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【金版学案】2014-2015学年高中数学 单元综合检测试题(二)新人教A版选修4-4


【金版学案】2014-2015 学年高中数学 单元综合检测试题(二)新人 教 A 版选修 4-4
(测试时间:120 分钟 评价分值:150 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四 个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.直线:3x-4y-9=0 与圆:? A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线 不过圆心
? ?x=2cos θ , ?y=2sin θ ?

(θ 为参数)的位置关系是(

)

答案:D

π 2. 经过点 M(1,5)且倾斜角为 的直线, 以定点 M 到动点 P 的位移 t 为参数的 参数方程 3 ( ) 1 ? ?x=1+2t, A.? 3 y=5- t ? ? 2 1 x=1- t, ? 2 ? C.? 3 ? ?y=5- 2 t 1 ? ?x=1-2t, B.? 3 y=5+ t ? ? 2 1 x=1+ t, ? 2 ? D.? 3 ? ?y=5+ 2 t

答案:D

1

3.直线? ( )

?x=-2- 2t, ?y=3+ 2t

(t 为参数)上到点 A(-2,3)的距离等于 2的点的坐标是

A.(-4,5) B.(-3,4) C.(-4,5)或(0,1) D.(-3,4)或(-1,2)

答案:D

4.P 是椭圆?

?x=2 3cos α , ?y=4sin α
) B.?

(α 为参数)上一点,且在第一象限,OP(O 为原点)的

π 倾斜角为 ,则点 P 的坐标为( 6 A.(2,3) C.(2 3, 3)

?4 15 4 5? , ? 5 ? ? 5

D.(4,3)

答案:B

1 ? ?x=t+ , t 5.参数方程? ? ?y=-2 A.一条射线 C.一条直线 B.两条射线 D.两条直线

(t 为参数)所表示的曲 线是(

)

答案:B
2

6 .与普通方程 x +y-1=0 等价的参数方程(t,φ ,θ 为参数)是( A.?
? ?x=sin
2

2

)

t,

?y=cos t ?

B.?

? ?x=tan φ , ?y=1-tan φ ?
2

C.?

?x= 1-t, ?y=t

D.?

?x=cos θ , ? ? ?y=sin θ
2

答案:B

7.直线?

?x=tcos α , ? ?y=tsin α ?

(t 为参数 )与圆?

?x=4+2cos φ , ? ?y=2sin φ ?

(φ 为参数)相切,则

直线的倾斜角 α 为( A. C. π 5π 或 6 6 π 2π 或 3 3

) π 3π B. 或 4 4 π 5π D.- 或- 6 6

答案:A

8.已知动圆:x +y -2axcos θ -2bys in θ =0(a,b 是正常数,a≠b,θ 是参数), 则圆心的轨迹是( A.直线 C.抛物线的一部分 ) B.圆 D.椭圆

2

2

3

答案:D

9.A(0,1)是椭圆 x + 4y =4 上一定点,P 为椭圆上异于 A 的一动点,则|AP|的最大值 为( ) A.3 3 C. 4 3 3 B.4 3 8 3 D. 3

2

2

答案:C

10.已知过曲线? π 4

?x=3cos θ , ? ?y=4sin θ ?

(θ 为参数,0 ≤θ ≤π )上一点 P 与原点 O 的直线

PO,倾斜角为 ,则点 P 的极坐标为(

)

? π? A.?3, ? 4? ? ? 12 π ? C.?- , ? ? 5 4?

B.? D.?

?12 2 π ? , ? 4? ? 5 ?3 2 π ? , ? 4? ? 2

答案:B

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将正确答案填在题中的横线上) 11.参数方程?
? ?x=cos α , ?y=1+sin α ?

(α 为参数)化为普通方程为____________.

解析:∵?

?x=cos ?

α , α ,
4

? ?y=1+sin

∴?

?x=cos ?

α , α .

?y-1=sin ?
2 2

∴x +(y-1) = 1. 答案:x +(y-1) =1
2 2

12.过抛物线 y =4x 的焦点作倾斜角 α 的弦,若弦长不超过 8,则 α 的取值范围是 ________.

2

答案:?

?π ,3π ? 4 ? ?4 ?

π 13.直线 l 过点 M0(1 ,5),倾斜角 是 ,且与直线 x-y-2 3=0 交于 M,则|MM0|的长 3 为________.

答案:10+6 3

14.曲线?

?x=asec α , ? ? ?y=btan α

(α 为参数)与曲线?

?x=atan β , ? ? ?y=bsec β

(β 为参数)的离心率

分别为 e1 和 e2,则 e1+e2 的最小值为________.

答案:2 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演 算步骤) 15.(本小题满分 12 分)把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线:

5

(1)?

?x=5cos φ , ? ?y=4sin φ ? ? ?x=1-3t, ?y=4t ?

