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浦东高三数学试题及答案(理科)2012.01


浦东新区 2011 学年度第一学期期末质量抽测 高三数学(理科)试卷

2012.01

注意:1.答卷前,考生务必在答题纸上将学校、班级、姓名、考号填写清楚. 2.本试卷共有 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸编号的空格内直接填写 结果,每个空格

填对得 4 分,否则一律得零分. 1.已知函数 f ( x) ? x2 ? 1( x ? 0) 的反函数为 f ?1 ( x) ,则 f ?1 (5) ? _____.

x2 y 2 ? ? 1 的焦点坐标为____________. 2.椭圆 9 5 ? ? 3.方向向量为 d ? (3 , 4) ,且过点 A(1 , 1) 的直线 l 的方程是______. n 4.若 lim(1 ? a) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是 .
n ??

2 1 2 ?1 0 2? 5. 某个线性方程组的增广矩阵是 ? 则行列式 3 2 b ?0 1 1? , ? 此方程组的解记为 (a , b) , ? ? a 1 0
的值是_ . 6.某校师生共 1200 人,其中学生 1000 人,教师 200 人。为了调查师生的健康状况,采用分 层抽样的方法抽取一个容量为 60 的样本,应抽取学生人数为 .

a 9 ) 的二项展开式中 x3 的系数为 ? 84 ,则实数 a ? ____________. x 8.已知向量 a ? (sin? , 1) , b ? (1 , cos? ) ,若 a ? b ,则 ? ? ______. 5 9 . 从 集 合 {1 , 2 , 3 , 4 ,} 中 随 机 选 取 一 个 数 a , 从 {1 , 2 , 3} 中 随 机 选 一 个 数 b , 则 a ? b 的概率为_____. 10.已知函数 f ( x) ? 1 ? loga (x ? 1) (a ? 0且 a ? 1)的图像恒过定点 P ,又 O 点 P 的坐标满足方程 m x ? ny ? 1 ,则 mn 的最大值为 . 11. 已知正三棱锥 O ? ABC 的底面边长为 1, 且侧棱与底面所成的角为 60 ? ,则此三棱锥的体积为 . C A 4 12.已知函数 f ( x) ?| x | ? ,当 x ? [?3 , ? 1] 时,记 f (x) 的最大值 B |x| 为 m ,最小值为 n ,则 m ? n ? ______. 第 11 题图 13. 函数 f ( x) ? sin n x ? cosn x (n ? N * , n ? 2 , x ? R) 的最小正周期为
7.若 ( x ? __________. 14.若 X 是一个非空集合, M 是一个以 X 的某些子集为元素的集合,且满足: ① X ?M 、? ? M ; ②对于 X 的任意子集 A 、 B ,当 A ? M 且 B ? M 时,有 A ? B ? M ; ③对于 X 的任意子集 A 、 B ,当 A ? M 且 B ? M 时,有 A ? B ? M ; 则称 M 是集合 X 的一个“ M —集合类”. 例如: M ? {? , {b} , {c} , {b , c} , {a , b , c}} 是集合 X ? {a , b , c} 的一个“ M —集合 类” 。已知集合 X ? {a , b , c} ,则所有含 {b , c} 的“ M —集合类”的个数为 . 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答 — 1 —

题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. x ? 1 ”是“ x ? x ? 0 ”的 “ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 16. l1 , l2 , l3 是空间三条不同的直线,下列命题正确是
2









A. l1 ? l2 , l2 ? l3 ? l1 // l3 C. l1 // l2 , l2 // l3 ? l1 // l3

B. l1 ? l2 , l2 ? l3 ? l1 ? l3 D. l1 // l2 // l3 ? l1 , l2 , l3 共面

17.动点 P 从点 (1 , 0) 出发,在单位圆上逆时针旋转 ? 角,到点 M (?

