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2016届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:8.1 椭圆


第八章

圆锥曲线方程

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考纲解读

1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,了
解椭圆的参数方程. 2.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几 何性质. 3.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几 何性质. 4.了解圆锥曲线的初步应用.

§8.1 椭 圆

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理

定义

方程

1.到两个定点 F1、 F2 的距离之和等于定长(>|F1F2|) 的点的轨迹 2.到定点 F 与到定直线 l 的距离之比等于常数 e(e ? (0,1))的点的轨迹 x 2 y2 1. 2+ 2= 1(a>b>0), c= a2-b2, 焦点是 F1(- c,0), a b F2(c,0) y2 x 2 2. 2+ 2= 1(a>b>0),c= a2-b2,焦点是 F1(0,- a b c), F2(0, c) ? ?x=acos θ, 3.参数方程? (θ 为参数 ) ? y = b sin θ . ?

x 2 y2 + = 1(a>b>0) a2 b2 图形 y2 x 2 + =1 a2 b2 ?a>b>0? 性 质 顶点 轴 焦点 焦距 离心率 准线方 程 A1(- a,0), A2(a,0) A1(0,- a), A2(0, a) B1(0,- b), B2(0, b) B1(- b,0), B2(b,0) 2a , 对称轴: x 轴, y 轴. 长轴长 |A1A2|= ____ 短轴长 |B1B2| 2b = _____. F1(- c,0), F2(c,0) F1(0,- c), F2(0, c) a2- b2 |F1F2|= 2c(c>0), c2= ________ c a e= ____ (0< e<1) a2 a2 a2 a2 y=- ; l :_______ y= x= x______ =- ;l : l1: l1: _______ c 2 c c c 2 _______

思考探究 1.在第一定义中,若没有“2a>|F1F2|”的条件,那么点的轨迹还是椭圆吗? 提示:不是.若2a=|F1F2|,动点轨迹是线段F1F2;若2a<|F1F2|,动点轨迹不存在.

2.在第二定义中,定点与定直线有什么限制条件?
提示:第二定义中定点不能在定直线上,且定点与定直线是椭圆相应的焦点与准线.在运用 第二定义解题时,一定要注意左焦点对应左准线,右焦点对应右准线.

课前热身

1. (教材改编)椭圆 25x2+ 16y2=400 的焦点坐标和准线 方程为( ) 25 B.(0, ± 3),y= ± 3 25 D. (0, ± 3),x= ± 3

25 A. (± 3,0), x=± 3 25 C. (± 3,0), y=± 3

答案:B

2.已知F1、F2为两定点,|F1F2|=4,动点M满足|MF1|+|MF2|=4,则动点M的轨迹是(
A.椭圆 C.圆 B.直线 D.线段

)

答案:D

3.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心 率等于 ( 1 A. 3 1 C. 2 ) 3 B. 3 3 D. 2

答案:D

4.经过点P(-3,0),Q(0,-2)的椭圆标准方程为________.

x 2 y2 答案: + =1 9 4
x 2 y2 5.椭圆 + =1 的焦点为 F1、F2,点 P 在椭圆上,若 |PF1| 9 2 = 4,则 |PF2|= ________.

答案:2

考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 椭圆的定义及应用

当 遇 到与 焦点 距离 有关 的问 题 时, 首先 应考 虑用 定义 解 题.若椭圆上的点到焦点的距离直接处理较困难,且问题中 有一个与离心率相关的系数时, 应用第二定义转化成点到相 应的准线的距离; 否则应用第一定义转化成到另一焦点的距 离来解决.

例1

x 2 y2 设 F1、F2 为椭圆 + =1 的两个焦点,P 为其上一点, 9 4

已知 P、F1、F2 是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|, |PF1| 求 的值. |PF2|
【思路分析】 由|PF1|>|PF2|,有∠F1F2P=90°或∠F1PF2=90°两种情况.

结合|PF1|+|PF2|=6和直角三角形求解.

