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【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:9.1 空间直线与平面(A、B)


第九章

直线、平面、简单几何

体(A、B)

2014高考导航
考纲解读 1.理解平面的基本性质,会用斜二测画法画水平放置的直 观图.能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关 系的图形.能够根据图形想象它们的位置关系.

2.掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理.掌握

/>两条直线所成的角和距离的概念,对于异面直线的距离, 只要求会计算已给出公垂线时的距离.

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3.掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理.掌握直线和平 面垂直的判定定理和性质定理.掌握斜线在平面上的射影、 直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握三垂

线定理及其逆定理.
4.掌握两个平面平行的判定定理和性质定理,掌握二面角、二 面角的平面角、两个平面间的距离的概念. 掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理. 5.会用反证法证明简单的问题.

6.了解多面体、凸多面体的概念,了解正多面体的概念.
7.了解棱柱的概念,掌握棱柱的性质,会画直棱柱的直观图.
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8.了解棱锥的概念,掌握正棱锥的性质,会画正棱锥的直观图.

9.了解球的概念,掌握球的性质,掌握球的表面积、体积公式.
10.(B)理解空间坐标系和空间向量,并能用向量证明空间中的 位置关系和求空间角度、空间距离.

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§9.1 空间直线与平面(A、B)

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理 1.平面的基本性质 名称 公理 1 图示 文字表示 如果一条直线上的 两点 _____在一个平面内, 那么这条直线上所有 的点都在这个平面内 如果两个平面有一个 公共点,那么它们还 有其他公共点,且所 有这些公共点的集合 一条直线 是___________ 符号表示 A∈l,B∈l,且 A∈α, B∈α?l?α P∈α,且 P∈β?α∩β=l, 且P∈l

公理 2

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名称

图示

文字表示
经过 不在同一条直线上 _________________的 三点,有且只有一个平 面,即_______的三点 不共线 确定一个平面 一条直线和直线 经过_______________ 外一点 ________,有且只有一 个平面 两条相交直线 经过____________,有 且只有一个平面 两条平行直线 经过____________,有 且只有一个平面

符号 表示

公理3

推论1
推论2 推论3

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2.空间两条直线
平行、相交、异面 (1)空间两直线位置关系有_________________________. (2)平行直线 a∥c ①公理4:a∥b,b∥c?_________. 平行 ②等角定理:如果一个角的两边分别________于另一个角的 方向相同 两边,且__________,那么这两个角相等. ③推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那

么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.

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(3)异面直线 不同在任何一个平面内的两条 ①定义:__________________________________直线,叫做异 面直线.

②成角:设a、b是异面直线,经过空间任一点O,分别引直线
a′∥a,b′∥b,则直线a′、b′所成的锐角(或直角)叫做异 面直线a、b所成的角.
π (0, ] 2 ③异面直线所成角范围是__________.

④公垂线:指和两条异面直线都垂直相交的直线.

⑤判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内
不经过该点的直线是异面直线.
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3.斜二测画法 (1)在已知图形中取互相垂直的轴Ox,Oy.画直观图时,把它画 45° 成对应的轴O′x′,O′y′使∠x′O′y′=_______.它们确定的平面表

示水平面.
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成 平行于x′轴或y′轴的线段. 不变 (3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持长度____; 一半 平行于y轴的线段,长度为原来的______.

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思考探究 1.公理2有哪些作用?

提示:它的作用有五个:①判定两个平面相交;②证明点在
直线上;③证明三点共线;④证明三线共点;⑤画两个相交 平面的交线. 2.确定平面的方法有哪些? 提示:确定一个平面可以用不共线的三点,可以用一直线和直 线外的一点,可以用两条相交直线,可以用两条平行直线.

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课前热身

1.若直线a∥b,b∩c=A,则直线a与c的位置关系是(
A.异面 B.相交

)

C.平行
答案:D

D.异面或相交

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2.直线l1∥l2,l1上取3个点,l2上取2个点,由这5个点能确定 平面的个数为( A.1 C.6 ) B.3 D.9

答案:A

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3.在图中,G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的 中点,则表示直线GH、MN是异面直线的图形有( A.0个 C.2个 B.1个 D.3个 )

答案:C

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4.(教材改编)如图,在正方体中,BA′与B′C所成的角为 ________.

