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8.4.2向量内积的直角坐标运算


8.4.2 向量内积的直角坐标运算

复习引入:
1.如何用向量的长度、夹角表示内积?
2.如何用内积、长度来表示夹角?
? ? 3. a ? b 的充要条件?

4.如何用向量的内积表示向量的长度?

复习引入:
向量的内积:

向量的夹角:

? ? ? ? ? ? a ? b ? a b cos a , b ? ? a ?b ? ? cos a, b ? ? ? ab
(判断两向量垂直的依据)
(计算向量的长度)

? ? ? ? a ? b ? a ?b ? 0
? ?2 ? ? a ? a ? a ?a

计算下列向量的内积
? 2 ? ? i ? i ? | i | ? 12 ? 1 ? ? ? ? ? i ? j ? | i || j | cos90 ? 1?1? 0 ? 0 ? ? ? ? j ? i ? | j || i | cos90? ? 1?1? 0 ? 0 ? ? ? 2 j ? j ? | j | ? 12 ? 1

向量内积的坐标运算
? ? ? ? 公式推导 非零向量 a ? (a1 , a2 ) , b ? (b1 , b2 ) ,我们用坐标表示 a ? b ? ? ? ? ? ? a ? (a1 , a2 ) ? a1i ? a2 j 因为 b ? (b1, b2 ) ? b1i ? b2 j ? ? ? ? ? ? a ? b ? (a1i ? a2 j ) ? (b1i ? b2 j ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? a1b1i ? i ? a1b2i ? j ? a2b1 j ? i ? a2b2 j ? j
? a1b1 ?1 ? a1b2 ? 0 ? a2b1 ? 0 ? a2b2 ?1
所以



? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2
两个向量的内积等于他们对应坐标的乘积和.

aaaaaaaaaa aaaaaaaaaa

aaaaaaaaaa aaaaaaaaaa

aaaaaaaaaa aaaaaaaaaa

aaaaaaaaaa aaaaaaaaaa

公式集锦
内积坐标公式

? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2
? ? ? ? a ?b cos? a , b ? ? ? ? ? | a || b | a1b1 ? a2b2 a1 ? a2
2 2

夹角坐标公式

b1 ? b2

2

2

向量垂直充要条件坐标形式

? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? 0
? ? a // b ? a1b2 ? a2b1 ? 0
aaaaaaaaaa aaaaaaaaaa aaaaaaaaaa aaaaaaaaaa

向量平行充要条件坐标形式

aaaaaaaaaa aaaaaaaaaa aaaaaaaaaa aaaaaaaaaa

例3
解: (1)

? ? 设 a ? (3,?4) , b ? (4,2) , 求: ? ? ? ? (1) a ? b (2) | a | (3) | b |
? ? a ? b ? a1b2 ? a2b1
? 3 ? 4 ? (?4) ? 2
? 12 ? 8 ?4
(2)

? ? (4)cos? a, b ?

? 2 2 | a |? a1 ? a2
? 3 2 ? ( ?4 ) 2
?5

(3)

? 2 2 | b |? b1 ? b2

(4)

? 42 ? 22
?2 5
跟踪练习:P72 1、2
aaaaaaaaaa aaaaaaaaaa aaaaaaaaaa aaaaaaaaaa

? ? ? ? a ?b cos? a, b ? ? ? ? | a || b | 4 ? 5? 2 5 2 5 ? 25
aaaaaaaaaa aaaaaaaaaa aaaaaaaaaa aaaaaaaaaa

例4
解:(1)

? ? 已知 a ? (2, x) , b ? (4,8) , 分别求出下列情况时 x ? ? ? ? (1) a ? b (2) a // b
(2)

的值。

? ? ? ? ? a ? b ,?a ? b ? 0
即a1b1 ? a2b2 ? 0
2? 4 ? x ?8 ? 0

? ? ? ? ? a // b ,?a ? ?b
即a1b2 ? a2b1 ? 0
2?8 ? x ? 4 ? 0

得x ? ?1

得x ? 4

跟踪练习:P70 3、4
aaaaaaaaaa aaaaaaaaaa aaaaaaaaaa aaaaaaaaaa aaaaaaaaaa aaaaaaaaaa aaaaaaaaaa aaaaaaaaaa

例5 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),求证△ ABC 是直角三角形。
思路一:利用两点之间的距离公式求出三条边的长度符合勾股定理。 思路二:把三条边当成三个向量证明出其中两个向量垂直,即证明出是结论。 证明:因为

AB ? (2,3) ? (1,2) ? (1,1) AC ? (?2,5) ? (1,2) ? (?3,3) BC ? (?2,5) ? (2,3) ? (?4,2)

所以 因此

AB ? AC ? 1? (?3) ?1? 3 ? 0
AB ? AC

所以 △ ABC 是直角三角形。

跟踪练习:P74 10

课堂小结
1.向量内积的坐标表示

? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2
? ? cos? a , b ? ? ? ? a ?b ? ? ? | a || b | a1b1 ? a2b2 a1 ? a2
2 2

2.向量夹角的坐标表示

b1 ? b2

2

2

3.向量垂直的充要条件

? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? 0
? ? a // b ? a1b2 ? a2b1 ? 0

4.向量平行的充要条件

作业

P72 1 、2、3、4

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