始边在 x 轴的正半轴,顶点为 (0 , 0) ,且终边与角 ? 的终边关于 x 轴对称,则下面结论正确 的是 ( ) 1 1 A. ? ? 2k? ? arccos , k ? Z B. ? ? 2k? ? arccos , k ? Z 3 3 1 1 C. ? ? 2k? ? ? ? arccos , k ? Z D. ? ? 2k? ? ? ? arccos , k ? Z 3 3 18.已知共有 k (k ? N * ) 项的数列 {an } , a1 ? 2 ,定义向量 cn ? (an , an?1 ) 、 dn ? (n , n ? 1)

1 2 2 , ) ,已知角 ? 的 3 3

(n ? 1, 2,3,?, k ? 1) ,若 | cn |?| dn | ,则满足条件的数列 {an } 的个数为
k ?1





A. 2 B. k C. 2 D. 2 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号规定 的区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)设复数 z 满足 z ? 10 ,且 ?1 ? 2i ? z ( i 是虚数单位)在复平面上对应 的点在直线 y ? x 上,求 z . 20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 如图所示的几何体,是将高为 2、底面半径为 1 ? O2 E 的圆柱沿过旋转轴的平面切开后,将其中一半沿切面 ? ? 向右水平平移后形成的封闭体。 O1 、O2 、O2 分别 为 AB 、BC 、DE 的中点, F 为弧 AB 的中点, G 为弧 BC 的中点. (1)求这个几何体的表面积; ? (2)求异面直线 AF 与 GO2 所成的角的大小(结果 用反三角函数值表示).
F
?

k ( k ?1) 2

D

A

O1

?

B

?

O2

C

G

?

21. (本大题满分 14 分)本大题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满 8 分.

?ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,已知 cos A ?
(1)当 B ?

? 时,求 b 的值; 3

6 4 ,a ? , 5 5

— 2 —

(2)设 B ? x ? 0 ? x ?

? ?

??

2 x ? ,求函数 f ( x) ? b ? 4 3 cos 的值域. 2 2?

22. (本大题满分 16 分)本大题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满 6 分,第 3 小题满 6 分. 设 满 足 条 件 P : an ? an ? 2 ? 2an ?1 (n ? N * ) 的 数 列 组 成 的 集 合 为 A , 而 满 足 条 件

Q : an ? an ? 2 ? 2an ?1 (n ? N * ) 的数列组成的集合为 B .
(1)判断数列 {an} : an ? 1 ? 2n 和数列 {bn } : bn ? 1 ? 2n 是否为集合 A 或 B 中的元素? (2)已知数列 an ? (n ? k )3 ,研究 {an } 是否为集合 A 或 B 中的元素;若是,求出实数 k 的取值范围;若不是,请说明理由. (3)已知 an ? 31(?1)i ? log2 n (i ? Z , n ? N * ) ,若 {an } 为集合 B 中的元素,求满足不等 式 | 2n ? an |? 60 的 n 的值组成的集合. 23. (本大题满分 18 分)本大题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满 6 分,第 3 小题满 8 分. 如图所示,在平面直角坐标系 xOy 上放置一个边长为 1 的正方形 PABC ,此正方形

PABC 沿 x 轴滚动(向左或向右均可),滚动开始时,点 P 位于原点处,设顶点 P?x, y ? 的纵坐
y
C

标与横坐标的函数关系是 y ? f ( x) y ? f ( x), x ? R ,该函数相邻两个零点之间的距离为 m . (1)写出 m 的值并求出当 0 ? x ? m 时,点 P 运动路径的长度 l ; (2) 写出函数 y ? f ( x), x ??4k ? 2, 4k ? 2? , k ? Z 的表达式; 研 究该函数的性质并填写下面表格: 函数性质 奇偶性 单调性 零点 (3)试讨论方程 f ( x) ? a x 在区间 ??8, 8? 上根的个数及相应实数 a 的取值范围. 递增区间 递减区间 结 论

P
O

B A
x

— 3 —

浦东新区 2011 学年度第一学期期末质量抽测 高三数学(理科)试卷
参考答案及评分标准

2012.01

注意:1.答卷前,考生务必在答题纸上将学校、班级、姓名、考号填写清楚. 2.本试卷共有 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸编号的空格内直接填写 结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.已知函数 f ( x) ? x2 ? 1( x ? 0) 的反函数为 f ?1 ( x) ,则 f ?1 (5) ? __2___.

x2 y 2 ? ? 1 的焦点坐标为__ (?2 , 0) , (2 , 0) __________. 9 5 ? ? 3.方向向量为 d ? (3 , 4) ,且过点 A(1 , 1) 的直线 l 的方程是 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 .
2.椭圆 4.若 lim(1 ? a) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是
n n ??

