当前位置:首页 >> 数学 >> 【2014东城一模数学理】2014北京东城高考一模数学理

【2014东城一模数学理】2014北京东城高考一模数学理


北京市东城区 2013—2014 学年度第二学期高三综合练习(一) 2014.4 数学(理科)
第一部分(选择题共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 3 分,共 40 分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1. 已知集合 A ? {x | ? x ? 1?? x ? 2? ≥ 0} ,则 ?R A ? () .
或x ? 2? A

. ?x | x ? ?1,

B. ?x | x ≤ ?1 或 x ≥ 2? D. ?x | ?1 ≤ x ≤ 2?

C. ?x | ?1 ? x ? 2? 2.
i ? () . 1? i 1 1 A. ? i 2 2 1 1 C. ? ? i 2 2

复数

1 1 B. ? i 2 2 1 1 D. ? ? i 2 2

3.

π? ? 为了得到函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的图象,只需把函数 y ? sin 2 x 的图象() . 3? ? π π A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 3 3 π π C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度 6 6

4.

设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 9 , S5 ? 30 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? () . A.27 B.36 C.42 D.63
π? ? 在极坐标系中,点 ? 2 , ? 到直线 ? cos? ? ? sin ? ? 1 ? 0 的距离等于() . 4? ?

5.

A. 6.

2 2

B. 2

C.

3 2 2

D.2
A

如图,在 △ ABC 中, AB ? 1 , AC ? 3 , D 是 BC 的中点,则 ???? ??? ? . AD ? BC ? () A.3 C.5 B .4 D.不能确定
B

D

C

7.

若双曲线 A.2

x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? 0 , b ? 0? 的渐近线与圆 ? x ? 2? ? y 2 ? 1相切,则双曲线的离心率为() . 2 a b 2 2 3 B. C. D. 2 2 3

?1 ,x ? 0 , ? 8. 已知符号函数 sgn ? x ? ? ?0 ,x ? 0 , 则函数 f ? x ? ? sgn ? ln x ? ? ln 2 x 的零点个数为() . ??1 ,x ? 0 ? A.1 B .2 C.3 D.4

1 / 12

第二部分(非选择题共 110 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.
1? ? (用数字作答) ? x ? ? 的二项展开式中常数项为________. 2? ?
D A
4

10. 如图, AB 是圆 O 的直径,延长 AB 至 C ,使 AB ? 2 BC ,且 BC ? 2 , CD 是圆 O 的切线, 切点为 D , 连接 AD , 则 CD ? ________,?DAB ? ________.
?0 ? x ? 2, 11. 设不等式组 ? 表示的平面区域为 D ,在区域 D 内随机取一个 ?0 ? y ? 2 点 P ? x , y ? ,则 x ? y ? 3 的概率为________.

O

B

C

2 12. 已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数, 当 x ? 0 时,f ? x ? ? x ? 6 , 则 x ? 0 时,f ? x ? 的解析式为______,

不等式 f ? x ? ? x 的解集为________. 13. 某写字楼将排成一排的 6 个车位出租给 4 个公司,其中有两个公司各有两辆汽车,如果这两个公司要 求本公司的两个车位相邻,那么不同的分配方法共有________种. (用数字作答) 14. 如图,在三棱锥 A ? BCD 中, BC ? DC ? AB ? AD ? 2 , BD ? 2 ,平面 ABD ? 平面 BCD , O 为 BD 中点,点 P , Q 分别为线段 AO , BC 上的动点(不含端点) ,且 AP ? CQ ,则三棱锥 P ? QCO 体积的 最大值为________.
A

三、解答题共 6 小题,共 80 分. 15. (本小题共 13 分) sin A 3 cos B ? 在 △ ABC 中, . a b (1)求角 B 的值; (2)如果 b ? 2 ,求 △ ABC 面积的最大值.

