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相似三角形


相似三角形

蓦然回首
1、什么叫做全等三角形?
能够完全重合的两个三角形叫做全等三 角形。(如右图△ABC≌DEF)
B

A

C E A B C E D A1

D

F

2、全等三角形的对应边、对应角之间各 有什么关系?


F

对应边相等、对应角相等。
3、什么叫做相似多边形?什么叫做相似 多边形的相似比?
对应角相等,对应边成比例的两个多边形叫 相似多边形,对应边的比叫做相似比。
F1

B1

C1 E1

D1

探究新知
定义:对应角相等、对应边成比例的 三角形叫做形状相同的图形,即相似 三角形。
表示法:∽,读作“相似于”
相似比:相似三角形对应边的比k叫做相似比或 相似系数(求相似三角形的相似比要注意顺序性) 如右图所示:△ABC相似于△DEF就可表示为 △ABC∽△DEF 对应顶点一定要写在对应位置,这样可以准 确地找出相似三角形的对应角和对应边。
B

A

C

D

F

E

在相似三角形中,对应边的比叫作这两 相似比: 个三角形的相似比.如△ABC~△DEF中 , A C E B

D

F 那么:则△ ABC 与 △ DEF的
2 相似比就是 。 3 思考:△ DEF 与 △ ABC的相 2 3 似比是多少呢?也是 吗? ( ) 3 2

AC 2 BC AB 2 ? ? 如果 DF 3 DE EF 3

思考:
当相似比为1是, 这两个三角形有什 么关系?

注意:相似比具有顺序性噢!

想一 想
1、如图所示如果△ADE∽△ABC,那么哪些角是对应 角?哪些边是对应边?对应角有什么关系?对应边 呢?

对应角相等、对应边成比例
E

C

2、如果△ABC∽△A1B1C1, △A1B1C1∽△A2B2C2,那么 △ABC与△A2B2C2相似吗?为什么?由此可得相似三角形 有什么性质?
A D B

相似三角形具有传递性

D

【1】两个全等三角形一定相似吗?为什么?它与相似三角 A 形有什么关系?
C B 两个全等三角形的对应边相等,对应角相等,由对应边相等可知对应 E F 边一定成比例,且相似比为1,因此满足相似三角形的两个条件,所以 两个全等三角形一定相似。全等三角形是相似三角形的特殊形式!

因为两个等腰直角三角形 Rt△ABC和Rt△DEF , ∠A=∠D=900,则∠B=∠E=∠C=∠F=450,所以有∠A=∠D, 【2】两个直角三角形一定相似吗?两个等腰直角三角形呢? ∠B=∠E, 为什么? ∠C=∠F.
1、所有的直角三角形不都相似,如左图中的两 设△ABC中AB=a, △DEF中DE=b,则 AB=AC=a,BC=个直角三角形就不相似; 2 b,则 2 a,DE=DF=b,EF= 2、所有的等腰直角三角形都相似。因为每个等
腰直角三角形中都有一个直角,两个45°的角, AB AC BC 2 ? ? 且两条直角边相等,斜边等于直角边的 倍,所 DE DF EF 以任意两个等腰直角三角形的对应角相等,对应 边成比例。因此所有的等腰直角三角形都相似。

【3】两个等腰三角形一定相似吗?两个等边三角形 呢?为什么?

所有的等边三角形都相似。因为每个等边三角形的角都等于60°,且 三边都相等,所以任两个等边三角形的对应角相等,对应边成比例。 因此所有的等边三角形都相似.

【1】两个全等三角形一定相似 【2】两个等腰直角三角形一定相似 【3】两个等边三角形一定相似

【4】两个直角三角形和两个等腰 三角形不一定相似

运用知识,拓展思维
例1:有一块呈三角形形状的草坪,其中一边的长是 20m,在这个草坪的图纸上,这条边长5cm,其他两边 的长都是3.5cm,求该草坪其他两边的实际长度。
解:设其他两边的实际长度都是xcm,则 思考下列问题:1、草坪的形状与其图纸上相应的形状

x 400 是否相似? 2.它们的相似比是多少?5 ? 1 X=3.5×400=1400cm=14m 3.
答:草坪其他两边的实际长度都是14m

例 2 : 如 图 , 已 知 △ ABC∽ADE , AE=50cm ,20m EC=30cm , BC=70cm , ∠BAC=450 ,∠ACB=400 ,求⑴∠ADE 和∠AED的度数;⑵DE的长
A