(0 , 2)

.

2 1 2 ?1 0 2? 5. 某个线性方程组的增广矩阵是 ? 则行列式 3 2 b ?0 1 1? , ? 此方程组的解记为 (a , b) , ? ? a 1 0 的值是_ ?2 .
6.某校师生共 1200 人,其中学生 1000 人,教师 200 人。为了调查师生的健康状况,采用分 层抽样的方法抽取一个容量为 60 的样本,应抽取学生人数为 50 . 7.若 ( x ?

a 9 ) 的二项展开式中 x3 的系数为 ? 84 ,则实数 a ? _ ? 1 ___________. x

8.已知向量 a ? (sin? , 1) , b ? (1 , cos? ) ,若 a ? b ,则 ? ? k? ?

?

4

, k ?Z .

5 9 . 从 集 合 {1 , 2 , 3 , 4 ,} 中 随 机 选 取 一 个 数 a , 从 {1 , 2 , 3} 中 随 机 选 一 个 数 b , 则
a ? b 的概率为__

4 ___. 5
1 8
.

10.已知函数 f ( x) ? 1 ? log a ( x ? 1) (a ? 0 且 a ? 1) 的图像恒过定点 P ,又点 P 的坐标满足方程

m x ? ny ? 1 ,则 mn 的最大值为

O

11. 已知正三棱锥 O ? ABC 的底面边长为 1, 且侧棱与底面所成的角为

60 ? ,则此三棱锥的体积为

3 12

.

A B

C

4 12.已知函数 f ( x) ?| x | ? ,当 x ? [?3 , ? 1] 时,记 f (x) 的最大值 |x| 为 m ,最小值为 n ,则 m ? n ? __ 9 ____.
13.函数 f ( x) ? sin x ? cos x (n ? N , n ? 2 , x ? R) 的最小正周期为
n n *

第 11 题图

— 4 —

n为奇数时,2?;n为偶数时, . 2 14.若 X 是一个非空集合, M 是一个以 X 的某些子集为元素的集合,且满足: ① X ?M 、? ? M ; ②对于 X 的任意子集 A 、 B ,当 A ? M 且 B ? M 时,有 A ? B ? M ; ③对于 X 的任意子集 A 、 B ,当 A ? M 且 B ? M 时,有 A ? B ? M ; 则称 M 是集合 X 的一个“ M —集合类”. 例如: M ? {? , {b} , {c} , {b , c} , {a , b , c}} 是集合 X ? {a , b , c} 的一个“ M —集合 类” 。已知集合 X ? {a , b , c} ,则所有含 {b , c} 的“ M —集合类”的个数为 12 .
二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答 题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. x ? 1 ”是“ x ? x ? 0 ”的 “ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 16.l1 , l2 , l3 是空间三条不同的直线,下列命题正确是
2

?

( A )

( C



A. l1 ? l2 , l2 ? l3 ? l1 // l3 C. l1 // l2 , l2 // l3 ? l1 // l3

B. l1 ? l2 , l2 ? l3 ? l1 ? l3 D. l1 // l2 // l3 ? l1 , l2 , l3 共面

17.动点 P 从点 (1 , 0) 出发,在单位圆上逆时针旋转 ? 角,到点 M (?

始边在 x 轴的正半轴,顶点为 (0 , 0) ,且终边与角 ? 的终边关于 x 轴对称,则下面结论正确 的是 ( D ) 1 1 A. ? ? 2k? ? arccos , k ? Z B. ? ? 2k? ? arccos , k ? Z 3 3 1 1 C. ? ? 2k? ? ? ? arccos , k ? Z D. ? ? 2k? ? ? ? arccos , k ? Z 3 3 18.已知共有 k (k ? N * ) 项的数列 {an } , a1 ? 2 ,定义向量 cn ? (an , an?1 ) 、 dn ? (n , n ? 1)