【解】

若∠PF2F1 为直角,由已知 |PF1|+ |PF2|=6, 14 4 |PF1|2= (6- |PF1|)2+ 20,得 |PF1|= , |PF2|= , 3 3 |PF1| 7 故 = ; |PF2| 2 若∠ F1PF2 为直角, |PF1|+ |PF2|=6, |PF1|2+ |PF2|2= 20, |PF1| 解得 |PF1|=4, |PF2|=2,故 = 2. |PF2| |PF1| 7 综上 的值为 或 2. 2 |PF2|
【名师点评】 解三角形. 当出现焦点三角形时,常结合椭圆定义

考点2

求椭圆的标准方程

(1)主要是利用椭圆的定义及简单性质、准线、长短轴、离心率、焦距等关系,直接求出a与b. (2)运用待定系数法求椭圆标准方程,即设法建立关于a、b的方程组,先定型,再定量,若位

置不确定时,考虑是否两解,有时为了解题的需要,椭圆方程可设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,
m≠n),由题目所给条件求出m、n即可.

例2 求满足下列各条件的椭圆标准方程.
(1)已知椭圆的对称轴是坐标轴, O 为坐标原点, F 是一个焦点, 2 A 是一个顶点,若椭圆的长轴长是 6,且 cos∠ OFA= ; 3 6 (2)椭圆过 (3,0),离心率 e= . 3
【思路分析】 根据题意,先判断椭圆的焦点位置,后设椭圆的标准方程,求出椭圆中的a、
b即可.若判断不出焦点在哪个坐标轴上,可采用标准方程的统一形式.

【解】

2 (1)∵椭圆的长轴长是 6, cos∠ OFA= , 3

∴ A 不是长轴的端点(是短轴的端点). c 2 ∴ |OF|= c, |AF|=a=3,∴ = . 3 3 ∴ c= 2, b2= 32-22=5. x 2 y2 x 2 y2 ∴椭圆的方程是 + = 1 或 + = 1. 9 5 5 9

(2)当椭圆的焦点在 x 轴上时, c 6 ∵ a= 3, = ,∴ c= 6,从而 b2=a2- c2= 9- 6= 3, a 3 x 2 y2 ∴椭圆的方程为 + = 1; 9 3 c 6 当椭圆的焦点在 y 轴上时,∵b=3, = , a 3 2 2 a2-b2 6 x y ∴ = ,∴ a2=27.∴椭圆的方程为 + = 1. 3 9 27 a x 2 y2 x 2 y2 ∴所求椭圆方程为 + = 1 或 + = 1. 9 3 9 27

【思维总结】

本题中的两个小题,都有两种结论,但两题还有区别:(1)中直接将a与b颠倒即

可,而(2)中需分别计算.

跟踪训练

求满足下列各条件的椭圆的标准方程. (1)长轴是短轴的 3 倍,且经过点 A(3,0); (2)短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形, 且焦点到同侧 顶点的距离为 3.

解:(1)若椭圆的焦点在 x 轴上, x 2 y2 设方程为 2+ 2= 1(a>b>0). a b 9 ∵椭圆过点 A(3,0),∴ 2=1,∴ a=3. a

x2 2 又∵2a= 3×2b,∴b= 1.∴椭圆方程为 + y = 1. 9 y2 x 2 若椭圆的焦点在 y 轴上,设椭圆方程为 2+ 2= 1(a>b>0). a b 02 9 ∵椭圆过点 A(3,0),∴ 2+ 2= 1, a b y2 x 2 ∴ b= 3,又 2a= 3×2b,∴a= 9.∴椭圆方程为 + = 1. 81 9 x2 2 y2 x 2 综上所述,椭圆方程为 + y = 1 或 + = 1. 9 81 9

?a=2c, (2)由已知? ?a-c= 3, ? a =2 3 , ∴? 从而 b2=9, ?c= 3.
x 2 y2 x 2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为 + = 1 或 + = 1. 12 9 9 12

