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《等比数列的前n项和》参考教案


等比数列的前 n 项和
一、教学目标 1. 知识与技能:掌握等比数列的前 n 项和公式,并用公式解决实际问题. 2. 过程与方法:由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前 n 项和公式. 3. 情态与价值:从“错位相减法”这种算法中,体会“消除差别” ,培养化简的能力. 二、教学重、难点 重点:使学生掌握等比数列的前 n 项和公式,用等比数列的前 n 项和公式解决实际问题. 难点:由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前 n 项和公式. 三、学法与教学用具 学法:由等比数列的结构特点推导出前 n 项和公式,从而利用公式解决实际问题. 教学用具:投影仪. 四、教学设想 【创设情境】 教材开头的问题可以转化成求首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 64 项的和.类似于等 差数列,我们有必要探讨等比数列的前 n 项和公式. 一般地,对于等比数列
a1,a2,a3, ?,an, ?

它的前 n 项和是
Sn ? a1 +a2 +a3 +?+an

由等比数列的通项公式,上式可以写成
Sn ? a1 +a1q+a1q2 +?+a1qn?1



①式两边同乘以公比 q 得
qSn ? a1q+a1q 2 +?+a1q n?1 ? a1q n



①,②的右边有很多相同的项,用①的两边分别减去②的两边,得

?1 ? q ? Sn ? a1 ? a1qn
当 q ? 1 时,

1/2

Sn ?

a1 ?1 ? q n ? 1? q

? q ? 1?

又 an ? a1qn?1 所以上式也可写成
Sn ? a1 ? an q n ? q ? 1? . 1? q

推导出等比数列的前 n 项和公式,本节开头的问题就可以解决了. 【拓展探究】 ①当 q=1 时,等比数列的前 n 项和公式为 Sn ? na1 . ②公式可变形为 Sn ?
a1 ?1 ? q n ? 1? q ? a1 ? q n ? 1? q ?1

(思考 q>1 和 q<1 时分别使用哪个方便) .

③如果已知 a1,an,q,n,Sn 五个量中的任意三个就可以求出其余两个. 【例题讲评】 例 1. 求下列等比数列前 8 项的和: ⑴ , , ,?; ⑵ a1 ? 27 , a9 ?
1 ,q ? 0 . 243 1 2 1 4

1 8

解析:第⑵题已知 a1 ? 27 , n ? 8 ,还缺少一个已知条件,由题意显然可以通过解方程求得 公比 q,题设中要求 q ? 0 ,一方面是为了简化计算,另一方面是想提醒学生 q 既可以为正数, 又可以为负数. 例 2. 某商场今年销售计算机 5000 台, 如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加 10% ,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到 30000 台(结果保留到个位)? 解析:先根据等比数列的前 n 项和公式列方程,再用对数的知识解方程. 五、课堂小结 ⑴等比数列的前 n 项和公式中要求 q≠1;这个公式可以变形成几个等价的式子. ⑵如果已知 a1,an,q,n,Sn 五个量中的任意三个就可以求出其余两个. 六、课后作业 七、课后反思

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