1 2 2 , ) ,已知角 ? 的 3 3

(n ? 1, 2,3,?, k ? 1) ,若 | cn |?| dn | ,则满足条件的数列 {an } 的个数为
k ?1

( C )

A. 2 B. k C. 2 D. 2 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号规定 的区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)设复数 z 满足 z ? 10 ,且 ?1 ? 2i ? z ( i 是虚数单位)在复平面上对应 的点在直线 y ? x 上,求 z . 解:设 z ? x ? yi ( x、y ? R ) ??????????????????????1 分 , ∵ | z |? 10 ,∴ x2 ? y 2 ? 10 , ????????????????????3 分 而 (1 ? 2i) z ? (1 ? 2i)( x ? yi) ? ( x ? 2 y) ? (2 x ? y)i , ????????????6 分 又∵ ?1 ? 2i ? z 在复平面上对应的点在直线 y ? x 上, ∴ x ? 2 y ? 2 x ? y , ??????????????????????????8 分

k ( k ?1) 2

— 5 —

?x ? 3 ? x ? ?3 ,∴ ? 或? ;????????????????10 分 ? y ? ?1 ? y ? 1 ? x ? ?3 y 即 z ? ?(3 ? i ) .????????????????????????????12 分 20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 如图所示的几何体,是将高为 2、底面半径为 1 ? O2 E D 的圆柱沿过旋转轴的平面切开后,将其中一半沿切面 ? ? 向右水平平移后形成的封闭体。 O1 、O2 、O2 分别
即? 为 AB 、BC 、DE 的中点, F 为弧 AB 的中点, G 为弧 BC 的中点. (1)求这个几何体的表面积; ? (2)求异面直线 AF 与 GO2 所成的角的大小(结果 用反三角函数值表示).
F
?

? x 2 ? y 2 ? 10

A

O1

?

B

?

O2

C

G

?

解: (1) S 表 ? S 侧 ? S 底 ? 2?rh ? 2 ? 2rh ? 2? ? 6? ? 8 ;

????6 分

? (2)连结 AF 、 GC 、 CO2 ,则 AF // GC , ? ? ? 在 ?O2GC 中, O2G ? O2C ?

? ? 所以 ?O2GC 或其补角为异面直线 AF 与 GO2 所成的角. ??9 分

22 ? 12 ? 5 ,

GC ? 12 ? 12 ? 2 ,??????????????????12 分 ? O?G 2 ? GC2 ? O2C 2 5? 2?5 10 ? 因为 cos?O2GC ? 2 , ? ? ? 2O2G ? GC 10 2? 5 ? 2
? 所以 ?O2GC ? arccos 10 . 10
10 .??14 分 10

? 所以,异面直线 AF 与 GO2 所成的角的大小为 arccos

21. (本大题满分 14 分)本大题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满 8 分.

?ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,已知 cos A ?
(1)当 B ?

(2)设 B ? x ? 0 ? x ?

? 时,求 b 的值; 3 ?? ?
?

6 4 ,a ? , 5 5

2 x ? ,求函数 f ( x) ? b ? 4 3 cos 的值域. 2 2?

解: (1) sin A ?

3 ,???????????????????????2 分 5 b a ? ? ? 2 ,?b ? 3 ;??????????????6 分 sin B sin A b a ? ? 2 ,得 b ? 2 sin x ,????????????7 分 (2)由 sin B sin A

— 6 —

? f ( x) ? 2sin x ? 4 3 cos 2

x 2 ? 2sin x ? 2 3 cos x ? 2 3 ????????????9 分 ? ? 4sin( x ? ) ? 2 3 , ??????????????11 分 3 ? ? ? ? 5? ? ? 0 ? x ? ,? x ? ? ? , ? , 2 3 ?3 6 ?
? ? ? ?1 ? ∴ sin ? x ? ? ? ? ,1? , ??12 分 3? ?2 ? ?

∴ f ( x) 的值域为 2 ? 2 3,4 ? 2 3 .????????????14 分 22. (本大题满分 16 分)本大题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满 6 分,第 3 小题满 6 分. 设 满 足 条 件 P : an ? an ? 2 ? 2an ?1 (n ? N * ) 的 数 列 组 成 的 集 合 为 A , 而 满 足 条 件

?

