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离散型随机变量的方差


山东省无棣县第一高级中学

张雪松

一、复习回顾
1、离散型随机变量的数学期望

X P

x1

p1

p2

x2

· · · xi · · · pi

· · · xn · ·

· pn

EX ? x1 p1 ? x2 p2 ? ?? xi pi ? ?? xn pn
数学期望是反映离散型随机变量的平均水平

2、数学期望的性质

E (aX ? b) ? aEX ? b

三、如果随机变量X服从两点分布为
X 1 0

P

p

1- p



EX ? p

四、如果随机变量X服从二项分布,即 X~ B(n,p),则

EX ? np

二、互动探索
某人射击10次,所得环数分别是:1,1,1,1, 2,2,2,3,3,4;则所得的平均环数是多少?
1?1?1?1? 2? 2? 2? 3? 3? 4 X? 10 4 3 2 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 2 10 10 10 10
X P 1
4 10

2
3 10

3
2 10

4
1 10

某人射击10次,所得环数分别是:1,1,1,1, 2,2,2,3,3,4;则这组数据的方差是多少? 反映这组数据相对于平均值的集中程度的量 1 2 2 2 2 s ? [( x1 ? x ) ? ? ? ( xi ? x ) ? ? ? ( xn ? x ) ] n
1 2 2 2 2 2 s ? [(1 ? 2) ? (1 ? 2) ? (1 ? 2) ? (1 ? 2) ? ( 2 ? 2) 10 加权平均 ? ( 2 ? 2) 2 ? ( 2 ? 2) 2 ? ( 3 ? 2) 2 ? ( 3 ? 2) 2 ? ( 4 ? 2) 2 ] ? 1
2

4 3 2 1 2 2 2 s ? ? (1 ? 2) ? ? ( 2 ? 2) ? ? ( 3 ? 2) ? ? (4 ? 2)2 10 10 10 10
2

离散型随机变量取值的方差 一般地,若离散型随机变量X的概率分布为:

X P
则称
n

x1

p1

p2

x2

· · · xi · · · pi

· · · xn · · · pn

DX ? ( x1 ? EX )2 p1 ? ?? ( xi ? EX )2 pi ? ?? ( xn ? EX )2 pn

? ? ( xi ? EX ) pi 为随机变量X的方差。
2

称 ?X ?

i ?1

DX 为随机变量X的标准差。

它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平 均程度的量,它们的值越小,则随机变量偏离 于均值的平均程度越小,即越集中于均值。

三、基础训练
1、已知随机变量X的分布列 X P 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1

求DX和σX。 解: EX ? 0 ? 0.1 ? 1 ? 0.2 ? 2 ? 0.4 ? 3 ? 0.2 ? 4 ? 0.1 ? 2

DX ? (0 ? 2) ? 0.1 ? (1 ? 2) ? 0.2 ? ( 2 ? 2) ? 0.4
2 2 2

? ( 3 ? 2)2 ? 0.2 ? (4 ? 2)2 ? 0.1 ? 1.2

?X ? DX ? 1.2 ? 1.095

2、若随机变量X满足P(X=c)=1,其中c为 常数,求EX和DX。

解: 离散型随机变量X的分布列为:
X P c 1

EX=c×1=c DX=(c-c)2×1=0

四、方差的应用
例:甲、乙两名射手在同一条件下射击,所得环数 X1, X2分布列如下: X1 P 8 0.2 9 0.6 10 0.2 X2 P 8 0.4 9 0.2 10 0.4

用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。

解:EX 1 ? 9, EX 2 ? 9

DX1 ? 0.4, DX2 ? 0.8

表明甲、乙射击的平均水平没有差别,在多次射击中 平均得分差别不会很大,但甲通常发挥比较稳定,多 数得分在9环,而乙得分比较分散,近似平均分布在8 -10环。

X1 P

8 0.2

9 0.6

10 0.2

X2 P

8 0.4

9 0.2

10 0.4

EX 1 ? 9, EX 2 ? 9

DX1 ? 0.4, DX2 ? 0.8

问题1:如果你是教练,你会派谁参加比赛呢? 问题2:如果其他对手的射击成绩都在8环左右, 应派哪一名选手参赛? 问题3:如果其他对手的射击成绩都在9环左右, 应派哪一名选手参赛?

练习:有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能 获得如下信息:
甲单位不同职位月工 资X1/元 获得相应职位的概 率P1 乙单位不同职位月工 资X2/元 获得相应职位的概 率P2 1200 0.4 1000 0.4 1400 0.3 1400 0.3 1600 1800 0.2 0.1

1800 2200 0.2 0.1

根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位?

解:EX 1 ? 1400 , EX 2 ? 1400

DX1 ? 40000, DX 2 ? 160000
在两个单位工资的数学期望相等的情况下, 如果认为自己能力很强,应选择工资方差大 的单位,即乙单位;如果认为自己能力不强, 就应选择工资方差小的单位,即甲单位。

五、几个常用公式:

D(aX ? b) ? a DX
2

若X服从两点分布,则 DX ? p(1 ? p)

若X ~ B(n, p),则DX ? np(1 ? p)

相关练习:

1 1、 已 知 ? ? 3? ? , 且D? ? 13, 则D? ? 117 8

2、已知 X~B(n, p),EX ? 8, DX ? 1.6, 则n ?10 , p ?0.8
3、有一批数量很大的商品,其中次品占 1%,现从中任意地连续取出200件商品, 设其次品数为X,求EX和DX。 2,1.98

六、课堂小结
1、离散型随机变量取值的方差、标准差及意义 2、记住几个常见公式

D(aX ? b) ? a 2 DX
若X服从两点分布,则 DX ? p(1 ? p)

若X ~ B(n, p),则DX ? np(1 ? p)

知识回顾
★求离散型随机变量的期望、方差通常有哪些步骤?
求分布列→求期望→求方差

★在解决上述问题中经常要用到哪些性质、公式?
⑴E? ? ? xi pi
i ?1 n

D? ? ? ( xi ? E? ) pi ;
2 i ?1

n

⑵E (a? ? b) ? aE? ? b

D(a? ? b) ? a 2 D?
n

⑶若? ~B( n, p), 则E? ? np, D? ? np(1 ? p)

★分布列性质

⑴0 ? pi ? 1 ⑵ ? pi ? 1
i ?1

1、设随机变量X的分布列为P(x=k)=1/4,k=1,2,3,4,则 EX= 。 2、若X是离散型随机变量,则E(X-EX)的值是 A.EX B.2EX C.0 D.(EX)
2



3、已知X的概率分布为
X P -1 1/2 0 1/3 1 1/6

且Y= aX+3,EY=7/3, 则a=

. .
1 c

4、随机变量X~B(100,0.2),那么D(4X+3)= 5、随机变量 ? 的分布列为 -1 0 ?

其中,a,b,c成等差,若 E? ? 1 ,
3

P

a

b

则 D? 的值为

5 9 。


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