P D O B Q C

2 / 12

16. (本小题共 13 分) 某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况,抽取甲、乙两班,调查这两个班的学生在寒假期间 每天平均学习的时间(单位:小时) ,统计结果绘成频率分布直方图(如图) .已知甲、乙两班学生人 数相同,甲班学生每天平均学习时间在区间 ? 2 , 4? 的有 8 人.
频率/组距 0.1500 0.1250 0.1000 0.0875 a 0 2 4 6 8 10 12 小时 甲 频率/组距 0.175

0.075 0.050 0.025 0 2 4 6 8 10 12 小时 乙

(1)求直方图中 a 的值及甲班学生每天平均学习时间在区间 (10 , 12] 的人数; (2)从甲、乙两个班每天平均学习时间大于 10 个小时的学生中任取 4 人参加测试,设 4 人中甲班学 生的人数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

3 / 12

17. (本小题共 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ? 平面 ABCD , AB ? PA ?1 , AD ? 3 , F 是 PB 中点, E 为 BC 上一点. (1)求证: AF ? 平面 PBC ; P (2)当 BE 为何值时,二面角 C ? PE ? D 为 45 ? .
F A D E

B C

4 / 12

18. (本小题共 13 分) 2 已知函数 f ? x ? ? ax ? 4ln ? x ? 1? , a ? R . (1)当 a ? 1 时,求 f ? x ? 的单调区间; (2)已知点 P ?1 , 1? 和函数 f ? x ? 图象上动点 M ? m , f ? m?? ,对任意 m ? ? 2 , e ? 1? ,直线 PM 倾斜角 都是钝角,求 a 的取值范围.

5 / 12

19. (本小题共 13 分)

? 6? x2 y 2 1 , ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 过点 A ? ? 和点 B ? 0 , ? 1? . 2 ? 3 ? a b ? ? G (1)求椭圆 的方程; 3? ? (2)设过点 P ? 0 , ? 的直线 l 与椭圆 G 交于 M , N 两点,且 | BM |?| BN | ,求直线 l 的方程. 2? ?
已知椭圆 G :

6 / 12

20. (本小题共 14 分) 已知集合 ?1, 2 , 3 , 4 , ? , n? ? n ≥ 3? , 若该集合具有下列性质的子集: 每个子集至少含有 2 个元素, 且每个子集中任意两个元素之差的绝对值大于 1,则称这些子集为 T 子集,记 T 子集的个数为 a n . (1)当 n ? 5 时,写出所有 T 子集; (2)求 a10 ; a a4 a5 a ? 4 ? 5 ??? n (3)记 Sn ? 3 ,求证: Sn ? 2 3 2 2 2 2n

7 / 12

北京市东城区 2013-2014 学年度第二学期高三综合练习(一) 数学参考答案(理科)
一、选择题 1.C 5.A 二、填空题 1 9. 16 7 11. 8 13.24 2.C 6.B 3.D 7.C 4.D 8 .B

10. 2 3 ; 30 ?
0) ? (2 ,? ?) 12. f ( x) ? ? x2 ? 6 ; (?2 ,

14.

2 48

三、解答题 15. (共 13 分) a b sin A 3 cos B ? ? 解:⑴因为 , , sin A sin B a b 所以 sin B= 3 cos B , tan B = 3 . 因为 B ? (0 ,π) . π 所以 B = . 3 π ⑵因为 B = , 3 a 2 ? c 2 ? b2 1 所以 cos B ? ? , 2ac 2 因为 b ? 2 , 所以 a 2 ? c2 =ac ? 4 ? 2ac , 所以 ac ? 4 (当且仅当 a ? c 时,等号成立) , 1 所以 S△ ABC ? ac , sin B ? 3 , 2 所以 △ ABC 面积最大值为 3 . 16. (共 13 分) 解:⑴由直方图知, (0.150 ? 0.125 ? 0.100 ? 0.0875 ? a) ? 2 ? 1 , 解得 a ? 0.0375 , 因为甲班学习时间在区间 [2 ,4] 的有 8 人, 8 ? 40 , 所以甲班的学生人数为 0.2 所以甲、乙两班人数均为 40 人. 12? 的人数为 所以甲班学习时间在区间 ?10 , 40 ? 0.0375 ? 2 ? 3 (人) . 10 , 12? 的人数为 40 ? 0.05 ? 2 ? 4 (人) ⑵乙班学习时间在区间 ? .

