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21二次函数 y=ax2 +bx+c(a≠0)的图象和性质


石良中学电子备课本

2015—2016 学年度第一学期

授课人 执教班级 教学课时 4.4 4.5

上课时间 课 题

10.27





数学

21 二次函数 y=ax2 +bx+c(a≠0)图象和性质 新

授 备课时间 10.17

第 3 课时

教学课型

教材 分析

二次函数的三种解析式形式

2 二次函数的图像与性质

教学 目标

根据二次函数图像的对称性、增减性解决相应的综合问题

教学 重点

1 二次函数与其他函数共存问题

教学 难点

2 根据二次函数图像,确定解析式系数符号

电子白板 媒体 运用 教学 时间
10 月 9 号 9.1 第 1 节;9.2 第 3 节

预设过程(应包括课程导入、预习自学、展示交流、当堂练习检测等)
近几年中考二次函数考题形式 08 4 分 5.抛物线 y=(x-1)2+3 的对称轴是(


个人修改

(A)直线 x=1 (B)直线 x=3 (C)直线 x=-1 (D)直线 x=-3 08 5 分 22. (本题 10 分)一次函数 y=x-3 的图象与 x 轴,y 轴分别交于点 A,B.一 个二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点 A,B. (1)求点 A,B 的坐标,并画出一次函数 y=x-3 的图象; (2)求二次函数的解析式及它的最小值.

07

4分
2

用中考题训练学生 对知识的掌握和能 力水平

5.抛物线 y ? x ? 4 与 y 轴的交点坐标是()A.(4,0)B.(-4,0)C.(0,-4)D. (0,4). 06 4 分 10. 抛物 y=x -2x+3 的顶点坐标是(
2



1

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A. (1,2)

B. (-1,2)

C. (1,-2)

D. (-1,-2)
2

06 10 分 21. (本题 10 分)已知二次函数 y=ax +bx+c 的几对对应值如下表:

请你根据上表,求出这个二次函数的解析式. 评:06 14 分,07 4 分,08 可见还是好好关注。 9 分,难度下降又反弹,08 比 06 稍稍容易,

纵观近两年调考,样卷及中考试卷,可以发现中考中二次函数的题型有如下一些特点: 1、 综合性强。初中阶段所有的知识点几乎都可以与二次函数联系起来,特别是与一 元二次方程,几何图形、实际问题的联系更紧密些。 2、 分值较重。从 07 年到 08 年,二次函数的分值逐年加大。 3、 覆盖面广。二次函数的图象性质在调考、样题、中考中都出现了。 例如 ,02

中考卷第 25,26 题

04 中考卷第 24 题

05 中考卷第 25 题

09 中考卷第 24 题

24.(本题 l4 分)如图,在平面直角坐标系中,点 A( 3 ,0),B(3 3 ,2), (0,2).动 点 D 以每秒 1 个单位的速度从点 0 出发沿 OC 向终点 C 运动,同时动点 E 以每秒 2 个 单位的速度从点 A 出发沿 AB 向终点 B 运动.过点 E 作 EF 上 AB,交 BC 于点 F,连结 DA、DF.设运动时间为 t 秒. (1)求∠ABC 的度数; (2)当 t 为何值时,AB∥DF; (3)设四边形 AEFD 的面积为 S.①求 S 关于 t 的函数关系式; ②若一抛物线 y=x +mx 经过动点 E,当 S<2 3 时,求 m 的取值范围(写出答案即可).
2

一、 二次函数知识点
1. 二次函数的解析式三种形式 一般式 y=ax2 +bx+c(a≠0)
2

石良中学电子备课本 顶点式

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y ? a( x ? h)2 ? k
y ? a( x ? b 2 4ac ? b 2 ) ? 2a 4a

交点式

y ? a( x ? x1 )( x ? x2 )

2. 二次函数图像与性质 y

O

x

对称轴: x ? ?

