC ? AC ? AB

,

MB ? AB ? AM ? AB ?

2 AC 3



AP ? AM ? MP ? AM ?

2 2 2 MB ? AB ? AC 3 9 3
- 10 -

2 2 2 2 2 2 2 ?2 ? AP ? BC ? ? AB ? AC ? ? AC ? AB ? AB ? AC ? AB ? AC ? AB ? AC 9 3 3 9 9 ?3 ? 8 2 ?? ?2?? . 3 3

?

?

14、1<k≤2, 解析:解:令 g(x)=f(x)-kx+k=0, ∴f(x)=k(x-1) ,令 h(x)=k(x-1) , 画出函数 f(x) ,g(x)的图象, 如图示:直线 y=k(x-1)经过定点(1,0) ,斜率

为 k.

1 当 0<x <1 时,? f ? ? x ? ? ? 1 当 x≥1 时, x 3 ? 3 ? ? f ? ? x ? ? 2 ? 2 ? ? ? , 2 ? ∴1<k≤2, x ? 2 ?
15、 ,解析: ∵f(x)=-f(2-x) ,∴-f(x)=f(2-x) , ∴f(a2-6a+23)+f(b2-8b)≤0 可化为 f(a2-6a+23)≤-f(b2-8b)=f(2-b2+8b) , 2 2 又∵f(x)在 R 上单调递增,∴a -6a+23≤2-b +8b, 即 a2-6a+23+b2-8b-2≤0,配方可得(a-3)2+(b-4)2≤4, ∴原不等式组可化为 ?

? f (a 2 ? 6a ? 23) ? f (b 2 ? 8b) ? 0 , ?a?3

如图,点(a,b)所对应的区域为以(3,4)为圆心,2 为半径的右 半圆(含边界) , 易知 a2+b2 表示点(a,b)到点(0,0)的距离的平方, 由图易知:|OA|2≤a2+b2≤|OB|2,可得点 A(3,2) ,B(3,6) 2 ∴|OA|2=32+22=13,|OB| =32+62=45, ∴13≤m2+n2≤45,即 m2+n2 的取值范围为. 16、解: (Ⅰ) (Ⅱ) 所以 则 从而 ,则 ,即 ,

- 11 -

18、Ⅰ)证明:

AP AQ ? ? PQ || CO PC QO 又 PQ ? 平面 BCD , CO ? 平面 BCD ? PQ ∥平面 BCD ……………3 分 ( Ⅱ ) 由 等 边 ?ABD , 等 边 ?B C D , O 为 BD 的 中 点 得 : BD ? AO, BD ? OC , AO OC ? O ? BD ? 平面 AOC 又 PO ? 平面 AOC ? BD ? PO 在 ?AOC 中, ?AOC ? 120 , AO ? OC ? 3 , ? ?OAC ? 30 , AC ? OA2 ? OC2 ? 2 ? OA? OC ? cos120 ? 3 ……………6 分
AP ? 2 ? AP ? 2 PC ……………7 分 在 ?APO 中,由余弦定理得: PO ? 1 2 2 2 ……………8 分 ? PO ? AO ? AP ? PO ? AO ……………9 分 又 AO BD ? O ? PO ⊥平面 ABD
又 (Ⅲ:建立如图的空间直角坐标系,

3 3 , ), P(0, 0,1) 2 2 3 3 ? BP ? (?1, 0,1), CB ? (1, ? , ? ), BD ? (?2, 0, 0) ……11 分 2 2 设平面 BCD 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,
则 B(1, 0, 0), D(?1, 0, 0), C (0,

? 3 3 ? y? z ?0 ?n ? CB ? 0 ? x ? ?? 则? , 2 2 n ? BD ? 0 ? ? ? ??2 x ? 0

3,1) …12 分 设 BP 与平面 BCD 所成角为 ? , | BP ? n | 2 则 sin ? ?| cos ? BP, n ?|? ? | BP | ? | n | 4 n?1 n n 19、解析: (1)当 n ? 2 ,时 an ? Sn ? Sn?1 ? 2 ? 2 ? 2 ,
又 a1

取 n ? (0, ?

? S1 ? 21?1 ? 2 ? 2 ? 21 ,也满足上式,所以数列{ an }的通项公式为 an ? 2n . b1 ? a1 ? 2 ,设公差为 d ,则由 b1 , b3 , b11 成等比数列,

? 2 ? (2 ? 10d ) , 解得 d ? 0 (舍去)或 d ? 3 , 所以数列 {bn } 的通项公式为 bn ? 3n ? 1 . b b1 b2 b3 2 5 8 ? ? ? ? n ? 1? 2? 3? (2)由(1)可得 Tn ? a1 a2 a3 an 2 2 2 3 1 (1 ? n ?1 ) 3n ? 1 3n ? 5 2 Tn ? 2 ? 2 ? n ? 5? n 1 2 2 1? 2
得 (2 ? 2d )2 20、 (1)

?

3n ? 1 , 2n

x2 ? y 2 ? 1 ……3 分 4

(2)显然直线 x=0 不满足题设条件,可设直线 l:

y ? kx ? 2, A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ).

- 12 -

? x2 ? ? y2 ? 1 由? 4 得 (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 .----------4 分 ? ? y ? kx ? 2 ? 16 k 12 x1 ? x 2 ? , x1 x 2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

? ? ? (16k ) 2 ? 4 ?12(1 ? 4k 2 ) ? 0 ,? k ? (??,?

3 3 ) ? ( ,??) ……6 分 2 2

由 0 ? ?AOB ? 90 ? OA ? OB ? 0. ∴ OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0.

OA? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4
? ?2 ? k ? 2
得 k ? (?2,?