12? 的人数为 3 人, 由⑴知甲班学习时间在区间 ?10 , 在两班中学习时间大于 10 小时的同学共 7 人, ? 的所有可能取值为 0,1,2,3.
P(? ? 0) ? P(? ? 1) ?
0 4 C3 C4 1 ? , 4 C7 35 3 C1 12 3 C4 ? , 4 C7 35

8 / 12

P(? ? 2) ? P(? ? 3) ?

2 2 C3 C4 18 ? , 4 C7 35

1 C3 4 3C4 ? . 4 C7 35 所以随机变量 ? 的分布列为: ? 0

P
E? ? 0 ?

1 35

1 12 35

2 18 35

3 4 35

1 12 18 4 12 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 35 35 35 35 7

17. (共 14 分) 证明⑴因为 PA ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD , 所以 PA ? BC , 因为 ABCD 是矩形, 所以 BC ? AB . 因为 PA ? AB ? A , 所以 BC ? 平面 PAB , 因为 AF ? 平面 PAB , 所以 BC ? AF , 因为 AB ? PA , F 是 PB 中点, 所以 AF ? PB , 因为 PB ? BC ? B 所以 AF ? 平面 PBC . ⑵解:因为 PA ? 平面 ABCD , AB ? AD , 所以以 A 为坐标原点,AD 、AB 、AP 所在直线为 x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系, 设 BE ? a , 1 1? ? 1) , D 3 ,0 ,0 , E ? a , 1, 0? , F ? 0 , , ? . 则 P(0 ,0 , 2 2? ? ???? ??? ? 1 ,0 , PD ? 3 ,0 ,? 1 . 所以 DE ? a ? 3 , z ?? ???? ? ?? P ?m ? DE ? 0 , ? 设平面 PDE 的法向量为 m ? ( x ,y ,z) ,则 ??? ??? ? ?m ? PD ? 0. F ? a ? 3 x ? y ? 0, ? 所以 ? ? ? 3x ? z ? 0. B A y 令 x ? 1 ,得 y ? 3 ? a , z ? 3 , ?? E 所以 m ? 1 , 3 ? a , 3 . D C ? ???? ? 1 1? x 平面 PCE 的法向量为 n ? AF ? ? 0 , , ? . 2 2 ? ? 1 ?? ? 3? a ?? ? m?n 2 2 ? 所以 cos m ,n ? ?? ? ? . 2 2 m n 2 ? a ? 2 3a ? 7 2 5 3 所以 a ? . 6

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

9 / 12

所以当 BE ? 17.

5 3 时,二面角 P ? DE ? A为 45 ? . 6

(共 13 分) 解:⑴当 a ? 1 时, f ( x) ? x2 ? 4ln( x ? 1) ,定义域为 (1,? ?) ,

f ?( x) ? 2x ?

4 2x2 ? 2x ? 4 2( x ? 1)( x ? 2) ? ? x ?1 x ?1 x ?1 (1, 2) x f ?( x) ?
f ( x)

(2 ,? ?)

?





所以当 a ? 1 时, f ( x) 的单调递增区间为 (2 ,? ?) ,单调递减区间为 (1,2) . ⑵因为对任意 m ? [2 ,e ? 1] ,直线 PM 的倾斜角都是钝角, 所以对任意 m ? [2 ,e ? 1] ,直线 PM 的斜率小于 0, f (m) ? 1 ? 0 , f (m) ? 1 , 即 m ?1 即 f ( x) 在区间 [2 ,c ? 1] 上的最大值小于 1, 4 2(ax2 ? ax ? 2) x ? (1,? ?) , . f ?( x) ? 2ax ? ? x ?1 x ?1 令 g ( x) ? ax2 ? ax ? 2 ①当 a ? 0 时, f ( x) ? ?4ln( x ? 1) 在 [2 ,e ? 1] 上单调递减,
f ( x)max ? f (2) ? 0 ? 1 ,显然成立,所以 a ? 0 . ②当 a ? 0 时,二次函数 g ( x) 的图象开口向下, 且 g (0) ? ?2 , g (1) ? ?2 , ?x ? (1 ,? ?) , g ( x) ? 0 , 故 f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (1,? ?) 上单调递减,

