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2013高考数学一轮复习 5.1 平面向量的概念及其线性运算精品教学案(教师版)新人教版


2013 年高考数学一轮复习精品教学案 5.1 平面向量的概念及其线性 运算(新课标人教版,教师版)
【考纲解读】 1.平面向量的实际背景及基本概念: (1)了解向量的实际背景; (2)理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义; (3)理解向量的几何表示. 2.向量的线性运算: (1)掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. (2)掌握向量数乘的运算及其意义,理解两个向量共线的含义. (3)了解向量线性运算的性质及其几何意义. 【考点预测】 高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为: 1.平面向量是历年来高考重点内容之一,经常与三角函数、立体几何、解析几何、不等式等 知识结合起来考查,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现,平面向量的概念及线性运 算的考查,经常以选择题与填空题的形式单独考查,有时也在解答题中与其他知识结合起来 考查,在考查平面向量知识的同时,又考查转化思想和分类讨论等思想,以及分析问题、解 决问题的能力. 2.2013 年的高考将会继续保持稳定,坚持考查平面向量与其他知识的结合,或在选择题、填 空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】 1.向量的有关概念 (1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫向量的长度(或模). (2)零向量:长度等于 0 的向量叫零向量,其方向是不确定的. (3)单位向量:长度为 1 的向量. (4)相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量,又叫相等向量. (5)共线(平行)向量:通过有向线段 AB 的直线,叫做向量 AB 的基线.如果向量的基线互相 平行或重合,则称这些向量为共线向量或平行向量. 2.向量的线性运算 (1)向量的加法:已知向量 a , b ,在平面上任取一点 A,作 AB = a , BC = b ,再作向量 AC ,则 向 量 AC 叫 做 向 量 a 与 b 的 和 , 记 作 a + b , 即 a + b = AC . 向 量 加 法 满 足 交 换 律 :

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? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a + b = b + a 、结合律( a + b )+ c = a +( b + c ).向量加法可以使用三角形法则、 平行四
边形法则(即首尾相接,连首尾). (2)向量的减法:与向量 a 方向相反且等长的向量,叫做 a 的相反向量,记为- a , a +(- a )= 0 ;
1

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向量 a 加上向量 b 的相反向量,叫做向量的减法,即向量减去向量 b .向量减法可以使用三角 形法则,即“共起点,连终点,方向指向被减向量”. (3) 向 量 数 乘 : 实 数 ? 和 向 量 a 的 乘 积 是 一 个 向 量 , 记 作 ? a , ? a 的 长 为 | ? a |; ? a ( a ? 0 )的方向,当 ? >0 时,与 a 同向;当 ? <0 时,与 a 反向;当 ? =0 或 a = 0 时,0 a = 0 ,或 ? 0 = 0 . ? a 中实数 ? ,叫做向量 a 的系数,向量数乘的几何意义就是把向量

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? ? ? a 沿着 a 的方向或 a 的反方向放大或缩小.
实数与向量积的运算律:设 ? , ? ? R , a , b 是向量,则有: ( ? ? ? ) a = ? a + ? a ;

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? ? ? ? ? ? ? ( ? a )=( ? ? ) a ; ? ( a + b )= ? a + ? b .
3.向量共线的条件 平行向量基本定理:如果 a = ? b ,则 a // b ;反之,如果 a // b ( b ≠ 0 )则一定存在一个实数

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? ? ? ,使 a = ? b .
4.轴上的向量坐标及运算 (1)规定了方向和长度单位的直线叫做轴. (2)取定了单位向量 e ,使 e 的方向与轴 l 的方向相同,对轴上的任意向量 a ,那么一定存在唯 一实数 x,使 a = xe ,反之,任意给定一个实数 x,总能在轴 l 上作一向量 a =x e ,x 叫做 a 在 l 上的坐标(或数量). (3)轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等;轴上两个向量和的坐标等于两个向量坐标 的和. (4)轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标; (5)数轴上两点的距离公式: | AB |?| x2 ? x1 | . 【例题精析】 考点一 向量的基本概念 例 1. 给出下列命题: ①若 a ? b , a ? b ; ②若 A、 C、 是不共线的四点, AB ? DC 则 B、 D 则 是四边形为平行四边形的充要条件; ③若 a ? b, b ? c ,则 a ? c ; ④ a ? b 的充要条件是

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a ? b 且 a ∥ b ; ⑤若 a ∥ b , b ∥ c ,则 a ∥ c .
其中,正确命题的序号是_________________. 【答案】③④

2

1. 下列命题中正确的是( ) A.共线向量都相等 C.平行向量不一定是共线向量

B.单位向量都相等 D.模为 0 的向量与任意一个向量平行

B 考点二 向量的线性运算

例 2.(2009 年高考山东卷理科 7 文科 9) P 是 V ABC 所在平面内的一点, ? BA ? 2BP , 设 BC 则( ) A. PA ? PB ? 0

uuu uu r r r

uur

uur

uur

r

uu uur uuu r r r PA ? PB ? PC ? 0 【答案】B

B. PC ? PA ? 0 C. PB ? PC ? 0 A P 第 7 题图

uuu uu r r

r

uur

uuu r

C D.

2. (2011 年高考四川卷文科 7)如图,正六边形 ABCDEF 中, BA ? CD ? EF =(

??? ??? ??? ? ? ?

)

问题:平面向量的线性运算 例.(2010 年高考四川卷理科 5)设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外,

? ????2 ??? ???? ??? ???? ???? ? ? BC ? 16, AB ? AC AB ? AC 则?AM?? ( ? ??? ??

)
3

(A)8

(B)4

(C) 2

(D)1

1.(2009 年高考湖南卷文科第 4 题)如图 1, D,E,F 分别是 ? ABC 的边 AB,BC,CA 的中 点,则( )

A. AD ? BE ? CF ? 0 B. BD ? CF ? DF ? 0 C. AD ? CE ? CF ? 0 D. BD ? BE ? FC ? 0 图1

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2. (2010 年高考湖北卷文科 8) 已知 ?ABC 和点 M 满足 MA ? MB ? MC ? 0 .若存在实 m 使 得 AM ? AC ? mAM 成立,则 m =( A.2 B.3 C.4

???? ???? ???? ?

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)

D.5

3. (山东省威海市 2012 年 3 月高三第一次模拟)已知平面上不共线的四点 O,A,B,C.若

OA ? 2OC ? 3OB, 则

BC AB

的值为(



4

A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 6

4.(2011 年高考海南卷文科 1)已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量 a ? b 与向量 ka ? b 垂直,则 k ?

?

?

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.

1. (2012 年高考浙江卷文科 7)设 a,b 是两个非零向量,则下列说法正确的是( A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ ,使得 b=λ a D.若存在实数λ ,使得 b=λ a,则|a+b|=|a|-|b|



2.(2012 年高考辽宁卷理科 3)已知两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a ? b|,则下面结论正确 的是( (A) a∥b (C){0,1,3} 【答案】B ) (B) a⊥b (D)a+b=a ? b

5

, 3. (2012 年高考新课标全国卷理科 13)已知向量 a, b 夹角为 45? ,且 a ? 1 2 a ?b ? 10
则 b ? _____ .

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6


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