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四川省古蔺县中学高中数学 2.1.2指数函数的图象及性质(2)课件 新人教A版必修1


x y=a

1.复习回顾指数函数的概念、图象和性质; 2.通过典型例题初步掌握指数函数在解决实际问题中的 应用;

3.通过典型例题初步掌握指数函数的图象和性质在解题
中的应用

复习引入
指数函数的图象和性质:

a>1
图 象
y (0,1) y=ax

(a>1) y= 1 x

0<a<1
y=ax (0<a<1) y (0,1) O y= 1 x

O

性 质

定义域 R;值域(0,+∞) 过点(0,1),即x=0时,y=1
在R上是增函数 x>0时,ax>1; x<0时,0<ax<1 在R上是减函数 x>0时,0<ax<1; x<0时,ax>1

探究1:

指数函数在实际问题中的应用

例8.截止到1999年底,我国人口约13亿。如果今后能将 人口年平均增长率控制在1%,那么经过20年后,我国人 口数最多为多少?(精确到亿) 分析:可以从经过1年后、2年后、3年后等具体的人口数 入手,归纳经过x年后的人口数的函数关系式,再把经过 20年后的人口数表示出来,进行具体的计算。

解:设今后人口的年平均增长率是1%,经过x年后,我国的人 口数为y亿. (亿); 经过1年即2000年,人口数为 13 ? 13 ?1% ? 13 ? (1 ? 1%) 经过2年即2001年,人口数为

13 ? (1 ? 1%) ? 13 ? (1 ? 1%) ?1% ? 13 ? (1 ? 1%) 2(亿).
经过3年即2002年,人口数为

13 ? (1 ? 1%)2 ? 13 ? (1 ? 1%)2 ?1% ? 13 ? (1 ? 1%)3 (亿);
…… 所以,经过x年,人口数为

y ? 13 ? (1 ? 1%) x ? 13 ?1.01x

20 当x=20时, y ? 13 ?1.01 ? 16 (亿)。

所以,经过20年后,我国的人口数最多为16亿。

【点评】在实际问题中,经常会遇到类似例8的指数增长

模型:设原有量为N,每次的增长率为p,经过x次增长,该
量增长到y,则 y ? N (1 ? p) x ( x ? N). 形如

y ? ka (k ? R, k ? 0, a ? 0, a ? 1)
x

的函数是一种指数型函数,这是非常有用的函数模型。

探究2:

人口增长率问题的进一步探究

(1)如果人口增长率提高一个百分点,利用计算器分别计 算20年,33年后我国的人口数。
这时函数模型是 y ? 13 ?1.01x. 以1999年的13亿为基准。
20 13 ? 1.01 ? 16(亿), 所以,20年后的人口数是

33年后人口数是 13 ?1.0133 ? 25 (亿)。 (2)如果人口年平均增长率保持在2%,利用计算器分别计算 2020到2100年,每隔5年相应的人口数。 以例题中计算的2020年我国的人口数16亿为基准。
x y ? 16 ? 1.02 . 这时函数模型是 5 y ? 16 ? 1.02 ? 18(亿) ; 2025年的人口数是 10 y ? 16 ? 1.02 ? 20(亿) ; 2030年的人口数是

2035年的人口数是 y ? 16 ?1.0215 ? 22(亿); 20 y ? 16 ? 1.02 ? 24(亿) ; 2040年的人口数是 2045年的人口数是 y ? 16 ?1.0225 ? 26(亿); 30 y ? 16 ? 1.02 ? 29(亿); 2050年的人口数是 2055年的人口数是 y ? 16 ?1.0235 ? 32(亿);

2065年的人口数是 y ? 16 ?1.0245 ? 39(亿);

2060年的人口数是 y ? 16 ?1.0240 ? 32(亿);

2070年的人口数是 y ? 16 ?1.0250 ? 43(亿); 2075年的人口数是 y ? 16 ?1.0255 ? 48(亿); 2085年的人口数是 y ? 16 ?1.0265 ? 58(亿); 2080年的人口数是 y ? 16 ?1.0260 ? 52(亿); 2090年的人口数是 y ? 16 ?1.0270 ? 64 (亿); 2095年的人口数是 y ? 16 ?1.0275 ? 71(亿);

(亿) ; 2100年的人口数是 y ? 16 ?1.0280 ? 78

(3)你看到人口的增长成什么趋势? 我们使用软件画出函数 f ( x) ? 16 ?1.02 x 的图象 从这个图象上可以看出

随着x的增大,函数值的
增长非常迅速,呈现一 种“爆炸式”的增长趋 势。

(4)你是如何看待我国的计划生育政策的? 计划生育是我国的基本国策,是千年大计!