b 2a

b 4ac ? b 2 , ) 顶点坐标: (? 2a 4a
与 y 轴交点坐标(0,c) 增减性:当 a>0 时,对称轴左边,y 随 x 增大而减小;对称轴右边,y 随 x 增大而增大 当 a<0 时,对称轴左边,y 随 x 增大而增大;对称轴右边,y 随 x 增大而减小 二次函数图像画法: 勾画草图关键点:○ 1 开口方向; ○ 2 对称轴; ○ 3 顶点; ○ 4 与 x 轴交点; ○ 5 与y 轴交点。 图像平移步骤 (1)配方 ; y ? a( x ? h)2 ? k ,确定顶点(h,k)

(2)对 x 轴 左加右减;对 y 轴 上加下减。 二次函数的对称性 二次函数是轴对称图形,有这样一个结论:当横坐标为 x1, x2 其对应的纵坐标相等那 么对称轴 x ?

x1 ? x2 2

根据图像判断 a,b,c 的符号 (1)a ——开口方向 (2)b ——对称轴与 a 左同右异 3.二次函数与一元二次方程的关系
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抛物线 y=ax2 +bx+c 与 x 轴交点的横坐标 x1, x2 是一元二次方程 ax2 +bx+c=0(a≠0) 的根。 抛物线 y=ax2 +bx+c,当 y=0 时,抛物线便转化为一元二次方程 ax2 +bx+c=0

b 2 ? 4ac >0 时,一元二次方程有两个不相等的实根,二次函数图像与 x 轴有两个交
点;

b 2 ? 4ac =0 时,一元二次方程有两个相等的实根,二次函数图像与 x 轴有一个交点; b 2 ? 4ac <0 时,一元二次方程有不等的实根,二次函数图像与 x 轴没有交点
4.二次函数的应用 如物体运动规律、销售问题、利润问题、几何图形变化问题等 【典型例题】 题型 1 二次函数的概念 例 1(基础).二次函数 y ? ?3x2 ? 6 x ? 5 的图像的顶点坐标是( ) A. (-1,8) B.(1,8) C(-1,2) 点拨:本题主要考察二次函数的顶点坐标公式 D(1,-4)

本题主要考查二次函数图象及其性质,一元二次方程根与系数的关系,及二次函 数和一元二次方程二者之间的联系。复习时,抓住系数 a、b、c 对图形的影响的基本 特点,提升学生的数形结合能力,抓住抛物线的四点一轴与方程的关系,训练学生对 函数、方程的数学思想的运用。 题型 2 二次函数的性质 例 3 若二次函数 y ? ax ? bx ? 4 的图像开口向上,与 x 轴的交点为(4,0) , (-2,0)
2

知,此抛物线的对称轴为直线 x=1,此时 x1 ? ?1, x2 ? 2 时,对应的 y1 与 y2 的大小关 系是( ) A.y1 <y2 B. y1 =y2 C. y1 >y2 D.不确定 点拨:本题可用两种解法 解法 1:利用二次函数的对称性以及抛物线上函数值 y 随 x 的变化规律确定: a>0 时,抛物线上越远离对称轴的点对应的函数值越大;a<0 时,抛物线上越靠近对称 轴的点对应的函数值越大 解法 2:求值法:将已知两点代入函数解析式,求出 a,b 的值 再把横坐标值 代入求出 y1 与 y2 的值,进而比较它们的大小 【举一反三】 变式 1:已知 (2, q1 ),(3, q2 ) 二次函数 y ? ? x ? 2 x ? m 上两点,试比较 q1与q 2 的大小
2

