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课时作业75离散型随机变量的均值与方差、正态分布


课时作业 75 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

一、选择题 1.若随机变量 ξ 的分布列如下表,则 E(ξ)的值为( ξ P 1 A.18 20 C. 9 0 2x 1 3x 2 7x 3 2x 1 B.9 9 D.20 4 3x 5 x )

1 解析:根据概率和为 1 求出 x=18,E(ξ)=0×2x+1×3x+2×7x 20 +3×2x+4×3x+5×x=40x= 9 . 答案:C 2. 若 X~B(n, p), 且 E(X)=6, D(X)=3, 则 P(X=1)的值为( A.3×2-2 C.3×2-10 B.2-4 D.2-8 )

1 解析:∵E(X)=np=6,D(X)=np(1-p)=3,∴p=2,n=12,则 1 ?1?11 -10 P(X=1)=C1 . 12× ×?2? =3×2 2
? ?

答案:C 3.已知随机变量 X+Y=8,若 X~B(10,0.6),则 E(Y),D(Y)分别 是( )

A.6 和 2.4 C.2 和 5.6

B.2 和 2.4 D.6 和 5.6

解析: 由已知随机变量 X+Y=8, 所以有 Y=8-X.因此, 求得 E(Y) =8-E(X)=8-10×0.6=2,D(Y)=(-1)2D(X)=10×0.6×0.4=2.4. 答案:B 4. 已知随机变量 X 服从正态分布 N(μ, σ 2 ), 且 P(μ-2σ<X≤μ+2σ) =0.954 4,P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6,若 μ=4,σ=1,则 P(5<X<6) =( ) A.0.135 8 C.0.271 6 B.0.135 9 D.0.271 8

1 解 析 : 由 题 意 知 , P(5<X<6) = 2 [P(2<X≤6) - P(3<X≤5)] = 0.954 4-0.682 6 =0.135 9.故选 B. 2 答案:B 5.

如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125 个同样大小 的小正方体.经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面 数为 X,则 X 的均值 E(X)=( )

126 A.125 168 C.125

6 B.5 7 D.5

9×6 54 3×12 33 27 解析: P(X=0)=125=125, P(X=1)= 125 =125, P(X=2)= 125 36 8 54 36 8 150 6 =125,P(X=3)=125,E(X)=125×1+125×2+125×3=125=5.故 选 B. 答案:B 6.某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1 000 粒,对于 没有发芽的种子,每粒需再补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的 数学期望为( A.100 C.300 ) B.200 D.400

解析:记“不发芽的种子数为 ξ”,则 ξ~B(1 000,0.1), 所以 E(ξ)=1 000×0.1=100,而 X=2ξ, 故 E(X)=E(2ξ)=2E(ξ)=200. 答案:B 二、填空题 7.已知随机变量 X~N(2,σ2),若 P(X<a)=0.32,则 P(a≤X<4 -a)=________.

解析: 由正态分布图象的对称性可得: P(a≤X<4-a)=1-2P(X<a)

=0.36. 答案:0.36 8.某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以 a1 为首项,公比为 2 的等比数列,相应奖金是以 700 元为首项,公差 为-140 元的等差数列, 则参与该游戏获得奖金的期望为________元. 1 1 2 4 解析:∵a1+2a1+4a1=1,∴a1=7,E(ξ)=7×700+7×560+7 ×420=500(元). 答案:500 9.某高校进行自主招生面试时的程序如下:共设 3 道题,每道题 答对给 10 分,答错倒扣 5 分(每道题都必须回答,但相互不影响).设 3 某学生对每道题答对的概率为 4 ,则该学生在面试时得分的期望为 ________. 解析:由题得,该学生有可能答对 0,1,2,3 道,所以得分可能为- 15,0,15,30.根据独立试验同时发生的概率计算公式可得, 得分可能为- 15,0,15,30 对应的概率分别为 3? ?3? 3? ?3? 3? ?3? 3? ?3? 1 3? 2? 1? 0? ?1- ?3? ?0, ?1- ?2? ?1, ?1- ?1? ?2, ?1- ?0? ?3, C3 C C C 即为 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 64,
? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?

