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1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质


高一一部数学教学案 · 编制:

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时间:2012.**.**

课前预习案

§1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质
班级 姓名 学号 .

NO. 0** -①

一、杨辉三角的特点 1.在同一行中每行两端都是 1,与这两个 1 等距离的

项的系数_____. 2. 在 相 邻 的 两 行 中 , 除 1 外 的 每 一 个 数 都 等 于 它 “ 肩 上 ” 两 个 数 的 和 , 即 。 二、二项式系数的性质 1.对称性:在(a+b)n 展开式中,与首末两端“_______”的 两个二项式系数相等,即 2.增减性与最大值 (1)增减性: 当________时,二项式系数是逐渐增大的; 当_________时,二项式系数是逐渐减小的. (2)最大值: 当 n 为偶数时,中间一项的二项式系数___ 。

取得最大;

当 n 为奇数时,中间两项的二项式系数____,____相等,且同时取得最大值. 3.各二项式系数的和:
1 2 n C0 n ? Cn ? Cn ??? Cn ? __.
2 4 1 3 5 C0 n ? Cn ? Cn ??? Cn ? Cn ? Cn ??? ____.

判断:(正确的打“√” ,错误的打“×”) (1)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项是相同的.( (2)二项式展开式的二项式系数和为 C1 n (3) f
n ? C2 n ??? Cn .

) ( )

? k ? ? Ck n ? k ?{0,1,2?,n}? ,
2

则直线 k ? n 将函数 f(k)的图象分成

2

对称的两部分由此可以得出,当 k ? n 时 Ck 最大.( n

)

1

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类型一 与杨辉三角有关的问题 【典型例题 1】 (2013·南充高二检测)如图所示,满足如下条件: (1)第 n 行首尾两数均为 n. (2)表中的递推关系类似杨辉三角.

则第 10 行的第 2 个数是______. 【跟踪训练 1】

第 n 行的第 2 个数是______.

(1)如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第______行中从左到右第 14 与第 15 个数的比为 2∶3.

(2)如图所示,在杨辉三角中,斜线 AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的 数 列 : 1,2,3,3,6,4,10 , ? , 记 这 个 数 列 的 前 n 项 和 为 S(n) , 则 S(16) 等 于 。

类型二 求二项展开式的系数和 【典型例题 2】 1.(2013·哈尔滨高二检测)若

2 (x ? ) n x
) C.第 5 项

的展开式中各项系数

和为 99-n,则展开式中系数最大的项为( A.第 3 项 B.第 4 项

D.第 6 项

2.(2x-1)10 展开式中 x 的奇次幂项的系数之和为______.
2

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3.设(1-2x)2 013=a0+a1x+a2x2+?+a2 013x2 013(x∈R). (1)求 a0 的值. (2)求 a1+a2+a3+?+a2 013 的值. (3)求 a1+a3+a5+?+a2 013 的值. (4)求|a0|+|a1|+|a2|+?+|a2 013|的值.

【跟踪训练 2】 若(1+x)6(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+?+a11x11,求 (1)a1+a2+a3+?+a11. (2)a0+a2+a4+?+a10.

类型三 二项式系数性质的应用 【典型例题 3】 1. (x 3

?

1 n * ) (n ? N ) 2 x

的展开式中的所有二项式系数之和为 128,则开式

中二项式系数最大的项是_______. 2.(x+2y)7 展开式中系数最大的项为_______.

3.在(x-y)11 的展开式中,解答下列问题: (1)通项 Tk+1. (2)二项式系数最大的项. (3)项的系数绝对值最大的项. (4)项的系数最大的项. (5)项的系数最小的项. (6)二项式系数的和. (7)各项系数的和.

3

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§1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质

课后拓展案 课后拓展案
1.在(a+b)n 的展开式中,第 2 项与第 6 项的二项式系数相等,则 n=( A.6 B.7 C.8 D.9 )

NO. 0** -③
)

2.已知(a+b)n 展开式中只有第 5 项的二项式系数最大,则 n 等于( A.11 3.若 (x A.10 4.设 (5x ? 和为 N,若 B.10 C.9 D.8

1 ? ) n 展开式的二项式系数之和为 64,则展开式中的常数项 x
B.20 C.30 D.120

为(

)

1 n ) x

的展开式的各项系数之和为 M,二项式系数之

M ? 32, N

则展开式中 x2 的系数为______.

5.已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5. (1)求 a0+a1+a2+?+a5. (2)求|a0|+|a1|+|a2|+?+|a5|. (3)求 a1+a3+a5.

6.已知在

( x?

13 n x )的展开式中,只有第 2

6 项的二项式系数最大.求展

开式中系数绝对值最大的项和系数最大的项.

4


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