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2.1演绎推理《三段论》


演绎推理

教学过程: 一、复习:合情推理

归纳推理 : 从特殊到一般 从具体问题出发――观察、分析 比较、联想――归纳。
类比推理: 从特殊到特殊

类比――提出猜想

大胆猜想,小心检验,严格论证.
怎样严格论证呢? 这就需要学习掌握演绎推理. 今天的学习目标:

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1、什么是演绎推理? 2、什么是三段论? 3、合情推理与演绎推理有哪些区别和联系? 4、能举出一些在生活和学习中有关演绎推理 的例子。

问题回答

1、演绎推理:由一般到特殊的推理。
所有金属都能导电 铜是金属
铜能导电

太阳系大行星以椭圆 冥王星是太阳 轨道绕太阳运行 系的大行星

冥王星以椭圆形 轨道绕太阳运行

奇数都不能被2整除

2007是奇数

2007不能被2整除

观察上述例子有什么特点?

大前提
所有金属都能导电

小前提
铜是金属

结论
铜能导电

太阳系大行星以椭圆 冥王星是太阳 轨道绕太阳运行 系的大行星

冥王星以椭圆形 轨道绕太阳运行

奇数都不能被2整除

2007是奇数

2007不能被2整除

进一步观察上述例子有几部分组成?各有 什么特点?

1.什么是演绎推理? 从一般性的原理出发,推出某个特殊 情况下的结论,这种推理称为演绎推理. 2.三段论是指什么? “三段论”是演绎推理的一般模式; 大前提
大前提---已知的一般原理; 小前提---所研究的特殊对象; 结论---根据一般原理,对特殊 对象做出的判断.

小前提
结论

注:演绎推理是由一般到特殊的推理,在演绎推 理中,只要前提和推理形式是正确的,结论必定是 三段论解释 正确的.

用集合的观点来理解:三段论推理的依据
若集合M的所有元素都具

有性质P,S是M的一个子集,
那么S中所有元素也都具有 性质P.

S

M

M具有性质P
如:∵所有的金属(M)都能够导电(P)大前提(M是P)

铜(S)是金属(M)
∴铜(S)能够导电(P)

小前提 (S是M) 结论 (S是P)

思考2.将本节开始的演绎推理(2)~(5)写成三段 论的形式。 (2)大前提:太阳系的大行星都是以椭圆形轨道绕太阳运行, 小前提:冥王星是太阳系的大行星, 结 论:冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行。 (3)大前提:一切奇数都不能被2整除 , 小前提:(2100+1)是奇数 , 结 论:(2100+1)不能被2整除。 (4)大前提:三角函数都是周期函数, 小前提:tanα是三角函数。 结 论:tanα是周期函数。 (5)大前提:两条直线平行,同旁内角互补, 小前提:如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角, 结 论:∠A+∠B=180? 。

例1完成下面的推理过程 一条抛物线 .” “二次函数y=x2 + x + 1的图象是 试将其恢复成完整的三段论.
解:
大前提 小前提 ∵二次函数的图象是一条抛物线, 函数y = x2 + x + 1是二次函数, ∴函数y = x2 + x + 1的图象是一 条抛物线.

M

S

P





例2 在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC,D,E是 垂足.求证AB的中点M到D,E的距离相等.
证明:(1)∵有一个内角是只直 大前提 角的三角形是直角三角形, 在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90o 小前提 ∴△ABD是直角三角形. 结论 A 同理△ABE是直角三角形
C
E D

M

B

(2)∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半, 大前提 M是Rt△ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线. 小前提
1 ∴DM= 2 AB. 1 同理 EM= 2 AB.

结论

∴DM = EM.

练1 分析下列推理是否正确,说明为什么?
大前提错误 (1)自然数是整数, 3是自然数, 3是整数. (2)整数是自然数, -3是整数, -3是自然数. (4)自然数是整数, -3是整数, -3是自然数. 推理形式错误

(3)自然数是整数, -3是自然数, -3是整数. 小前提错误

例3 证明函数 f (x)=-x2+2 x在(-∞,1)是增函数.
证明:满足对于任意x1 , x2∈D,若x1< x2,有 大前提 f(x1) < f(x2)成立的函数f(x),是区间D上的增函数.
任取x1 , x2 ? (??,1), 且x1 ? x2 ,
2 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (? x1 ? 2 x1 ) ? (? x2 ? 2 x2 )

? ( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ? 2)
x1 ? x2 , 所以x2 ? x1 ? 0; x1 , x2 ? 1, 所以x2 ? x1 ? 2 ? 0. ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,? f ( x1 ) ? f ( x2 ).

小前提

∴函数f (x)=-x2+2 x在(-∞,1)是增函数.

结论

合情推理与演绎推理的区别
合情推理
归纳推理 类比推理 演绎推理

区 别

推理 由部分到整体,个 由特殊到特殊的 由一般到特殊的 推理 形式 别到一般的推理 推理 推理 结论 结论不一定正确,有待进一 步证明

在前提和推理形 式都正确时,得到 的结论一定正确

联系

合情推理的结论需要演绎推理的验证,而演 绎推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的

思考题:
已知lg2=m,计算lg0.8 解(1) lg a
n

lg 8 ? lg 2

? n lg a

3

(a>0)

大前提 小前提 结论

lg8=3lg2 lg(a/b)=lga-lgb(a>0,b>0) lg0.8=lg(8/10) lg0.8=lg8-lg10=3lg2-1

大前提
小前提 结论

五、回顾小结:
1、 演绎推理概念; 演绎推理的一般模式——三段论. 2、 合情推理与演绎推理的区别与联系.

3、演绎推理错误的主要原因是: ①、大前提不成立;②、小前提不符合大前提的 条件;③推理形式错误
4、演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重 要思维过程.但数学结论、证明思路等的发 现,主要靠合情推理.因此,我们不仅要学会 证明,也要学会猜想.


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