答案:60° 5.不重合的三条直线,若相交于一点,最多能确定 __________个平面;若相交于两点,最多能确定________个 平面;若相交于三点,最多能确定________个平面. 答案:3 2 1

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考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 点共线问题

证明三点共线的方法, 一般先证两点确定的直线是某两个平 面的交线,再证第三个点是两个平面的一个公共点.证明 “点在直线上”, “三点共线”等问题通常用公理 2.除此之 外,还可用“纳入直线法”,即先找出两点所在的直线,然 后证明第三点也在此直线上.
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例1

如图所示,在四面体ABCD中作截面PQR,若PQ、

CB的延长线交于点M,RQ、DB的延长线交于点N,RP、DC 的延长线交于点K.求证:M、N、K三点共线.

【思路分析】

可证明M、N、K三点既在平面PQR内,也在

平面BCD内,从而这三个点在这两个平面的交线上.

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【证明】

∵M∈直线PQ,直线PQ?面PQR,M∈直线BC,

直线BC?面BCD,∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点, 即点M在面PQR与面BCD的交线l上. 同理可证点N、K也在直线l上,所以M、N、K三点共线. 【领悟归纳】 证明多点共线问题可由其中两点确定一条直

线后,再证其他点也在此直线上,或由公理3证这些点既在平 面α上,也在平面β上.
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考点2

线共点问题

(1)证明空间三线共点问题.可把其中一线作为分别过其余两线 的两个平面的交线,然后再证另两条直线的交点在此直线上. (2)解决多线共点的方法,即先证明其中两条直线交于一点, 再证明这一点在其他直线上或其他直线都经过这一点.

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例2 如图, 已知: F、 H 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 E、 G、
的棱 AB、BC、CC1、C1D1 的中点,证明:FE、HG、DC 三线共点.

【思路分析】 ABCD?K∈DC.

HG∩EF=K?K∈面D1C1CD?K∈面

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【证明】 如图,连结 C1B,由题意知,HC1 ∴HC1BE 是平行四边形. ∴HE∥C1B. 1 又 C1G=GC,CF=BF,故 GF C B. 2 1 ∴GF∥HE,且 GF≠HE. ∴HG 与 EF 相交. 设交点为 K,则 K∈HG,HG?面 D1C1CD, ∴K∈面 D1C1CD.K∈EF,EF?面 ABCD, ∴K∈面 ABCD. ∵面 D1C1CD∩面 ABCD=DC,∴K∈DC. ∴FE、HG、DC 三线共点.

EB,

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【思维总结】

证明三线共点的思路是:先证明两条直线交

于一点,再证明第三条直线经过这个点,把问题归结为证明 点在直线上的问题,对于本题是先证两直线的交点在两个平 面的交线上,而第三条直线恰好是两个相交平面的交线.

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跟踪训练 1.在上述正方体中,M为A1D1的中点,求证:MH、FG与 B1C1三线相交于一点.
证明:如图,由上题可知 M、H、G、F 四点共面. 设 FG∩B1C1=N,则 N∈面 MHGF, N∈面 A1B1C1D1. ∴N 在面 A1B1C1D1 与面 MHGF 的交线上, ∴面 A1B1C1D1∩面 MHGF=MH,∴N∈MH. ∴MH、FG、B1C1 三线相交于一点.

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考点3 点线共面问题
所谓点线共面问题就是证明一些点或直线在同一个平面内 的问题.

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如图,四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形, 1 1 ∠BAD=∠FAB=90° ,BC AD,BE · FA,G、H 分别为 2 2 FA、FD 的中点.

例3

证明:四边形 BCHG 是平行四边形.

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【思路分析】

G、H 为中点 → GH

1 AD → 又BC 2

1 AD 2

→ GH
【证明】 又 BC

BC
由已知 FG=GA,FH=HD,可得 GH BC, 1 AD. 2

1 AD,∴GH 2

∴四边形 BCHG 为平行四边形.

【思维总结】

利用平行公理进行转化证明.
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跟踪训练 2.在例3中C、D、F、E四点是否共面?为什么?
解:由 BE 1 AF,G 为 FA 中点知,BE 2 FG,

∴四边形 BEFG 为平行四边形,∴EF∥BG. 由(1)知 BG∥CH,∴EF∥CH, ∴EF 与 CH 共面. 又 D∈FH,∴C、D、F、E 四点共面.

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考点4

异面直线所成的角

与异面直线相关的问题有异面直线的判定,异面直线所成的 角,异面直线的公垂线及异面直线间的距离.这其中最重要 的是异面直线所成的角.求异面直线所成的角,一般是通过 平行线平移首先找到它们所成的角,然后放到同一三角形中,

通过解三角形求之.

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例4 已知在空间四边形 ABCD 中,AB=CD=3,点 E、F 分
别是边 BC 和 AD 上的点,并且 BE∶EC=AF∶FD=1∶2, EF= 7(如图所示),求异面直线 AB 和 CD 所成角的大小.