考点3

椭圆的性质及其应用

主要问题有两类,一类根据椭圆方程研究椭圆的几何性质,另一类根据椭圆几何性质,综合 其他知识求椭圆方程或者研究其他问题,这一类利用性质是关键.

x 2 y2 例3 如图,设椭圆 C: 2+ 2= 1(a>b>0)的左焦点为 F,上 a b 顶点为 A,过点 A 作与 AF 垂直的直线分别交椭圆 C 与 x 轴正 → 8→ 半轴于点 P、 Q,且AP= PQ. 5

(1)求椭圆 C 的离心率; (2)若过 A、Q、F 三点的圆恰好与直线 l:x+ 3y+ 3=0 相切, 求椭圆 C 的方程.

【思路分析】 (1) 设出P点坐 用 a、 b、 c表 → → → 8→ 标, Q点坐标 → FA ⊥AQ及AP= 5PQ → 示 P点坐标 ↓ 求得离心率 e ← 代入椭圆方程得 a、b、 c的关系 (2) 1 由∠ FAQ= 90°→ 外接圆圆心为? a,0?,半径 r=a 2 ↓ 利用点到直线的 得椭圆 C的方程 ← 距离公式求出a、b

【解】 (1)设 Q(x0,0),由 F(- c,0)、 A(0, b)知 → → FA= (c, b),AQ = (x0,-b). 2 b → → ∵FA⊥ AQ ,∴ cx0-b2= 0,得 x0= . c 8b2 5b → 8→ 设 P(x1, y1),由AP= PQ,得 x1= , y1= , 5 13 13c 8b2 5b 即 P( , ) . 13c 13 8b2 2 5b 2 ? ? ? ? 13c 13 ∵点 P 在椭圆 C 上,∴ 2 + 2 = 1. a b c 1 整理得 2b = 3ac,即 2(a - c )=3ac,解得 e= = . a 2
2 2 2

2 b 3 2 (2)由 (1)知 2b = 3ac,即 = a. c 2 1 1 3 又 c= a,于是 F(- a,0)、 Q( a,0), 2 2 2

1 又∠ FAQ= 90° ,∴△ FAQ 的外接圆圆心为 ( a,0), 2 1 半径 r= |FQ |= a. 2 ∵直线 x+ 3y+ 3= 0 与△ FAQ 的外接圆相切, 1 | a+3| 2 ∴ = a,得 a=2,从而 c=1,b= 3, 2 x 2 y2 故椭圆 C 的方程为 + = 1. 4 3

【思维总结】

椭圆的几何性质主要是围绕椭圆中的

“六点”(两个焦点、四个顶点),“四线”(两条对称轴、两条准线),“两形”(中心、焦点

以及短轴端点构成的三角形、椭圆上一点和两焦点构成的三角形)“两围”(x的范围,y的范围
),一率(离心率).

方法感悟
方法技巧

1.求椭圆的标准方程主要有定义法、待定系数法,当椭圆的焦 x 2 y2 点位 置不明确 而无法确 定其标准方 程时,可 设为 + = m n 1(m>0,n>0,m≠ n),可避免讨论和繁杂的计算,也可设为 Ax2 + By2=1(A>0, B>0, A≠ B),这种形式在解题中较为方便. 2.用定义法求轨迹方程,首先要充分挖掘图形的几何性质,找 出动点满足的几何条件,看其是否符合椭圆的定义,然后用待 定系数法求解.