故 f ( x) 在 [2 ,e ? 1] 上单调递减, f ( x)max ? f (2) ? 4a ? 1 ,显然成立,所以 a ? 0 . ⑶当 a ? 0 时,二次函数 g ? x ? 的图象开口向上, 且 g ? 0 ? ? ?2 , g ?1? ? ?2 .

? ?? ,当 x ? ?1,x0 ? 时, g ? x ? ? 0 . 所以 ?x0 ? ?1, ? ? ? 内先递减再递增. 所以 f ? x ? 在区间 ?1,
? ? f ? 2 ? ? 1, 所以 ? ? ? f ? e ? 1? ? 1. ? ?4a ? 1, 即? 2 ? ?a ? e ? 1? ? 4 ? 1.
1 所以 0 ? a ? . 4 1 综上 a ? . 4 19.(共 13 分)

? ? ? 时, g ? x ? ? 0 . 当 x ? ? x0 ,

e ? 1? 上的最大值只能是 f ? 2 ? 或 f ? e ? 1? . 故 f ? x ? 在区间 ? 2 ,

解: (Ⅰ)因为椭圆 G :

? 6? x2 y 2 1, ? ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 过点 A ? 和点 B ? 0 ,? 1? . 2 ? 3 ? a b ? ?

10 / 12

? 5? ? ? 2 ? 所以 b ? 1 ,由 1 ? ? 3 ? ? 1 ,得 a ? 3 . ? a2 1 x2 所以椭圆 G 的方程为 ? y 2 ? 1 . 3 (Ⅱ)显然直线 l 的斜率 k 存在,且 k ? 0 . 3 设直线 l 的方程为 y ? kx ? . 2 2 ?x ? y 2 ? 1, ? 5 ?3 ? 2 1? 2 由? 消去 y 并整理得 ? k ? ? x ? 3kx ? ? 0 , 3? 4 ? ? y ? kx ? 3 . ? ? 2 5 ? 2 1? 2 2 由 △? 9k ? 5 ? k ? ? ? 0 , k ? . 3? 12 ? 设 M ? x1 ,y1 ? , N ? x2 ,y2 ? , MN 中点为 Q ? x2 ,y2 ? ,

2

x1 ? x2 9k y ? y2 3 ?? 2 ? 2 , y6 ? 1 . 2 6k ? 2 2 6k ? 2 由 BM ? BN ,知 BQ ⊥ MN , 3 ?1 2 y6 ? 1 1 1 ? ? ,即 6k ? 2 ?? . 所以 9k x6 k k ? 2 6k ? 2 2 2 化简得 k ? ,满足 △ ? 0 . 3 6 所以 k ? ? . 3 6 3 x? . 因此直线 l 的方程为 y ? ? 3 2

得 x2 ?

(20)(共 14 分) 3? , ?1, 4? , ?1, 5? , ?2,4? , ?2, 5? , ?3, 5? , ?1, 3, 5? . 解: (Ⅰ)当 n ? 5 时,所以 T 子集: ?1,

2, 3, 4, …, k, k ? 1, k ? 2? 的 T 子集可分为两类: (Ⅱ) ?1, 第一类子集中不含有 k ? 2 ,这类子集有 ak ?1 个;