【思路分析】

将AB与CD向三棱锥内部平移,与EF形成平

面(即与EF构成三角形).

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【解】

在 BD 上取靠近 B 的三等分点 G,连结 FG、EG,在 BG BE △BCD 中, = ?EG∥DC, GD EC 同理,在△ABD 中,GF∥AB, ∴∠EGF 或其补角就是异面直线所成的角. EG 1 在△BCD 中,由 GE∥CD,CD=3, = ,∴EG=1, CD 3 FG 2 在△ABD 中,由 FG∥AB,AB=3, = 得 FG=2. AB 3 ∴在△EFG 中,EG=1,FG=2,EF= 7, EG2+FG2-EF2 1 ∴cos∠EGF= =- , 2 2EG· FG ∴∠EGF=120° , ∴AB 与 CD 所成的角为 60° .

【误区警示】

本题误认为∠EGF是AB与CD所成的角.
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方法感悟
方法技巧 1.证明共线问题:(1)可由两点连一条直线,再验证其他各点 均在这条直线上;(2)可直接验证这些点都在同一条特定的直 线上——两相交平面的唯一交线,关键是通过绘出图形,作

出两个适当的平面或辅助平面,证明这些点是这两个平面的
公共点. 2.证明共点问题一般是证明三条直线交于一点.首先证明其

中的两条直线相交于一点,然后再说明第三条直线是经过这
两条直线的两个平面的交线,由公理3可知两个平面的公共点 必在两个平面的交线上,即三条直线交于一点.
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3.求异面直线所成角的三步:作、证、求,“作”即过空间一 点作两条异面直线的平行线,而空间一点一般取在两条异面 直线中的一条上,特别是某些特殊点处,例如“端点”或 “中点”处;“证”即根据等角定理说明所求的角;“求”即 解三角形. 4.证明点线共面的常用方法. 先确定一个平面,再证明有关点、线在此平 面内. 先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余 辅助平面法 元素确定平面β,最后证明平面α、β重合. 可以假设这些点和直线不在同一个平面内, 反证法 然后通过推理,找出矛盾,从而否定假设, 肯定结论. 纳入平面法
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5.判定空间两直线是异面直线的方法

(1)排除法:若证得两条直线既不相交,也不平行,则必然是
异面直线;

(2)定理法:过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不
经过该点的直线是异面直线;

(3)反证法:假设两条直线不异面,则必然平行或相交,从而
推出矛盾,得出两直线必然异面.
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失误防范
1.由点或线确定平面时,要注意点或线是否满足条件:如三

点是否共线等.
2.立体几何中的四边形有平面四边形和空间四边形之分. 3.求异面直线所成的角时,要注意角度范围.

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考向瞭望把脉高考
命题预测
从近两年的高考试题来看,考查的内容多涉及异面直线的定 义、异面直线所成的角和异面直线间的距离及线线之间的位

置关系,平面的基本性质很少单独考查,仅作为论证和计算
的工具使用,题型有选择题、填空题和解答题三种,难度中 等偏下.主要考查对概念的理解和灵活运用,注重考查转化

思想和空间想象能力.
在2012年的高考中,大纲全国卷等直接求异面直线所成的角, 四川卷等则考查线与面间的位置关系. 预测2014年高考仍将以异面直线的定义、线线之间的位置关 系、异面直线所成的角为主要考点,重点考查对概念的理解 和灵活运用及运算能力.
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典例透析



(2011· 高考大纲全国卷)已知正方体ABCD- 1B1C1D1中, A

E为C1D1的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为 __________.

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【解析】 如图,取 A1B1 的中点 F,连接 EF,AF. ∵在正方体 ABCD- 1B1C1D1 中,EF∥B1C1,B1C1∥BC, A ∴EF∥BC,∴∠AEF 即为异面直线 AE 与 BC 所成的角. 设正方体的棱长为 a,则 AF=

?1a ?2= 5a,EF=a. a+2 ? ? 2
2

∵EF⊥平面 ABB1A1,∴EF⊥AF, ∴AE= 3 EF a 2 AF +EF = a.∴cos∠AEF= = = . 2 3 AE 3 a 2
2 2

2 【答案】 3

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【名师点评】

本题主要考查异面直线所成角的求法以及空

间想象能力,找出异面直线所成的角是解决本题的关键,把 空间问题转化为平面问题来解决.本题也可连接ED,则 ∠EAD为异面直线AE与BC所成的角,可在Rt△AED中求解.

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知能演练轻松闯关

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