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永州市2009年下期期末质量检测试卷


永州市 2009 年下期期末质量检测试卷

高二数学(理科)
考生注意: 1.全卷分第 I 卷和第 II 卷,第 I 卷为选择填空题,1~2 页;第 II 卷为解答题,3~6 页. 2.全卷满分 120 分,时量 120 分钟. 3.考生务必将第 I 卷的答案填入第 .卷卷首的答案栏内. .. ...II . .

第I卷

/>一、 选择题 (每小题 4 分, 32 分. 共 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是正确的. 请 把正确选项的代号填入第 II 卷卷首的答案栏内) 1. 已知 A ? { x | x ? 2 ? 0} , B ? { x | 1 ? x ? 0} ,则“ x ? A ”是“ x ? B ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2. 斐波那契数列 1,1,2,3,5,8,13, x ,34,……中的 x 的值是 A.19 B.21 C.26 D.31 3. 焦点在直线 x ? 1 上的抛物线的标准方程是 A. y 2 C. y
2

? 2x ? ?4 x

B. x 2 D. y
2

? 4y ? 4x

4. 下列命题正确的是 A.若 a ? b ,则 ac 2 ? bc 2 B.若 a ? b , c ? b ,则 a ? c C.若 a ? b , c ? d ,则 a ? c D.若 a
?b

? b?d

,则 a n
x
2

?b
2

n

(n ?

N?

)

5. 已知方程 A. m C. m
?1 ?1

2? m

?

y

m ?1

?1

表示双曲线,则 m 的取值范围是 B. m ? ? 2 D. ? 2 ? m ? 1

或m

? ?2

6. 如图,平行六面体 ABCD — A1 B1C 1 D 1 中, AC 与 BD 的交点为 M .设 A1 B1 =a, A1 D 1 = b, D1
A1 A

C1 B1

=c,则下列向量中与 B1 M
1 2

相等的向量是 B. ? D.
1 2

A. ? C. ?

a? a?

1 2 1 2

b+c b+c

a+ a+

1 2 1 2

A1 b+c D b+c M A B

1 2

1 2

C

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7. 在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,如果 a cos A ? b cos B ,则△ ABC 的 形状为 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形 8. 迄今为止,人类已借助“网络计算”技术找到了 630 万位的最大质数. 小王发现由 8 个质 数组成的数列 41,43,47,53,61,71,83,97 的每一项与其前一项的差有一定规律, 依此他求出了一个通项公式,并根据这个通项公式得出数列的后几项,发现它们也是质 数. 小王欣喜若狂,但继续写出一些数发现它也有不是质数的数. 他写出不是质数的一 个数是 A.1657 B.1679 C.1681 D.1697 二、填空题(每小题 4 分,28 分,请将答案填在答卷上) 9. 已知等腰三角形三个顶点的坐标分别为 A ( 0 , 0 ) , B ( ? 2 , 0 ) ,C ( 0 , 2 ) ,M 为 BC 的中点. 则 △ABC 的中线 AM 所在的直线方程是 . 10.已知数列 { a n } 满足: a 1 ? 1 ,a n ? ? 2 a n ? 1 (n≥2,n∈N) ,则其前 6 项的和 S 6 = 11.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 tan △ABC 的面积为 12.若 ? x
? ? 1 , a ( x ? 1) ? x
2

. .则

A ?

4 3

, AB

? AC ? 3


? 2x ? 3

,则实数 a 的最大整数值是
? 1 2 AB

.

13.在等腰梯形 ABCD 中,∠A=60° DC , 则其离心率 e ? 14.下列命题中: ①m
? 0

,若椭圆以 A、B 为焦点且经过 C、D 两点,

.
x?m ? 0

是方程 x 2 ?

有实数根的充分不必要条件; ”是真命题;
? ?1 ;

②命题“ ? x 0 ? R , x 0 2 ③抛物线 y
? 4x
2

? 2 x0 ? 2 ? 0

的准线方程是 y

④空间四边形 OABC 中,若 OA ⊥ BC , OB ⊥ AC ,则 OC ⊥ AB . 其中正确的命题的序号是 (填上你认为正确命题的所有序号).
x ? 0

15.若 x,y 满足约束条件

y ? 0 y? x ? 4

, P 为上述不等式组表示的平面区域,则 ; 时,动直线 y ? x ? b 扫过 P 中的那部分区域的面

(1) 目标函数 z ? y ? x 的最小值为 (2) 当 b 从 ? 4 连续变化到 积为 7.

