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变量间的相关关系(优秀教案)


《普通高中课程标准实验教科书· 数学(A版)》必修3第二章

西方流传的一首民谣: 丢失一个钉子,坏了一只蹄铁; 坏了一只蹄铁,折了一匹战马; 折了一匹战马,伤了一位骑士; 伤了一位骑士,输了一场战斗; 输了一场战斗,亡了一个帝国. 马蹄铁上一个钉子是否丢失与一个帝国 存与亡关系有多大呢?显然,这种关系 不能用我们熟悉的函数关系来描述,那 么这究竟是一种什么

样的关系?

【创设情境】
问题1:两个变量间的相关关系的含义是什么? 从总的变化趋势来看变量之间存在某种关

系,但这种关系又不能用函数关系精确表达出
来,即自变量取值一定时,因变量带有一定的

随机性;如:“吸烟有害健康”,“名师出高
徒”,“虎父无犬子”,“瑞雪兆丰年”,“城

门失火殃及池鱼”等;

【创设情境】
问题2:两个变量间的相关关系与函数关系的

区别与联系是什么?

联系:均是指两个变量的关系; 区别:函数关系是一种确定的关系; 相关关系是一种非确定关系.

练习:

1、下列各情景分别可以用哪一幅图来近似的刻画:
(1)汽车紧急刹车(速度与时间的关系)

D
B

(2)人的身高变化(身高与年龄的关系)

(3)跳高运动员跳跃横杆(高度与时间的关系) C (4)一面冉冉上升的红旗(高度与时间的关系) A

A

B

C

D

2、下列两变量中具有相关关系的是( D )

A. 角度和它的余弦值
C. 成人的身高和视力

B. 正方形的边长和面积
D. 身高和体重

【探究新知】
探究1: 在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研 究人员获得了一组样本数据:
年龄 脂肪 年龄 脂肪 23 9.5 53 29.6 27 17.8 54 30.2 39 21.2 56 31.4 41 25.9 57 30.8 45 27.5 58 33.5 49 26.3 60 35.2 50 28.2 61 34.6

年龄 脂肪

23 9.5

27 17.8

39 21.2

41 25.9

45 27.5

49 26.3

50 28.2

年龄 脂肪

53 29.6

54 30.2

56 31.4

57 30.8

58 33.5

60 35.2

61 34.6

(1)根据上述数据,人体的脂肪含量与年龄之间 有怎样的关系? (2)为了确定更明确的关系,以 x 轴表示年龄, y 轴表示脂肪含量,你能在直角坐标系中描 出样本数据对应的图形吗?

(1)根据上述数据,人体的脂肪含量与年龄之间 有怎样的关系?

对某一个人来说,他的体内脂肪含量不一定随年龄 增长而增加或减少,但是如果把很多个体放在一起,就 可能表现出一定的规律性. 大体上看,上表中的数据, 随着年龄的增加,人体脂肪含量也在增加;

(2)为了确定更明确的关系,以 x 轴表示年龄, y 轴表示脂肪含量,你能在直角坐标系中描 出样本数据对应的图形吗?
脂肪含量

40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

该图叫做 散点图.

年龄

从散点图可以看出,年龄越大,体内脂肪含量越高.

年龄 脂肪

23 9.5

27 17.8

39 21.2

41 25.9

45 27.5

49 26.3

50 28.2

年龄 脂肪

53 29.6

54 30.2

56 31.4

57 30.8

58 33.5

60 35.2

61 34.6

(3)甲同学判断某人年龄在 65 岁时体内脂肪含量百分 比可能为 34,乙同学判断可能为 25,丙同学则判 断可能为 37,你对甲,乙,丙三个同学的判断有 什么看法? (4)散点图是研究相关变量特征的重要手段,该图中 点的分布(变化趋势、形状等)有什么规律?

(4)散点图是研究相关变量特征的重要手段,该图中 点的分布(变化趋势、形状等)有什么规律?
脂肪含量

40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

从散点图上可以看出,这些点散布在从左下角到右上角的 区域内,而且大致分布在通过散点图中心的一条直线附近;

1、散点图: 表示两个变量的一组数据的图形, 散点图是研究相关变量特征的重要手段; 2、正相关、负相关: 正相关:点散布在从左下角到右上角的区域内; 负相关:点散布在从左上角到右下角的区域内.
脂肪含量

40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

运鱼车的单位时间与存活比例
存活比例

1.5 1 0.5 0 0 0.2 单位时间 0.4 0.6

3、线性相关关系: 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线 附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这 条直线叫做回归直线,回归直线的方程简称回归方程.
脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

【探究新知】
探究2:只有散点图中的点呈条状集中在某一直线周围, 才可以用回归直线来描述两个变量之间的关系. 如何求 出这条直线方程呢? 方案一:画出一条直线,使其过尽可能多的样本点;
脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

方案二: 在图中选取两点画直线,使得直线两侧的点的

个数基本相同。

脂肪含量

40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

方案三:
在散点图中多取几组点,确定几条直线的方程,分 别求出各条直线的斜率和截距的平均数,将这两个平均 数作为回归方程的斜率和截距。
脂肪 40 30 20 10 0 0 20 40 60 80

脂肪

上面的方法虽然有一定的道理,但费时、费力且精度差. 实际上,求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画 “从整体上看,各点与此直线的距离最小”.

di

假设我们已经得到两个具有线性相关关系的样本

的一组数据:(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),

? 且所求回归直线方程是: y
待定系数.