?

Q : an ? an ? 2 ? 2an ?1 (n ? N * ) 的数列组成的集合为 B .
(1)判断数列 {an} : an ? 1 ? 2n 和数列 {bn } : bn ? 1 ? 2n 是否为集合 A 或 B 中的元素? (2)已知数列 an ? (n ? k )3 ,研究 {an } 是否为集合 A 或 B 中的元素;若是,求出实数 k 的取值范围;若不是,请说明理由. (3)已知 an ? 31(?1)i ? log2 n (i ? Z , n ? N * ) ,若 {an } 为集合 B 中的元素,求满足不等 式 | 2n ? an |? 60 的 n 的值组成的集合. ∴ an ? an? 2 ? 2an?1 ∴ {an } 为集合 A 中的元素,即 {an } ? A .???????????????2 分 解: (1) an ? an?2 ? ?1? 2n? ? ?1? 2(n ? 2) ? ? ?4n ? 2 , 2an?1 ? 2 ?1 ? 2(n ?1) ? ? ?4n ? 2

bn ? bn ? 2 ? ?1 ? 2n ? ? ?1 ? 2n ? 2 ? ? 2 ? 5 ? 2n , 2bn ?1 ? 2 ?1 ? 2n ?1 ? ? 2 ? 4 ? 2 n

∴ bn ? bn?2 ? 2bn?1 ∴ {bn } 为集合 B 中的元素,即 {bn } ? B .???????????????4 分 (2) an ? an?2 ? 2an?1 ? (n ? k )3 ? (n ? 2 ? k )3 ? 2(n ? 1 ? k )3 ? 6(n ? 1 ? k ) ,
* 当 k ? 2 时, an ? an ? 2 ? 2an ?1 对 n ? N 恒成立,此时, {an } ? A ;????7 分

当 k ? 2 时,令 n ? 1 , n ? 1 ? k ? 0 , an ? an? 2 ? 2an?1 ;

设 ? k ? 为不超过 k 的最大整数,令 n ? ? k ? ? 1 , n ? 1 ? k ? 0 ,

an ? an?2 ? 2an?1 ,此时, {an } ? A , {an } ? B .??????????10 分 (3) | 2n ? an |?| 2n ? 31log2 n |? 60,令 cn ? 2n ? 31log2 n , n ?1 cn ?1 ? cn ? 2 ? 31 log 2 ? 0 ,即 n ? 21 .8 ; n 当 n ? 22 时, cn ?1 ? cn ,于是 c22 ? c23 ? c24 ? ? , 当 n ? 21 时, cn ?1 ? cn ,于是 c1 ? c2 ? c3 ? ?c21 ? c22 ;??????13 分

— 7 —

∵ | c4 |?| ?54 |? 60 , | c5 |?| ?61.9 |? 60 ,

| c62 |?| ?60.6 |? 60 , | c63 |?| ?59.3|? 60 , | c140 |? 58.99 ? 60 , | c141 |? 60.7 ? 60 , ∴有 c1 ,2 , c3 , c4 和 c63 , c64 , ? , c140 项,共 82 项.????????16 分 c
23. (本大题满分 18 分)本大题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满 6 分,第 3 小题满 8 分. 如图所示,在平面直角坐标系 xOy 上放置一个边长为 1 的正方形 PABC ,此正方形

PABC 沿 x 轴滚动(向左或向右均可),滚动开始时,点 P 位于原点处,设顶点 P?x, y ? 的纵坐
y
C

标与横坐标的函数关系是 y ? f ( x) y ? f ( x), x ? R ,该函数相邻两个零点之间的距离为 m . (1)写出 m 的值并求出当 0 ? x ? m 时,点 P 运动路径的长度 l ; (2) 写出函数 y ? f ( x), x ??4k ? 2, 4k ? 2? , k ? Z 的表达式; 研 究该函数的性质并填写下面表格: 函数性质 奇偶性 单调性 零点 (3)试讨论方程 f ( x) ? a x 在区间 ??8, 8? 上根的个数及相应实数 a 的取值范围. 解: (1) m ? 4 ,????2 分 递增区间 递减区间 结 论

P
O

B A
x

? 2? ?? l ? ?1 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? (2) f ( x) ? ? ? ? ? ? ?