…, k? 的单元素子集与 ?k ? 2? 的并,共有 ak ? k 个. ?1,2,3,4,

2, 3, 4, …, k? 的 T 子集与 ?k ? 2? 的并,或为 第二类子集中含有 k ? 2 ,这类子集成为 ?1,

所以 ak ?2 ? ak ?1 ? ak ? k . 因为 a3 ? 1 , a4 ? 3 , 所以 a5 ? 7 , a6 ? 14 , a7 ? 26 , a8 ? 46 , a9 ? 79 , a10 ? 133 . a 1 3 7 (Ⅲ)因为 Sn ? 3 ? 4 ? 3 ? … ? n , ① 2 2 2 2n a ?1 an 1 1 3 ? n?1 所以 Sn ? 4 ? 3 ? … ? nn ② 2 2 2 2 2 an?2 ? n ? 2 ? an 1 1 ? 2 4 7 ① ? ②得 Sn ? 3 ? ? 4 ? 3 ? 6 ? … ? ? ? n?1 2 2 ?2 2 2 2n ? 2
? a ? n ? 2 ? an 1 2 ? a ? 3 a4 ? 4 ? ?? 2 ? ? … ? n?2 n ? ? n?1 23 24 ? 23 24 2 ? 2
11 / 12

?

a ? n ? 2 ? an 1 2 1 ? a ? 3 a4 ? 4 ? ? ? 2 ? ? … ? n?2 n?1 ? ? n?1 23 2 4 2 2 ? 2 3 24 2 ? 2

1 2 1 n?2? a ? 3 4 ? n ? 2 Sn?1 ? ? 3 ? 4 ? … ? n ? ? nn n 2 2 2 2 ? 2 ?1 ?2 2

1 1 1 ?1? ? Sn?2 ? ? ? ? 4 4 4 ?2? 1 1 1 ? ? Sn ? 2 ? 4 4 4 1 1 ? ? Sn 2 4 ?

n ?1

?

n ? 2 an ? n?1 2n 2

所以 S n ? 2 .

12 / 12


更多相关文档:

2014北京东城高考一模数学理(图片版)

高考2​0​1​4​北​京​东​城​高​考​一​模​​学​理​(​图​片​版​) 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档...

2014年北京市东城区高三一模数学(理)试题Word版带解析

2014北京市东城区高三一模数学(理)试题Word版带解析_数学_高中教育_教育专区。2014北京市东城区高三一模数学(理)试题Word版带解析 ...

2014东城高三一模数学理科

... ? n 3 2 2 2 2n 2014 东城高三数学一模理科 第 4 页共 9 页 北京市东城区 2013-2014 学年度第二学期综合练习(一) 高三数学及评分标准 (理科) ...

2014北京东城高考一模数学理

2014北京东城高考一模数学理_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2014北京东城高考一模数学理北京市东城区 2013—2014 学年度第二学期高三综合练习(一) 2014.4 数学...

2014北京海淀高考一模数学理(word解析)

2014北京海淀高考一模数学理(word解析)_高考_高中教育_教育专区。海淀区高三年级第二学期期中练习 数学(理科) 一项. 2 1.已知集合 A ? ?1,2, ? , 集合B ...

2014北京石景山高考一模数学理(word解析)

2014北京石景山高考一模数学理(word解析)_高考_高中教育_教育专区。2014 年石景山...高三统一测试 数学(理科)选填解析一、 选择题 1.【答案】A 【解析】解:有题...

2014东城高三一模数学理word

2 . 3 2 2 2 2n 2014 东城高三数学一模理科 第 4 页共 9 页 北京市东城区 2013-2014 学年度第二学期综合练习(一) 高三数学及评分标准 (理科) 参考答案...

2014北京东城高考一模数学理科带答案

2014北京东城高考一模数学理科带答案_数学_高中教育_教育专区。2014东城理科高三一模数学北京市东城区 2013—2014 学年度第二学期高三综合练习(一) 数学(理科) 2014...

2014年北京市东城区一模数学理科试题及答案(word)

2014北京市东城区一模数学理科试题及答案(word)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2014北京市东城区一模数学理科试题及答案北京市东城区 2013-2014 学年度第二...
更多相关标签:
2016东城一模数学 | 2015东城一模数学 | 2012东城一模数学中考 | 2014东城一模数学 | 2016东城初三一模数学 | 2016东城高三一模数学 | 2015年东城一模数学 | 2013东城一模数学 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com