? bx ? a ,其中 a, b 是

当自变量x取xi(i=1,2,…,n)时可以得到回归直
线上的点的纵坐标为: y ?i

? bxi ? a(i ? 1, 2, ???, n)
?i ? yi ? (bxi ? a) ?y
(xn,yn)

它与样本数据yi的偏差是: yi
(x1,y1)

(x2,y2)

?i | ? sin ? , 而 di ?| yi ? y
这样,用这 n 个偏差的和来刻画“与此直线的整体偏差” 是比较合适的.

?i | ? | yi ? y
(x1,y1) (x2,y2)

di

(xn,yn)

问题就归结为: 当 a, b 取什么值时 Q 最小.

Q ? ( y1 ? bx1 ? a)2 ? ( y2 ? bx2 ? a)2 ? ? ? ( yn ? bxn ? a)2

运算不方便
n

?i )2的最小值 求?(yi ? y
i ?1

n

避免相互抵消 各点与直线 的整体偏差
n

?i 的最小值 求? yi ? y
i ?1

?i ) 的最小值 求? ( yi ? y
i ?1

这种通过求:

Q ? ( y1 ? bx1 ? a) ? ( y2 ? bx2 ? a) ????? ( yn ? bxn ? a)
2 2

2

的最小值而得到回归直线的方法,即求样本数据的点到 回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.

?

?? b

? ( x ? x)( y ? y) ? x y ? nx y
i ?1 i i

n

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

?

2

i ?1 n

i i 2 i

?x
i ?1

? nx

2

,

? . ? ? y ? bx a

4、回归方程的系数公式: 回归方程
n

?

?x ? a ? ?b ? ,其中: y
n i i i i 2 i

?? b

? ( x ? x)( y ? y) ? x y ? nx y
i ?1

? ( x ? x)
i ?1 i

n

?

2

i ?1 n

?x
i ?1

? nx

2

,

? . ? ? y ? bx a

归纳:

求回归方程

? ? ? y ? bx ? a
n i ?1

的步骤:
n

(1)计算 x , y ,

2 , x y x ?ii ?i ; i ?1

? ,a ?; (2)代入公式求 b

? ?a ? ? bx ?. (3)写出回归直线方程 y


【典例剖析】
1、某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 (万元) 销售额 (万元) 4 49 2 26 3 39 5 54

根据上表可得回归方程 y ? bx ? a 中的 b 为 9.4,据此 模型预报广告费用为 6 万元时销售额为 65.5 万元.

解: x ? 3.5,

y ? 42, ?a ? y ? bx ? 9.1

回归方程为:

y ? 9.4 x ? 9.1

2、某研究机构对高中学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析,得下表数据 x y 6 2 8 3 10 5 12 6

(1)请画出上表数据的散点图;

? ?a ? ? bx ?; (2)请根据上表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 y
(3)试根据(2)求出的线性回归方程,预测记忆力为 9 的同学的判断力.

?? (相关公式: b

? x y ? nx y
i ?1 n i i 2 2 x ? nx ?i i ?1

n

? ) ? ? y ? bx ,a

解:(1)散点图如图示:

(2)由题意得:

x ? 9, y ? 4
2 2 2 3 2 4

?x
i ?1
4 i ?1

4

2 i

? x ? x ? x ? x ? 344
2 1

?x y
i

i

? x1 y1 ? x2 y2 ? x3 y3 ? x4 y4 ? 158

? b ? 0.7, a ? y ? bx ? ?2.3
回归方程为:y

? 0.7 x ? 2.3

(3)由回归方程预测,

y ? 0.7 ? 3 ? 2.3 ? 4
即记忆力为9的同学的判断力约为4.

利用计算机,可以方便的求出回归方程.

【知识归纳】
1、知识: 2、思想方法:

(1)散点图:
(2)正相关、负相关: (3)线性相关关系: (4)回归方程的系数公式:

(1)最小二乘法:
(2)转化与化归; 数形结合;

?

?? b

? (x
i ?1 n

n

i

? x)( yi ? y )

2 ( x ? x ) ? i i ?1

?

?x y
i ?1 n i i ?1

n

i

? nx y
2

2 x ? i ? nx

,

? x. ? ? y ?b a

【作业布置】
课本94页A3、B1;


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