变式 2:已知 (0, q1 ),(3, q2 ) 二次函数 y ? ? x ? 2 x ? m 上两点,试比较 q1与q 2 的大小
2

4

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变式 3:已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? m 的图像与 y ? ? x2 ? 2 x ? m 的图像关于 y 轴 对称, (?2, q1 ),(?3, q2 ) 是前者图像上的两点,试比较 q1与q 2 的大小 题型 3 二次函数的图像 例 4 如图所示,正方形 ABCD 的边长为 10,四个全等 的小正方形的对称中心分别在正方形 ABCD 的顶点上, 且它们的各边与正方形 ABCD 各边平行或垂直, 若小正 方形的边长为 x,且 0<x≤10,阴影部分的面积为 y,则 能反映 y 与 x 之间的函数关系的大致图像时( )

A

C

B

D

题型 4 二次函数图像性质(共存问题、符号问题) 例 5、 (2009 湖北省荆门市) 函数 y=ax+1 与 y=ax2+bx+1 (a≠0) 的图象可能是 (



y
1

y
1

y
1

y
1

o
A.

x

o
B.

x

o
C.

x

o
D.

x

点拨:本题考查函数图象与性质,当 a ? 0 时,直线从左向右是上升的,抛物线开口向 上,D 是错的,函数 y=ax+1 与 y=ax2+bx+1(a≠0)的图象必过(0,1) ,所以 C 是 正确的,故选 C.
2

例 6 已知=次函数 y=ax +bx+c 的图象如图.则下列 5 个代数 式:ac,a+b+c,4a-2b+c, 2a+b,2a-b 中,其值大于 0 的个 数为( ) A.2 B3 C、4 D、

5 点拨:本题考查二次函数图像性质,a 的符号由开口方向确定,b 的符号由对称轴和 a 共同决定,c 看其与 y 轴的交点坐标,a+b+c,4a-2b+c 看 x 取某个特殊值时 y 的值可 从图像中直观发现 题型 5 二次函数的平移
5

石良中学电子备课本 例 7.将抛物线 y ? 2x2 向下平移 1 个单位,得到的抛物线是( A. y ? 2( x ? 1)2 B. y ? 2( x ? 1)2 C. y ? 2 x 2 ? 1

2015—2016 学年度第一学期 ) D. y ? 2 x 2 ? 1

题型 6 二次函数应用销售利润类问题 例 8 某商品的进价每件为 50 元,现在的售价为每件 60 元,每星期可卖出 70 件,市 场调查反映:如果每件的售价每涨 10 元(售价每件不能高于 140 元) ,那么每星期少 卖 5 件,设每件涨价 x 元(x 为 10 的正整数倍) ,每周销售量为 y 件 。 ⑴ 求 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围。 ⑵ 如何定价才能使每周的利润最大且每周销量较大?每周的最大利润是多 少? 点拨:销售总利润=销售量×(售价-进价) 本类题主要考查学生用二次函数知识解 决实际问题中的最值问题(如最大利润、最大面积、材料最值、时间最少,效率最高 等问题) ,及函数自变量取值对最值的约束等知识。复习时注意,自变量的取值限制条 件:如正整数倍,非负整数倍,自然数倍,2 的整数倍等条件的限制。 题型 7 二次函数与几何图形综合(面积、动点) 例 9

, 0) , B(2, 0) , 已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 )的图象经过点 A(1

C (0, ? 2) ,直线 x ? m ( m ? 2 )与 x 轴交于点 D .
(1)求二次函数的解析式; (2)在直线 x ? m ( m ? 2 )上有一点 E (点 E 在第四象限) ,使得 E、D、B 为顶 点的三角形与以 A、O、C 为顶点的三角形相似,求 E 点坐标(用含 m 的代数式表 示) ; (3)在(2)成立的条件下,抛物线上是否存在一点 F ,使得四边形 ABEF 为平行四 边形?若存在,请求出 m 的值及四边形 ABEF 的面积;若不存在,请说明理由. y

O

x

图2 点拨:本类题主要考察二次函数表达式的求法,二次函数与几何知识的运用。 面广,知识综合性强。复习时要着重深究点、线、面中所包含的隐含条件,要用运动、

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发展、全面的观点去分析图形,并注意到图形运动过程中的特殊位置。 【基础达标训练】 一、选择题 1. (2009 年四川省内江市)抛物线 y ? ( x ? 2) 2 ? 3 的顶点坐标是( A. (2,3) B. (-2,3) C. (2,-3) )

D. (-2,-3) ) .

2.(2009 年桂林市、百色市)二次函数 y ? ( x ? 1)2 ? 2 的最小值是( A.2 B .1 C.-3 D.