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永州市 2009 年下期期末质量检测试卷

高二数学答卷(理科)
题号 得分 一、选择题答题栏 题号 答案 二、填空题答题栏 9. 13. 10. 14. 11. 15. 12. 1 2 3 4 5 6 7 8 一 二 16 17 18 三 19 20 21 总分 合分人

三、解答题(6小题,共60分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 8 分) 在△ABC 中, A, C 所对的边分别为 a, c, a 角 B, b, 若 B=45° .求: (1)角 A 的大小;
? 2

,b

? 2



(2)边 c 的长度.

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17. (本小题满分 8 分)双曲线的两条渐近线的方程为 y

? ?

2x

,且经过点 ( 3 , ? 2

3)

.

(1)求双曲线的方程; (2)过 F 且倾斜角为 60° 的直线交双曲线于 A、B 两点,求|AB|.

18.某公司以分期付款方式为员工购买了 40 套住房,共需 1150 万元,购买当天先首付 150 万元,以后每月这一天都交付 50 万元,并加付剩余欠款的利息,月利率为 1%. 若将交 付 150 万元的当月作为分期付款的第一个月,问: (1) 分期付款的第十个月该公司应交付多少钱? (2) 当全部购房款付清后, 该公司购买这 40 套住房实际花了多少钱?

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19. (本小题满分 10 分)已知数列 { a n } 满足: a1 (1)求证:数列 { a n (2)设 b n
? 2}
*

?1

, a n ?1

? 3a n ? 4(n ? N )

*

是等比数列;

? na n ( n ? N )

,求数列 { b n } 的前 n 项的和 T n .

20. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,PA⊥底面 ABCD, AD ∥ BC ,∠ BAD =90° PA ? AD ? AB ? 2 BC , M 是 , PC 的中点. (1)求证: PB ⊥ DM ; (2)求平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角的余弦值; (3)试探究线段 PB 上是否存在一点 Q ,使得 AQ ∥面 PCD ? .. 若存在,确定点 Q 的位置;若不存在,请说明理由. B

P

M A C D

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21.(本小题满分 12 分)有对称中心的曲线叫有心曲线,如圆、椭圆、双曲线都是有心曲线, .... 过有心曲线的中心的弦叫有心曲线的直径,有心曲线有许多类似的优美性质。 .. (1)定理:过圆 x 2
? y
2

? r (r ? 0)

2

上异于直径两端点的任意一点与直径两端点的连线
x a
2 2

斜率之积为定值 ? 1 .试写出该定理在椭圆 (2)定理:圆 x 2
? y
2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

中的类似结论;

? r (r ? 0)

2

的两条互相垂直的直径称为共轭直径,且这两条共轭
b a
2 2

直径与圆相交得到的四边形的面积为定值 2 r 2 .在椭圆中两条斜率之积为 ? 直径称为共轭直径,试探究椭圆
x a
2 2



?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

中两条共轭直径与椭圆相交

得到的四边形的面积的类似结论,并加以证明.

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第 6 页 (共 6 页)

永州市 2008 年下期期末质量检测试卷

高二数学参考答案及评分标准(理科)
一、选择题(每小题 4 分,共 32 分) 1.A 2.B 3.D 4.B 5.D 二、填空题(每小题 4 分,共 28 分) 9.x+ y ? 0 13.
3 ?1

6.B

7.C

8.C

10. ? 21 14.①④

11.2

12.2

15.-4,2(每一空 2 分)

三、解答题 16.(1)由正弦定理
a sin A ? b sin B

得: sin

A ?

a sin B b

?

1 2



………………………… 2 分
? b)

又∵A 为三角形的内角,∴A=30° 150° 或 (舍去∵ a (2)由(1)得 C=180-(A+B)=105° , 由正弦定理
a sin A ? c sin C

………………………4 分

…………………………………………… 5 分 ………………………………………… 8 分 =4 ? 2
3

,得 c
2

?