1.某工厂现在的年利润是1000万元, 该工厂年利润的增长率是20%, 则10年后该工厂的年利润y= 1000 ?1.210 ? 6192(万元).

求下列函数的定义域与值域 1
x ?4 y ? 2 (1) ;

(2)

2 | x| y ? ( ) 3
x x ?1
x

(3) y ? 4 ? 2

; ?1;

【分析】由于指数函数 y ? a (a ? 0 且 a ? 1) 的 f ( x) y ? a R 定义域是 ,所以函数 (a ?0且 a ? 1 )与函数 f ( x) 的定义域相同.利用指 数函数的单调性求值域.

(1)令 x ? 4 ? 0, 得 x ? 4

?定义域为 {x | x ? R, 且 x ? 4} .
1 ? ? 0,? 2 x ? 4 ? 1 , x ?4
1
1 x ?4

}. 的值域为 { y | y ? 0, 且 y ? 1 (2)定义域为 x ? R .
∴y?2
? | x | ≥0,
2 | x| 3 | x| 3 0 ?y ?( ) ?( ) ( ) 3 2 ≥ 2
? 1



y ? (

2 | x| ) 3

的值域为 { y | y ≥ 1} .

(3)定义域为 x ? R .
?y ?4 ?2
x
x 2

x ?1
x

?1
x 2

? (2 ) ? 2 ? 2 ? 1 ? (2 ? 1) ,
x 2 且 ? 0,? y ? 1 .

故 y ?4 ?2 域为 { y | y ? 1} .
x

x ?1

?1 的 值

【小结】求与指数函数有关的函数的值域时, 要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要 求,并利用好指数函数的单调性.

解下列不等式:

(1) 2 ? 4
x

x ?1
2x ? 4

(2) a

3x ?1

?a

(a ? 0,a ? 1)

分析:根据指数函数的单调性把指数不等式转化为代数 不等式。

解:(1)由 2 x ? 4 x ?1 ,得
根据指数函数的单调性得 解这个不等式得

2 x ? 22 x ? 2 ,

x ? 2 x ? 2.

x ? ?2.

(2)当0<a<1时,根据指数函数的单调性得不等式 3x-1≥2x-4 解这个不等式得x≥-3. 当a>1时,根据指数函数的单调性得不等式3x-1≤2x-4 解这个不等式得x≤-3. 所以,当0<a<1时,不等式的解是x≥-3; 当a>1时,不等式的解是x≤-3.

【点评】本题的不等式通常称为指数不等式,解这类不 等式的基本方法是根据指数函数的单调性转化为代数不 等式,在底数不确定时要注意分类讨论。

练习
x M ? { y | y ? 2 }, P ? { y | y ? x ? 1} , (1) 若集合

则 M∩P=(C ) A. { y | y ? 1} B. { y | y ? 1} C. { y | y ? 0} D. {y | y ? 0} (2)不等式 6 是 ?x ? 2 ? x ? 1?
x 2 ? x ?2

?1 的 解 集 。

观察图像,发现图 像与底的关系
?1? y?? ? ? 2?
x

y

在第一象限 沿箭头方向 底增大
y ? 3x y ? 2x

?1? y?? ? ? 3?

x

底互为倒数的 两个函数图像 关于y轴对称
1 0
?1? y?? ? ? 3?
x

?1? y?? ? ? 2?

x

x

练习

如图是指数函数 ① y=ax ② y=bx
③ y=cx ④ y=dx 的图象,则 a,b,c,d 的大小关 系( B ) y
6

A .a b 1 c d B .b a 1 d c

② ①

5.5

5


c d a b

4.5

4

3.5

3



2.5

C .1 a b c d
D .a b 1 d c
-4 -3 -2 -1

2

1.5

1

0.5

o
-0.5

1

2

3

4

x
5

结论:y=ax(a>1)时底数a的值越大y=ax 的图象就越靠近y轴;当(1>a>0)则相反

指数函数图象的变换 1.说明下列函数图象与指数函数y=2x的 图象关系,并画出它们的图象:

(1) y ? 2

x ?1

, y?2

x?2

;

(2) y ? 2
x

x ?1

, y?2

x?2
x

;

(3) y ? 2 ? 1, y ? 2 ? 1.