9 27 27 1 9 27 27 75 , , . 所以期望为 ( - 15) × + 0 × + 15 × + 30 × 64 64 64 64 64 64 64= 4 . 75 答案: 4 三、解答题 10.某篮球队与其他 6 支篮球队依次进行 6 场比赛,每场均决出 胜负,设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的,并且胜 1 场的概率是3.

(1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率; (2)求这支篮球队在 6 场比赛中恰好胜了 3 场的概率; (3)求这支篮球队在 6 场比赛中胜场数的均值和方差. 1? 1 4 ? 解:(1)P=?1-3?2×3=27.
? ?

4 所以这支篮球队首次胜场前已负两场的概率为27.
3 (2)6 场胜 3 场的情况有 C6 种,

1?3 ?1?3? 1 8 160 ∴P=C3 × 6?3? ?1-3? =20× 27 27=729.
? ?? ?

160 所以这支篮球队在 6 场比赛中恰胜 3 场的概率为729. 1? ? (3)由于 X 服从二项分布,即 X~B?6,3?,
? ?

1? 4 1 1 ? ∴E(X)=6×3=2,D(X)=6×3×?1-3?=3.
? ?

4 所以在 6 场比赛中这支篮球队胜场的均值为 2,方差为3. 11.某单位举行一次全体职工的象棋比赛(实行三局两胜制),甲、 乙两人进入决赛. 已知甲、 乙两人平时进行过多次对弈, 其中记录了 30 局的对弈结 果如下表: 甲先 乙先 甲胜 乙胜 10 5 9 6

根据表中的信息,预测在下列条件下的比赛结果: (1)在比赛时由掷硬币的方式决定谁先,试求甲在第一局获胜的概 率;

(2)若第一局由乙先,以后每局由负者先. ①求甲以二比一获胜的概率; ②若胜一局得 2 分,负一局得 0 分,用 ξ 表示甲在这场比赛中所 得的分数,试求 ξ 的分布列与数学期望 E(ξ). 2 解:根据题中表格的信息可知,若甲先,则甲获胜的概率是3,乙 1 3 2 获胜的概率是3;若乙先,则甲获胜的概率是5,乙获胜的概率是5. 1 2 1 3 19 (1)甲在第一局获胜的概率是 P1=2×3+2×5=30. (2)①若甲以二比一获胜,则甲胜第一局和第三局,或甲胜第二局 和第三局. 所以,甲以二比一获胜的概率是 3 2 2 2 2 3 8 P2=5×5×3+5×3×5=25. ②由题意知,ξ 的所有可能取值为 0,2,4,则 2 1 2 P(ξ=0)=5×3=15; 3 2 1 2 2 2 14 P(ξ=2)=5×5×3+5×3×5=75; 3 3 8 17 P(ξ=4)=5×5+25=25. 所以 ξ 的分布列为 ξ P 0 2 15 2 14 75 4 17 25

2 14 17 232 E(ξ)=0×15+2×75+4×25= 75 .

1.等差数列 x1,x2,x3,?,x9 的公差为 1,随机变量 ξ 等可能 的取值 x1,x2,x3,?,x9,则方差 D(ξ)为( 10 A. 3 10 C. 9 20 B. 3 20 D. 9 )

19 解析:x1,x2,?,x9 公差为 1,则平均值为 x5,方差 D(ξ)=9 ? i=1 1 1 20 (xi-x5)2=9×(42+32+22+1)×2=9×60= 3 ,选 B. 答案:B 2.(2014· 浙江卷)已知甲盒中仅有 1 个球且为红球,乙盒中有 m 个红球和 n 个蓝球(m≥3,n≥3),从乙盒中随机抽取 i(i=1,2)个球放 入甲盒中. (a)放入 i 个球后,甲盒中含有红球的个数记为 ξi(i=1,2); (b)放入 i 个球后, 从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 pi(i=1,2). 则( )