3 ?1.

(或由余弦定理得 c 2

? a

? b ? 2 ab cos C

2

,c
2x

?

3 ?1)

17.解: (1)∵双曲线的两条渐近线方程的方程为 y ∴可设双曲线的方程为 2 x 2 又∵双曲线经过点 ( 3 , ? 2 ∴所求双曲线的方程为
x
3)
2

? ?



? y

2

? ? (? ? 0 )

………………………………………1 分
? 6

,代入方程可得 ?
y
2



……………………………2 分 …………… 3 分

?

?1

. (分情况讨论可酌情得分)

3

6

(2)设 A ( x1 , y1 ) 、 B ( x 2 , y 2 ) , 过 F 且倾斜角为 60° 的直线方程为 y 联立
y ? 2x
2

?

3 ( x ? 3) ,

…………………………… 4 分

3 ( x ? 3) ? y
2

? 6

,



x ? 18 x ? 33 ? 0 ,由韦达定理得 x1 ? x 2 ? 18
2

, x1 x 2

? 33

,

…………… 6 分 ………………8 分

则弦长 |

AB | = 16

3

.(由弦长公式或由交点坐标均可得分)

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第 1 页 (共 4 页)

18.解:(1) 依题意,欠款 1000 万元应分 20 次付清, 每次交付的款项顺次构成数列 { a n } , a 1 =50+1000×0.01=60(万元), a 2 =50+(1000-50)×0.01=59.5(万元), a 3 =50+(1000-2×50)×0.01=59(万元), …
a n ? 50 ? [1000 ? 50 ( n ? 1)] ? 0 . 01

=60 ? ( n ? 1) ?

1 2

(1 ?

n ? 10

)

∴数列 { a n } 是以 60 为首项, ∴ a 10
? 60 ? 9 ? 1 2

?

1 2

为公差的等差数列. ……………………… 5 分 ………………………………… 6 分

=55.5(万元).

(2) 数列 { a n } 的前 20 项的和为
S 20 ? 20 a 1 ?

20 ? 19 2

?d

=1105(万元)

………………………………… 8 分

所以实际共付款 1105+150=1255(万元) ………………………………… 9 分 答:略 ………………………………… 10 分 19.解: (1)∵ a n ? 1
? 3a n ? 4(n ? N )
* *

∴ a n ?1 ? 2 ? 3a n 即 a n ?1 ? 2 ? 3( a n 又∵ a1 ∴
?1

? 6(n ? N )

? 2 )( n ? N )
?3? 0

*

, ,∴ a n

………………………………………………2 分
?2? 0

,∴ a1 ? 2
? 3(n ? N )
*

…………………………………3 分

a n ?1 ? 2 an ? 2

…………………………………………………………4 分

∴数列{an+2}是以 3 为首项,3 为公比的等比数列 ………………………5 分 (2)由(1)得 an+2=3×3n-1=3n ∴an=3n-2 bn=n·an=n·3n-2n …………………………………………………………6 分 ∴Tn=(1×31-2×1)+(2×32-2×2)+…+(n·3n-2n) =1×31+2×32+…+n·3n-2(1+2+…+n) =1×31+2×32+…+n·3n-2×
1 2 n 2

n ( n ? 1) 2

=1×3 +2×3 +…+n·3 -n -n ……………………………………7 分 记 Sn=1×31+2×32+…+n·3n + 则 3Sn=1×32+…+(n-1)·3n+n·3n 1 + ∴Sn-3Sn=(31+32+…+3n)-n·3n 1 =
3 ? (1 ? 3 ) 1? 3
n

-n·3n

+1

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第 2 页 (共 4 页)

= ∴Sn= ∴Tn=

? ( 2 n ? 1) ? 3 2
n ?1

n ?1

?3

( 2 n ? 1) ? 3 4 ( 2 n ? 1) ? 3 4

?3

…………………………………………………… 9 分 -n2-n. ………………………………………………10 分 P

n ?1

?3

20. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,PA⊥底面 ABCD, AD ∥ BC ,∠ BAD =90° PA ? AD ? AB ? 2 BC , M 是 , PC 的中点. (1)求证: PB ⊥ DM ; (2)求平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角的余弦值; (3)试探究线段 PB 上是否存在一点 Q ,使得 AQ ∥面 PCD ? .. 若存在,确定点 Q 的位置;若不存在,请说明理由. B