C

5cm E 5cm

400

450
D


B

解:⑴因为△ABC∽ADE,所以由相似三角 C 形对应角相等,得∠AED=∠ACB=400 。而在 E △ ADE 中 ∠ AED+∠ADE+∠A=1800 , 所 以 ∠ADE=1800-400-450=950

⑵因为△ABC∽△ADE,,所以由相似三角 B A D 形对应边成比例,得AE:AC=DE:BC,即50 (50+30)=DE:70,所以DE=43.75cn
想一想:在上述的条件下,图中有哪些线段成比例? 线段DE与BC平行吗?为什么?
AE AD DE AE AD EC DB ? ? , ? , ? AC AB BC EC DB AC AB

例题欣赏

?

例1、如图,已知△ ABC∽ △ADE,AE=50cm, EC=30cm,BC=70cm,∠BAC=45°,∠ACB=40°. (1)求∠AED和∠ADE的大小; (2)求DE的长。 解:(1)因为△ ABC∽ △ADE 30cm C400 所以: ∠AED=∠ACB=40° E 在△ADE中, 50cm 70cm ∠ADE+ ∠AED+ ∠A=180° 450 即: ∠ADE+ 40° + 45° =180°A B D 所以 ∠ADE=95°

例题欣赏
例2、如图,已知△ ABC∽ △ADE,AE=50cm, EC=30cm,BC=70cm,∠BAC=45°,∠ACB=40°. (1)求∠AED和∠ADE的大小; (2)求DE的长。
解:(2)因为△ ABC∽ △ADE
AE DE , 所以: ? AC BC 50cm 50 DE 即 ? A 450 D 50 ? 30 70 50 ? 70 所以DE ? ? 43.75cm 50 ? 30

C E 30cm 400 70cm B

随堂练习,巩固新知
一、在下面的两组图形中,各有两个相似三角形,试确 定x、y、m、n的值
n0

x

33 30
48

3a 450 800

2a

550

y

450 m0

二、请同学们细心判一判
1、如果两个三角形全等,则它们必相似。 √ 2、若两个三角形相似,且相似比为1,则它 √ 们必全等。 3、如果两个三角形与第三个三角形 相似,则这两个三角形必相似。

√ ×

4、相似的两个三角形一定大小不等。

试一试身手
一、填 一填 : 1、如果两个三角形的相似比为1,那么这两个三角形 全等 _____ 2、若△ABC与△A′B′C′相似,一组对应边的长为 AB=3 cm,A′B′=4 cm,那么△A′B′C′与△ABC的 4︰3 相似比是____ 3、若△ABC的三条边长的比为3cm、5cm、6cm,与其相 似的另一个△A′B′C′的最小边长为12 cm,那么 24cm A′B′C′的最大边长是_____4、已知△ABC的三条边 长3cm,4cm,5cm,△ABC∽△A1B1C1,那么△A1B1C1的形状 直角三角形 是______,又知△A1B1C1的最大边长为25cm,那么 △A1B1C1的面积为 150cm2

二、认真选一选 1、下列命题错误的是( B ) A.两个全等的三角形一定相似 B.两个直角三角形一定相似 C.两个相似三角形的对应角相等,对应边成比例 D.相似的两个三角形不一定全等 2、若△ABC∽△DEF,它们的周长分别为6 cm和8 cm,那么下式 中一定成立的是( D ) A.3AB=4DE B.4AC=3DE C.3∠A=4∠D D.4(AB+BC+AC)=3(DE+EF+DF) 3、若△ABC与△A′B′C′相似,∠A=55°,∠B=100°,那么 ∠C’的度数是( C) A.55° B.100° C.250 D.不能确定 4、把△ABC的各边分别扩大为原来的3倍,得到△A′B′C′, 下列结论不能成立的是( D ) A.△ABC∽△A′B′C′B.△ABC与△A′B′C′的各对应角相等 1 C.△ABC与△A′B′C′的相似比为 D.△ABC与△A′B′C′的相 1 4 似比为 3

我们学了些什么?

相 似 三 角 形

?

定义

?

对应角相等 对应边成比例

表示法:



相似比: 对应边的比

谢谢各位


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