3.求椭圆离心率 e 时,只要求出 a,b,c 的一个齐次方程,再 结合 b2= a2- c2 就可求得 e(0<e<1). 4.椭圆上任意一点 M 到焦点 F 的所有距离中,长轴端点到焦 点的距离分别为最大距离和最小距离,且最大距离为 a+ c,最 小距离为 a- c. 5.过焦点弦的所有弦长中,垂直于长轴的弦是最短的弦,而且 2b2 它的长为 .把这个弦叫椭圆的通径. a

失误防范

1.求椭圆方程时,在需建立坐标系时,应该尽可能以椭圆的 对称轴为坐标轴,以便求得的方程为最简方程——椭圆的 标准方程. x 2 y2 2.注意椭圆的范围,在设椭圆 2+ 2= 1(a>b>0)上点的坐标为 a b P(x, y)时,则 |x|≤a,这往往在求与点 P 有关的最值问题中特 别有用,也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.

考向瞭望把脉高考
命题预测 椭圆是高考必考内容之一,一般有两种考查方式:一是考查椭圆的定义、标准方程、焦点、

离心率及其几何性质等自身的知识,题型以选择题或填空题为主;二是以椭圆为载体的解答
题,多与代数、三角函数、数列、向量等知识相联系,常常作为压轴题,难度较大. 在2012年的高考中,课标全国卷等以参数方程形式对椭圆的定义、性质进行考查.上海卷等 均以椭圆为载体考查求圆锥曲线的方法及有关的定值、定点、最值等探索性存在问题.突出 数学思想方法及能力考查.

预测2014年高考,全国各省市高考试题关于对圆锥曲线综合问题的考查,仍以椭圆为载体为 主.单独考查椭圆的定义、标准方程以及几何性质仍将是考查的重点,以选择题、填空题的 形式出现.解答题则是以椭圆与其它曲线的综合问题为主,重点是考查性质的应用及推理运 算能力.

规范解答
2 2 x y 例 ( 本 题 满 分 13 分 )(2011· 高考天津卷)设椭圆 2+ 2= a b

1(a>b>0)的左, 右焦点分别为 F1, F2.点 P(a, b)满足 |PF2|= |F1F2|. (1)求椭圆的离心率 e. (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A, B 两点.若直线 PF2 与圆 (x+ 5 1) + (y- 3) = 16 相交于 M, N 两点,且 |MN|= |AB|,求椭 8
2 2

圆的方程.

【解】 (1)设 F1(- c,0), F2(c,0), (c>0), 因为 |PF2|= |F1F2|, 所以 ?a- c?2+ b2=2c.(2 分) c ?2 c c c 1 ? 整理得 2 ?a? +a- 1=0,得a=-1(舍),或a= 2. 1 所以 e= .(5 分 ) 2 (2)由 (1)知 a= 2c, b= 3c,可得椭圆方程为 3x2+ 4y2=12c2, 直线 PF2 的方程为 y= 3(x- c). (6 分) A, B 两点的坐标满足方程组? ?y= 3?x-c? . 8 得 5x -8cx= 0.解得 x1= 0, x2= c. 5
2 2 2 2 3 x + 4 y = 12 c , ?

消去 y 并整理,

?x1=0, 得方程组的解? ?y1=- 3c,

? ? 3 3 ? y = 5 c.
2

8 x 2 = c, 5

(8 分)

8 3 3 ? 不妨设 A? c, c , B(0,- 3c), ?5 5 ? 8 ?2 ?3 3 ?2=16c. ? (10 分) ? c + 所以 |AB|= ?5 ? ? 5 c+ 3c ? 5 5 于是 |MN|= |AB|= 2c. 8

圆心(-1, 3)到直线 PF2 的距离 |- 3- 3- 3c| 3|2+ c| d= = .(11 分 ) 2 2 |MN| ?2 2 ? 因为 d +? 2 ? = 42, 3 所以 (2+ c)2+ c2=16. 4 26 2 整理得 7c +12c- 52= 0.得 c=- (舍 ),或 c= 2. 7 x 2 y2 所以椭圆方程为 + = 1.(13 分 ) 16 12

【名师点评】

本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、

点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识,并考查用代数方法研究圆锥曲线的 性质、数形结合思想及解决问题的能力与运算能力.第(1)问由已知条件转化为关于e的二次方

程求解.第(2)问关键求c.

知能演练轻松闯关

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