M A C D

20.解: (1)不妨令 BC=1,以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系. 则 A(0,0,0) ,B(2,0,0) ,C(2,1,0) ,D(0,2,0) ,P(0,0,2) 所以 M(1, 因为 PB
1 2 3 2

,1) DM ,

? (1, ?

3 2

, 1)

, PB

? (2, 0, ? 2)

. ……………………………4 分 z P

? DM ? 1 ? 2 ?

? 0 ? 1( ? 2 ) ? 0

,

所以 PB

? DM

.

(2)设平面 PCD 的法向量为 n 1 =(x,y,z), 由
n 1 ? PC ? 0 n 1 ? PD ? 0

?

2x ? y ? 2z ? 0 2y ? 2z ? 0

令 z ?1

?

x ?

1 2 ? n1 ? (

1 2

, 1, 1 )

.

y ?1

M A

……………6 分 y

而平面 PAB 的法向量为 n 2 ∴cos< n 1 , n 2 >=
n1 ? n 2

? BC ? ( 0 , 1, 0 )

, B

D C

| n1 | ? | n 2 |

?

1 1? 1 2

?

2 3

.

x

∴所求二面角的余弦值为

2 3

. …………………………………………………………8 分
? ? PB ( 0 ? ? ? 1)

(3)假设线段 PB 上存在一点 Q,有 PQ
AQ ? AP ? ? PB ? ( 2 ? , 0 , ? 2 ? ? 2 )

,

.

……………………………………………………10 分 ,
第 3 页 (共 4 页)

若 AQ 平行平面 PCD,则 AQ

? n1 ? 0

永州市 2009 年下期期末质量检测试卷·高二数学(理科)参考答案

即 2? ? 所以 ?

1 2

? 1 ? (?2? ? 2) ? 0

.

? 2

,这与

0 ? ? ? 1 矛盾.

故不存在这样的点 Q,使得 AQ∥平面 PCD. 21. (1)依题意类似结论为:过椭圆
x a
2 2

……………………………………12 分 上异于直径两端点的任意一点与

?

y b

2 2

? 1 (a ? b ? 0) b a
2 2

直径两端点的连线斜率之积为定值 ? (2)依题意椭圆中有类似定理: 椭圆
x a
2 2



………………………………6 分 y D C x O

?

y b

2 2

? 1 (a ? b ? 0) b a
2 2

的两条直径的

斜率之积为 ?

时,称为共轭直径.特

别地,当一条直径的斜率不存在,另一条 A B 直径的斜率为零时也称为共轭直径. 两条 共轭直径与椭圆相交得到的四边形的面 积为定值 2ab. ………………………………………………………………8 分 证明:①当两条共轭直径为椭圆的长短轴时,对应的四边形面积为 2ab.……… 9 分 ②一般地,可设直径 AC 的斜率为 k,则共轭直径 BD 的斜率为 ? 设 A(x1,y1) ,C(x2,y2) ,
y ? kx
b
2

a k

2

(k≠0) ,



x a

2 2

?

y b

2 2

?1

? x

2

?

a b
2

2

2 2

b ?a k

2

? x1? x 2 ? 0



x1x 2 ? ?

a b b
2

2

2 2 2

? a k

? | AC | ?

1? k

2

?

? 4 x1x 2 ?

2 ab b
2

1? k ? a k
2
2

2


2

同理可得

xD ?

2

a k b
2

4

2 2 2

? a k

? D( b
2

a k ? a k
2 2

2

,? b
2

b

)
2 2



? a k

D 到直线 AC 的距离为 d

?

b

2

? a k k
2

2

2



?1

∴S 四边形 ABCD=|AC|·d=

2 ab b
2

1? k ? a k
2

2

?
2

b

2

? a k
2

2

2

? 2 ab

为定值. ………12 分

1? k

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