;??4 分

2 ? ? x ? 4k ? 2 ? 1 ? ? x ? 4k ? 1? 1 ? ? x ? 4k ? 1?

2

4k ? 2 ? x ? 4k ? 1 4k ? 1 ? x ? 4k 4k ? x ? 4k ? 1
k ? Z ;??7 分

2

2

2 ? ? x ? 4k ? 2 ?

2

4k ? 1 ? x ? 4k ? 2

函数性质 奇偶性 递增区间 单调性 零点 (3) (i)易知直线 y ? ax 恒过原点; 递减区间

?4k , 4k ? 2? , k ? Z ?4k ? 2, 4k ? , k ? Z
x ? 4k , k ? Z
????10 分

结 论 偶函数

— 8 —

a 当直线 y ? ax 过点 ?1,1? 时, ? 1 , 此时点 ? 2, 0 ? 到直线 y ? x 的距离为 2 , 直线 y ? x
与曲线 y ?

2 ? ? x ? 2 ? , x ? ?1,3? 相切,当 x ? 3 时, y ? x 恒在曲线 y ? f ( x) 之上,
2

( ii) 当直 线 y ? ax 与 曲线 y ?

y ? ax
的距离为 2 , a ?

2 ? ? x ? 6 ? , x ? ?5, 7? 相切 时, 由点 ? 6, 0 ? 到 直 线
2

1 1 5 x 的距离为 ? 1 ,直线 ,此时点 ? 5, 0 ? 到直线 y ? 17 17 18

y?

1 2 x 与曲线 y ? 1 ? ? x ? 5? , x ? ?4,5 ? 相离; 17
2

(iii)当直线 y ? ax 与曲线 y ? 1 ? ? x ? 5? , x ? ? 4,5? 相切时,由点 ? 5,0 ? 到直线

y ? ax 的距离为 1 , a ?
直线 y ?

1 1 6 6 x 的距离为 ? 2, ,此时点 ? 6, 0 ? 到直线 y ? ? 24 25 24 12

1 2 x 与曲线 y ? 2 ? ? x ? 6 ? , x ? ?5, 7? 相交于两个点; 24 1 1 (ⅳ)当直线 y ? ax 过点 ? 5,1? 时, a ? ,此时点 ? 5,0 ? 到直线 y ? x 的距离为 5 5 1 5 2 ? 1 ,直线 y ? x 与曲线 y ? 1 ? ? x ? 5? , x ? ? 4,5? 相交于两个点; 5 26 1 1 6 ? 2 ,直线 y ? x 与曲线 点 ? 6, 0 ? 到直线 y ? x 的距离为 5 5 26
y ? 2 ? ? x ? 6 ? , x ? ?5, 7? 相交于两个点;
2

(ⅴ)当 a ? 0 时,直线 y ? 0 与曲线 y ? f ( x), x ???8, 8? 有且只有 5 个交点; 因为函数 y ? f ( x),x ?? ?8,8? 的图像关于 y 轴对称,??????14 分

(ⅵ)当 a ? 0 时,直线 y ? ax 与曲线 y ? f ( x), x ???8, 8? 有且只有 1 个交点; 故综上可知: (1)当 a ? 0 时,方程 f ( x) ? a x 只有 1 实数根;

17 时,方程 f ( x) ? a x 有 3 个实数根; 17 17 (3)当 a ? 或a ? 0 时,方程 f ( x) ? a x 有 5 个实数根; 17 1 6 17 ?a? (4)当 0 ? a ? 或 时,方程 f ( x) ? a x 有 7 个实数根; 5 12 17 1 6 (5)当 a ? 或 a ? 时,方程 f ( x) ? a x 有 9 个实数根; 5 12
(2)当 a ?

— 9 —

(6) 当

1 6 时,方程 f ( x) ? a x 有 11 个实数根.????????18 分 ?a? 5 12 y
y ?a| x|
2 1

?8 ?7

?6

?5

?4

?3 ?2

?1

O

1

2

3

4

5

6

7

8

x

— 10 —


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