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2.2.2双曲线的简单几何性质


2.2.2 双曲线的简单几何性质
1.双曲线 -y2=1 的离心率是( 4 A. 3 2 B. 5 2 C.

x2

) 5 4 D. 3 2

解析:选 B.∵a2=4,b2=1,∴c2=5.∴e= = 2.双曲线 - =1 的焦点到渐近线的距离为( 4 12 A.2 3 B.2 C. 3

/>c a

5 . 2 ) D.1

x2

y2

解析:选 A.双曲线 - =1 的焦点为(4,0)、(-4,0).渐近线方程为 y=± 3x.由双曲线 4 12 的对称性可知,任一焦点到任一渐近线的距离相等.d= |4 3+0| =2 3. 3+1

x

2

y

2

x2 y2 b2+1 3.(2011 年抚顺市六校联考)若双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)的离心率是 2,则 的最小 a b 3a
值为( 2 3 A. 3 ) B. 3 3 C.2 D.1

c 3a2+1 1 解析: 选 A.由 e=2 得, =2, 从而 b= 3a>0, 所以 =a+ ≥2 a 3a 3a
当且仅当 a=

a· =2 3a

1

1 2 3 = , 3 3

1 3 ,即 a= 时,“=”成立.故选 A. 3a 3 2 2 x y 1 4.若双曲线 - 2=1(b>0)的渐近线方程为 y=± x,则 b 等于________. 4 b 2

x2 y2 x2 y2 b 解析:双曲线 - 2=1 的渐近线方程为 - 2=0,即 y=± x(b>0),∴b=1.答案:1 4 b 4 b 2
一、选择题 1.下面双曲线中有相同离心率,相同渐近线的是( A. -y2=1, - =1 3 9 3

)

x

2

x

2

y

2

B. -y2=1,y2- =1 3 3

x

2

x2

C.y2- =1,x2- =1 D. -y2=1, - =1 3 3 3 3 9 解析: 选 A.B 中渐近线相同但 e 不同; C 中 e 相同, 渐近线不同; D 中 e 不同, 渐近线相同. 故 选 A.

x2

y2

x2

y2 x2

x2 y2 2.若双曲线 2- =1(a>0)的离心率为 2,则 a 等于( a 3
A.2
2

) D.1

B. 3

C.

3 2

c a2+3 解析:选 D.∵c= a +3,∴ = =2,∴a=1. a a
1

3. 双曲线与椭圆 4x2+y2=64 有公共的焦点, 它们的离心率互为倒数, 则双曲线方程为( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 A.y -3x =36 B.x -3y =36 C.3y -x =36 D.3x -y =36 2 2 x y 3 解析:选 A.椭圆 4x2+y2=64 即 + =1,焦点为(0,±4 3),离心率为 ,所以双曲线 16 64 2 2 的焦点在 y 轴上,c=4 3,e= ,所以 a=6,b2=12,所以双曲线方程为 y2-3x2=36. 3

x2 y2 4.(2011 年高考湖南卷)设双曲线 2- =1(a>0)的渐近线方程为 3x±2y=0,则 a 的值为 a 9
( ) A.4 C.2 D.1 3 9 ? 3? 解析: 选 C.渐近线方程可化为 y=± x.∵双曲线的焦点在 x 轴上, ∴ 2=?± ?2, 解得 a=±2. 2 a ? 2? 由题意知 a>0,∴a=2. B.3

x2 y2 y2 2 5. (2011 年高考浙江卷)已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)与双曲线 C2: x - =1 有公共的焦点, a b 4 C2 的一条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A,B 两点,若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则
( ) 13 1 B.a2=13 C.b2= D.b2=2 2 2 解析:选 C.由题意知,a2=b2+5,因此椭圆方程为(a2-5)x2+a2y2+5a2-a4=0,双曲线的一 条渐近线方程为 y=2x,联立方程消去 y,得(5a2-5)x2+5a2-a4=0,∴直线截椭圆的弦长 d a4-5a2 2 11 1 = 5×2 = a,解得 a2= ,b2= . 2 5a -5 3 2 2 A.a2=

x2 y2 2 2 6.(2011 年高考山东卷)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 C:x +y -6x a b +5=0 相切,且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为( ) x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
A. - =1 5 4 B. - =1 4 5 C. - =1 3 6 D. - =1 6 3