2 3


3.(2009 年上海市)抛物线 y ? 2( x ? m)2 ? n ( m ,n 是常数)的顶点坐标是( A. ( m,n) B. (?m,n)

? n) C. (m,

? n) D. (?m,

4.(2009 年陕西省)根据下表中的二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的自变量 x 与函数 y 的对应 值,可判断二次函数的图像与 x 轴 【 】 0
? 7 4

x … -1 y … -1

1 -2

2
? 7 4

… …

A.只有一个交点 B.有两个交点,且它们分别在 y 轴两侧 C.有两个交点,且它们均在 y 轴同侧 5.已知二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象如图所示,则下列结
2

y

论:①ac ? 0 ;② 方程 ax ? bx ? c ? 0 的两根之和大于 0;③ y 随
2

x 的增大而增大;④ a ? b ? c ? 0 ,其中正确的个数()
A.4 个 B.3 个 C2 个 D.1 个

O

1

x

6. 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象如图 2 所示,若点 A(1, y1) 、B(2,y2)是它图象上的两点,则 y1 与 y2 的大小关系 是( ) A. y1 ? y 2 B. y1 ? y 2 C. y1 ? y 2 D.不能确定

y

7. (2009 烟台市)二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象如图所示, ?1
2 2 则一次函数 y ? bx ? b ? 4ac 与反比例函数 y ?

O 1

x

a?b?c 在同 x
7

石良中学电子备课本 一坐标系内的图象大致为( y O A. x y O B. x ) y O C. x

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y O D. x

8.(2009 年台湾)向上发射一枚炮弹,经 x 秒后的高度为 y 公尺,且时间与高度关系 为 y=ax2?bx。若此炮弹在第 7 秒与第 14 秒时的高度相等,则再下列哪一个时间的高度 是最高的? (A) 第 8 秒 (B) 第 10 秒 (C) 第 12 秒 (D) 第 15 秒 。 9. (2009 年南充)抛物线 y ? a( x ? 1)( x ? 3)(a ? 0) 的对称轴是直线( A. x ? 1 B . x ? ?1 )

C . x ? ?3 D. x ? 3 10. (2009 年遂宁)把二次函数 y ? ? 1 x 2 ? x ? 3 用配方法化成 y ? a?x ? h?2 ? k 的形式 4 A. y ? ? 1 ? x ? 2 ?2 ? 2 4 C. y ? ? 1 ? x ? 2 ?2 ? 4 4 B. y ? 1 ? x ? 2 ?2 ? 4 4
1 1? D. y ? ? ? x? ? ?3 2 2? ?
2

二、填空题 11. (2009 年甘肃庆阳)图 6(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在 l 时, 拱顶(拱桥洞的最高点)离水面 2m,水面宽 4m.如图 6(2)建立平面直角坐标系, 则抛物线的关系式是_____________

图 6(1)

图 6(2)
2

12. (2009 年上海市) 把抛物线 y=ax +bx+c 的图象先向右平移 3 个单位,再向下平 移 2 个单位,所得的图象的解析式是 y=x -3x+5,则 a+b+c=__________ 13. (2009 年淄博市) 请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式 1) ; ①过点 (3, ②当 x ? 0 时,y 随 x 的增大而减小; .
2

8

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板书 设计

1 知识点梳理 2 典例分析 3 巩固练习及检测

教学后记或反思(主要记录课堂设计理念,实际教学效果及改进设想等)

要求学生重点掌握的有以下几个内容: 1、二次函数图像的性质。
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2、二次函数的应用

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