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2014高考数学“拿分题”训练(知识整合+方法技巧+例题分析):分类讨论思想在解题中的应用


2014 高考数学“拿分题”训练:分类讨论思想在解题中的应用 一、知识整合 1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法,也是一种数学思想,这种思想对于 简化研究对象,发展人的思维有着重要帮助,因此,有关分类讨论的数学命题在 高考试题中占有重要位置。 2.所谓分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研 究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各 类结果得到整个问题 的解答。实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积 零为整”的数学策略。 3.分类原则:分类对象确定 ,标准统一,不重复,不遗漏,分层次,不越级 讨论。 4.分类方法:明确讨论对象,确定对象的全体,确定分类标准,正确进行分 类;逐类进行讨论,获取阶段性成果;归纳小结,综合出结论。 5.含参数问题的分类讨论是常见题型。 6.注意简化或避免分类讨论。 二、例题分析 例 1.一条直线过点 (5, 2) , 且在 x 轴, y 轴上截距相等, 则这直线方程为 ( A. x ? y ? 7 ? 0 C. x ? y ? 7 ? 0或 2 x ? 5 y ? 0 B. 2 x ? 5 y ? 0 D. x ? y ? 7 ? 0或 2 y ? 5x ? 0 ) 分析:设该直线在 x 轴,y 轴上的截距均为 a, 2 当 a=0 时,直线过原点,此时直线方程为 y ? x,即 2 x ? 5 y ? 0 ; 5 x y 当 a ? 0 时,设直线方程为 ? ? 1,则求得a ? 7 ,方程为 x ? y ? 7 ? 0 。 a a 1 5 例 2. ?ABC中,已知 sin A ? , cos B ? ,求 cos C 2 13 [来源:学科网] 分析: 由于C ? ? ? ( A ? B) ? cos C ? ? cos( A ? B) ? ??cos A cos B ? sin A ? sin B? 因此,只要根据已知条件,求出 cosA,sinB 即可得 cosC 的值。但是由 sinA 求 cosA 时,是一解还是两解?这一点 需经过讨论才能确定,故解本题时要分类讨 论。对角 A 进行分类。 解 ? 0 ? cos B ? 5 2 12 ? ,且B为?ABC的一个内角 ? 45? ? B ? 90 ? ,且 sin B ? 13 2 13 : 若A为锐角,由 sin A ? 若A为钝角,由 sin A ? 1 3 ,得A ? 30 ? ,此时 cos A ? 2 2 1 ,得A ? 150 ? ,此时A ? B ? 180 ? 2 这与三角形的内角和为 180°相矛盾。 可见A ? 150 ? ? cos C ? cos?? ? ( A ? B)? ? ? cos( A ? B) ? 3 5 1 12 ? 12 ? 5 3 ? ? ? ?? ? ??cos A ? cos B ? sin A ? sin B? ? ? ? 2 13 2 13 ? 26 ? 例 3.已知圆 x +y =4,求经过点 P(2,4) ,且与圆相切的直线方程。 分析:容易想到设出直线的点斜式方程 y-4 =k(x-2)再利用直线与圆相切的充 要条件: “圆心到切线的距离等于圆的半径” , 待定斜率 k, 从而得到所求直线方程, 但要注意到:过点 P 的直线中,有斜率不存在的情形,这种情形的直线是否也满 足题意呢?因此本题对过点 P 的直线分两种情形: (1)斜率存在时,?(2)斜率 不存在? 解(略) :所求直线方程为 3x-4y+10=0 或 x=2 1 例

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