x2 y2 b 解析:选 A.∵双曲线 2- 2=1 的渐近线方程为 y=± x,圆 C 的标准方程为(x-3)2+y2=4, a b a ∴圆心为 C(3,0).又渐近线方程与圆 C 相切,即直线 bx-ay=0 与圆 C 相切, 3b x2 y2 ∴ 2 2=2,∴5b2=4a2.①又∵ 2- 2=1 的右焦点 F2( a2+b2,0)为圆心 C(3,0), a b a +b x2 y2 2 2 2 2 ∴a +b =9.②由①②得 a =5,b =4.∴双曲线的标准方程为 - =1.
5 4 二、填空题

x2 y2 3 7.若双曲线 - =1 的渐近线方程为 y=± x,则双曲线的焦点坐标是________. 4 m 2
解析:由渐近线方程为 y=± 答案:(± 7,0) 8.已知双曲线 2- 2=1 的离心率为 2,焦点与椭圆 点坐标为________;渐近线方程为________.
2

m
2

x=±

3 x,得 m=3,c= 7,且焦点在 x 轴上. 2

x2 y2 a b

+ =1 的焦点相同,那么双曲线的焦 25 9

x2

y2

解析: ∵双曲线的焦点与椭圆的焦点相同, ∴c=4.∵e= =2, ∴a=2, ∴b2=12, ∴b=2 3. ∵焦点在 x 轴上,∴焦点坐标为(±4,0),渐近线方程为 y=± x, 即 y=± 3x,化为一般式为 3x±y=0.答案:(±4,0) 3x±y=0

c a

b a

9.(2011 年高考辽宁卷)已知点(2,3)在双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)上,C 的焦距为 4,则 它的离心率为________. 4 9 解析:由题意知 2- 2=1,c2=a2+b2=4 得 a=1,b= 3,∴e=2.答案:2

x a

2

y b

2

a

b

三、解答题 10.求以椭圆 + =1 的两个顶点为焦点,以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程,并求此双曲 16 9 线的实轴长、虚轴长、离心率及渐近线方程. 解:椭圆的焦点 F1(- 7,0),F2( 7,0),即为双曲线的顶点. ∵双曲线的顶点和焦点在同一直线上,∴双曲线的焦点应为椭圆长轴的端点 A1( - 4,0) ,

x2

y2

x2 y2 A2(4,0),所以 c=4,a= 7,∴b= c2-a2=3,故所求双曲线的方程为 - =1.
7 9 实轴长为 2a=2 7,虚轴长为 2b=6,离心率 e= =

c 4 7 3 7 ,渐近线方程为 y=± x. a 7 7

11.求中心在原点,对称轴为坐标轴,且满足下列条件的双曲线方程: (1)双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为( 3,0); 10 (2)双曲线过点(3,9 2),离心率 e= . 3

x2 y2 解:(1)设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0).由已知得 a= 3,c=2,再由 a2+b2=c2,得 a b x2 2 2 b =1.故双曲线 C 的方程为 -y =1.
3 10 c 10 (2)e2= ,得 2= ,设 a2=9k(k>0),则 c2=10k,b2=c2-a2=k. 9 a 9
2

x2 y2 y2 x2 于是,设所求双曲线方程为 - =1①或 - =1②把(3,9 2)代入①,得 k=-161 与 k>0 9k k 9k k y2 x2 矛盾,无解;把(3,9 2)代入②,得 k=9,故所求双曲线方程为 - =1.
81 9 12.已知双曲线 C:2x -y =2 与点 P(1,2). (1)求过点 P(1,2)的直线 l 的斜率 k 的取值范围,使 l 与 C 只有一个交点; (2)是否存在过点 P 的弦 AB,使 AB 的中点为 P? 解:(1)设直线 l 的方程为 y-2=k(x-1), 代入双曲线 C 的方程,整理得 (2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0(*) ①当 2-k2=0,即 k=± 2时,直线与双曲线的渐近线平行,此时只有一个交点. 3 ②当 2-k2≠0 时,令 Δ =0,得 k= .此时只有一个公共点. 2 又点(1,2)与双曲线的右顶点(1,0)在直线 x=1 上,而 x=1 为双曲线的一条切线.
3
2 2

∴当 k 不存在时,直线与双曲线只有一个公共点. 3 综上所述,当 k=± 2或 k= 或 k 不存在时,l 与 C 只有一个交点. 2 (2)假设以 P 为中点的弦 AB 存在,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2 是方程(*)的两根, 2? k2-2k? 则由根与系数的关系,得 =1,∴k=1. 2? k2-2? ∴这样的弦存在,方程为 y=x+1(-1≤x≤3), 即 x-y+1=0(-1≤x≤3).

4


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