A.p1>p2,E(ξ1)<E(ξ2) B.p1<p2,E(ξ1)>E(ξ2) C.p1>p2,E(ξ1)>E(ξ2) D.p1<p2,E(ξ1)<E(ξ2) 解析:列出随机变量 ξ1,ξ2 的分布列,计算期望值并比较大小; 利用分步计数原理计算 p1,p2 并比较大小. 随机变量 ξ1,ξ2 的分布列如下: ξ1 1 2

P

n m+n

m m+n

ξ2 P

1 C2 n 2 Cm+n

2
1 C1 mCn C2 m+n

3 C2 m 2 Cm+n

所以 E(ξ1)=

n 2m 2m+n + = , m+n m+n m+n

2 1 3m+n Cn 2C1 3C2 mCn m E(ξ2)= 2 + 2 + 2 = , Cm+n Cm+n Cm+n m+n

所以 E(ξ1)<E(ξ2). m n 1 2m+n 因为 p1= + ·= , m+n m+n 2 2?m+n?
1 1 2 C2 Cm Cn 2 Cn 1 3m+n m p2= 2 + 2 · + · = , 2 Cm+n Cm+n 3 Cm+n 3 3?m+n?

n p1-p2= >0,所以 p1>p2. 6?m+n? 答案:A 3. 一个袋子中装有 6 个红球和 4 个白球, 假设每一个球被摸到的 可能性是相等的.从袋子中摸出 2 个球,其中白球的个数为 ξ,则 ξ 的数学期望是________.
2 C6 15 解析:根据题意 ξ=0,1,2,而 P(ξ=0)=C2 =45;P(ξ= 10 1 1 2 C6 C4 24 C4 6 15 24 6 1)= C2 =45; P(ξ=2)=C2 =45, ∴E(ξ)=0×45+1×45+2×45 10 10

36 4 =45=5. 4 答案:5

4.生产 A,B 两种元件,其质量按测试指标划分为:指标大于或 等于 82 为正品,小于 82 为次品,现随机抽取这两种元件各 100 件进 行检测,检测结果统计如下: 测试指标 元件 A 元件 B [70,76) 8 7 [76,82) 12 18 [82,88) 40 40 [88,94) 32 29 [94,100] 8 6

(1)试分别估计元件 A、元件 B 为正品的概率; (2)生产一件元件 A,若是正品可盈利 50 元,若是次品则亏损 10 元; 生产一件元件 B, 若是正品可盈利 100 元, 若是次品则亏损 20 元, 在(1)的前提下: ①求生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 300 元的概率; ②记 X 为生产 1 件元件 A 和 1 件元件 B 所得的总利润, 求随机变 量 X 的分布列和数学期望. 4 解:(1)由题可知元件 A 为正品的概率为5,元件 B 为正品的概率 3 为4. (2)①设生产的 5 件元件 B 中正品件数为 x, 则有次品 5-x 件, 由 题意知 100x-20(5-x)≥300 得到 x=4 或 5,设“生产 5 件元件 B 所 34 1 5 3 5 获得的利润不少于 300 元”为事件 C,则 P(C)=C4 5( ) × +C5( ) = 4 4 4 81 128. ②随机变量 X 的所有取值为 150,90,30,-30, 4 3 3 1 3 3 4 1 则 P(X=150)=5×4=5, P(X=90)=5×4=20, P(X=30)=5×4= 1 1 1 1 , P ( X =- 30) = 5 5×4=20,

所以 X 的分布列为: X P 150 3 5 90 3 20 30 1 5 -30 1 20

3 3 1 1 E(X)=150×5+90×20+30×5-30×20=108 元.


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