(φ 为参数);

(2)?

(t 为参数).

解析:(1)∵?

?x=5cos φ , ? ? ?y=4sin φ ,

x ? ?5=cos φ , ∴? y ? ?4=sin φ ,
两边平方相加,得 + =cos φ +sin φ , 25 16 即 + =1. 25 16

x2

y2

2

2

x2

y2

∴曲线是长轴在 x 轴上且为 10,短轴为 8,中心在原点的椭圆.

(2)∵?

? ?x=1-3t, ?y=4t, ?

∴由 t= 代入 x=1-3t,得 x=1-3· , 4 4

y

y

∴4x+3y-4=0.

? 4? ∴它表示过?0, ?和(1,0)的一条直线. ? 3?

16.(本小题满分 12 分)利用直线的参数方程,求直线 l:4x-y-4=0 与 l1:x-2y - 2=0 及 l2:4x+3y-12=0 所得两交点间的距离.

? ?x= 解析:在 l 上任取一点(0,-4),得 l 的参数方程为? ? ?y=

1 17 4 17

t,
将这一参

t-4,

6 17 3 17 数方程分别代入 l1 和 l2,即可求出两交点的参数值分别为 t1= 和 t2= . 7 2

6

根据直线参数方程的几何意义 , 两交点间的距离为: |t1-t2|=? 9 17 即两交点间距离为 . 14

?6 17 3 17? 9 17 - ?= 14 . 2 ? ? 7

17. (本小题满分 14 分)过点 P?

? 10 ? 2 2 ,0?作倾斜角为 α 的直线与曲线 x +2y =1 交于点 ? 2 ?

M、N,求|PM|·|PN|的最小值及相应的 α 值.

? ?x= 10+tcos α 2 解析:设直线为? ? ?y=tsin α

(t 为参数),代入曲线并整理得(1+sin α )t

2

2

3 2 3 +( 10cos α )t+ =0,则|PM|·|PN|=|t1t2|= . 2 2 1+sin α ∴当 sin α =1 时,即 α =
2

π 3 π ,|PM|·|PN|取最小值为 ,此时 α = . 2 4 2

18.(本小题满分 14 分)求直线? 弦长.

?x=2+t, ?y= 3t

(t 为参数)被双曲线 x -y =1 上截得的

2

2

1 x=2+ t, ? 2 ? 解析:把直线参数方程化为标准参数方程? 3 ? ?y= 2 t

(t 为参数),

? 1 ?2 ? 3 ?2 2 2 带入 x -y =1,得:?2+ t? -? t? =1. ? 2 ? ?2 ?
整理,得 t -4t-6=0.设其两根为 t1、t2,则 t1+t2=4,t1t2=- 6.从而弦长为|AB|
2

7

=|t1-t2|=

t1+t2

2

-4t1t2= 4 -

2



= 40=2 10.

19.(本小题满分 14 分)如下图所示,有一抛物线,A 为抛物线的顶点,PP′为抛物线 的任意一弦,设 PP′交抛物线的对称轴于 Q,过 P、P′分别作对称轴的垂线交对称轴于 M、

M′.求证:|AM|·|AM′|=|AQ|2.

证明:曲线方程为 y =4ax,其参数方程为?
2 2

2

?x=at , ? ? ?y=2at.

2

设 P、P′的坐标分别为(at1,2at1)、(at2,2at2),则弦 PP′所在直线的方程是

y-2at1=

2at1-2at2 2 2 2 (x-at1), 2 2 (x-at1)= at1-at2 t1+t2

即(t1+t2)y-2x=2at1t2. 由此得 PP ′与抛物线的对称轴的交点 Q 的坐标是(-at1t2,0).也就是说|AQ| =a t1t2. ∴|AM|·|AM′|=at1at2=|AQ| .
2 2 2 2 2 2 2

20. (本 小题满分 14 分)在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为?

?x=2cos α , ? ? ?y=2+2sin α

(α 为参数).M 是 C1 上的动点,点 P 满足 OP=2OM,点 P 的轨迹为曲线 C2.

(1)求 C2 的方程;

8

(2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射 线 θ = 的交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|.

π 与 C1 和异于极点 3

? ? 解析:(1)设 P(x,y),则由条件知 M? , ?.由于点 M 在 C1 上, ?2 2?
x y

从而 C2 的参数方程为?

?x=4cos α , ? ?y=4+4sin α ?

(α 为参数).

(2)曲线 C1 的极坐标方程为 ρ =4sin θ ,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ =8sin θ . π π π 射线 θ = 与 C1 交点 A 的极径为 ρ 1=4sin , 射线 θ = 与 C2 的交点 B 的极径为 ρ 3 3 3 =8sin π . 3
2

所以|AB|=|ρ 2-ρ 1 |=2 3.

9


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