3 3 ) ? ( ,2) 。……9 分 2 2
x y ? ? 1, a b

(3)由椭圆的对称性可知 PQSR 是菱形,原点 O 到各边的距离相等。 当 P 在 y 轴上,Q 在 x 轴上时,直线 PQ 的方程为 由 d=1 得

1 1 ? ? 1 ,-----10 分 a 2 b2 1 , k

当 P 不在 y 轴上时,设直线 PS 的斜率为 k , P( x1 , kx1 ) ,则直线 RQ 的斜率为 ?

? y ? kx ? 1 Q( x2 , ? x2 ) ? x 2 y 2 k ? 2 ? 2 ?1 b ?a 2 1 1 1 1 1 k 由,得 2 ? 2 ? 2 ……(1) ,同理 2 ? 2 ? 2 2 ……(2) -----------12 分 x a k b x1 a b 2 1 1 2 2 2 在 Rt△OPQ 中,由 d ? | PQ |? | OP | ? | OQ | ,即 | PQ | ?| OP | ? | OQ | 2 2 k2 1 x 2 2 x2 2 ? 2 ?1? k2 , 所 以 ( x1 ? x2 )2 ? (kx1 ? 2 ) 2? [ x1 ? 化简得 (kx1 ) ] ?2[ x2 ? ( ) ] , 2 x2 x1 k k 2 1 1 1 1 1 1 1 k k 2 ( 2 ? 2 2 ) ? 2 ? 2 ? 1 ? k 2 ,即 2 ? 2 ? 1 。d=1 时 a,b 满足条件 2 ? 2 ? 1 a k b a b a b a b
21、解: (1)由 ?

?x ? 0 得, x ? 0 且 x ? 1 ,则函数 g ? x ? 的定义域为 ? 0,1? ?ln x ? 0 ln x ? 1 且 g? ? x ? ? 2 ,令 g ? ? x ? ? 0 ,即 ln x ? 1 ? 0 ,解得 x ? e ? ln x ?
当 0 ? x ? e 且 x ? 1 时,

?1, ??? ,

g? ? x ? ? 0 ;当 x ? e 时 g? ? x ? ? 0 ,
x ? ax 在 ?1, ?? ? 上是减函数, ln x
ln x ? 1

? 函数 g ? x ? 的减区间是 ? 0,1? , ?1, e ? ,增区间是 ? e, ?? ? ………4 分
(2) 由题意得,函数 f ? x ? ?

? f ?? x? ?
令 h ? x? ?

ln x ? 1

? ln x ?
2

2

? a ? 0 在 ?1, ?? ? 上恒成立,即 a ?

? ln x ?

2



?1, ??? 上恒成立,

ln x ? 1

? ln x ?



x ? ?1, ?? ? ,因此 a ? h ? x ?max 即可

- 13 -

由 h ? x ? ? ?(

2 1 1 1 2 1 ? 1 1? 1 1 ? , 即 x ? e2 时等号成立, ) ? ? ?? ? ? ? ? ,当且仅当 ln x ln x ln x 2 ? ln x 2 ? 4 4

? h ? x ?ma x ?

1 1 1 ,因此 a ? ,故 a 的最小值为 ………8 分 4 4 4 2 (3)命题“若存在 x1 , x2 ? ? ? e, e ? ? ,使 f ? x1 ? ? f ?? x2 ? ? a ,”等价于
2 “当 x ? ? ? e, e ? ? 时,有

f ? x ?min ? f ? ? x ?max ? a ”,

1 1 ? a ,则 f ? ? x ?max ? a ? , 4 4 1 2 故问题等价于:“当 x ? ? ? e, e ? ? 时,有 f ? x ? min ? 4 ”, ln x ? 1 f ?? x? ? ? a ,由(2)知 ln x ? 1 ? ?0, 1 ? , 2 (ln x) 2 ? ? ln x ? ? 4? ? 1 e, e 2 ? e, e 2 ? (1) 当 a ? 时, f ? ? x ? ? 0 在 ? 上恒成立,因此 f ? x ? 在 ? ? ? ? ? 上为减函数, 4 1 1 e2 1 2 则 f ? x? ? f ? e ? ? ? ae2 ? ,故 a ? ? 2 , min 2 4e 2 4 2 2 (2)当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 在 ? ? e, e ? ? 上恒成立,因此 f ? x ? 在 ? ? e, e ? ? 上为增函数,
2 由(2)得,当 x ? ? ? e, e ? ? 时, f ? ? x ?max ?

则 f ? x ? min ? f ? e ? ? e ? ae ? e ? (3) 当 0 ? a ?

1 ,不合题意 4

2 1 1 2 1 ? 1 1? 1 时,由于 f ? ? x ? ? ?( ) ? ? a ? ?? ? ? ? ?a 4 ln x ln x ? ln x 2 ? 4

2 在? ? e, e ? ? 上为增函数,故



f ? ? x ? 的单调性和值域知,存在唯一 x0 ? ? e, e 2 ? ,使 f ? ? x0 ? ? 0 ,且满足:

1 ? ? ? ? 2 ? ? a, ? a ? . f ? ? x ? 的值域为 ? ? f ? e ? , f ? e ? ? ,即 ? 4 ? ?

? e, x0 ? 时, f ? ? x? ? 0 , f ? x ? 减函数; 2 当 x ? ? x0 , e ? 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 增函数;
当 x?

x0 1 ? ax0 ? , x0 ? ? e, e 2 ? , ln x0 4 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? 2 ? ? ? 与 0 ? a ? 矛盾,不合题意. 所以, a ? 2 ln x0 4 x0 ln e 4e 2 4 4 4 1 1 综上,得 a ? ? 2 . 2 4e
所以,

f ? x ?min ? f ? x0 ? ?

- 14 -


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