(1) y ? 2
x

x ?1

,y?2

x?2

作出图象,显示出函数数据表 -3
x

-2

-1

0

1 2 4

2 4

3 8

y?2

0.125 0.25 0.5 1 0.25 0.5 1 2

y?2 y?2

x ?1

8 16

x?2

0.5

1

2

4

8 16 32

比较函数
y?2
x

y
9 8 7 6 5 4 3 2

y?2 y?2

x ?1 x?2

的图象关系 .

1
-4 -2

O

2

4

x

比较函数
y?2
x

y
9 8 7 6 5 4 3 2

y?2 y?2

x ?1 x?2

的图象关系 .

1
-4 -2

O

2

4

x

比较函数
y?2
x

y
9 8 7 6 5 4 3 2

y?2 y?2

x ?1 x?2

的图象关系 .

1
-4 -2

O

2

4

x

(2) y ? 2
x

x ?1

,y?2

x?2

作出图象,显示出函数数据表
-3
x

-2 0.25
0.125

-1 0.5
0.25

0 1
0.5

1 2
1

2 3 4 8
2 4

y?2
y?2

0.125
0.0625

x ?1

y?2

x?2

0.03125 0.0625 0.125 0.25 0.5 1 2

比较函数
y?2
y?2
x
x ?1

y
9 8 7 6 5 4 3 2

y?2

x?2

的图象关系 .

1
-4 -2

O

2

4

x

比较函数
y?2
y?2
x
x ?1

y
9 8 7 6 5 4 3 2

y?2

x?2

的图象关系 .

1
-4 -2

O

2

4

x

比较函数
y?2
y?2
x
x ?1

y
9 8 7 6 5 4 3 2

y?2

x?2

的图象关系 .

1
-4 -2

O

2

4

x

(3) y ? 2 ? 1, y ? 2 ? 1.
x x

(3) y ? 2 ? 1, y ? 2 ? 1. y
x x

比较函数
y?2
x
x

9 8 7 6 5 4 3 2

y ? 2 ?1

y ? 2 ?1
x

的图象关系 .
-4 -2

1 O
2 4

x

(3) y ? 2 ? 1, y ? 2 ? 1. y
x x

比较函数
y?2
x
x

9 8 7 6 5 4 3 2

y ? 2 ?1

y ? 2 ?1
x

的图象关系 .
-4 -2

1 O
2 4

x

(3) y ? 2 ? 1, y ? 2 ? 1. y
x x

比较函数
y?2
x
x

9 8 7 6 5 4 3 2

y ? 2 ?1

y ? 2 ?1
x

的图象关系 .
-4 -2

1 O
2 4

x

例: 说明下列函数的图象与指数函数y=2x的图象的关系,并画 出他们的图象: ⑴ y=2x+1 ⑵ y=2x-2
可知将y=2x的图象向左平移一个单位,就得到y=ax+1的图象同理可知 将y=2x的图象向右平移两个单位,就得到y=ax-2的图象,为什么?

图象如下:

y
4
3 2 y=2x+1 Y=2x

1
-2 -1 0 1 2 3

x

思考题:

怎样由y=2x的图象得到y=1+2x的图象。

y ? a ?? ? ? ? ? ? ?? y ? a
x x x x

向左平移 b ?b ? 0 ?个单位长度 向右平移 b ?b ? 0 ?个单位长度 向上平移 b ?b ? 0 ?个单位长度 向下平移 b ?b ? 0 ?个单位长度

x ?b x -b x x

y ? a ?? ? ? ? ? ? ?? y ? a

y ? a ?? ? ? ? ? ? ?? y ? a ? b y ? a ?? ? ? ? ? ? ?? y ? a ? b

作业
1、完成课本P59习题2.1—A组 5、6、9题, 2、完成课本60页2、3、4


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