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函数的基本性质基础训练练习题1


函数讲义
一.函数及其表示(函数的概念、函数的表示法) 1.函数的概念
【知识回顾】
(1)函数的概念:设 A,B 是非空数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)与之对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值 范围 A 叫做函数的定义域, x 的值相对应的 y 值叫做函数值, 与 函数值的集合 {f(x)/x ∈A}叫做函数的值域。 (2)函数的三要素:定义域、函数解析式、值域。 (定义域+函数解析式 ??? 函数值: ?
确定

定义域和函数解析式就可以确定一个函数,二者缺一不可) 。 【 典型例题 】 (1)利用函数概念判断下列式子是否构成一个函数 (注:A、B 集合要非空,A 中任意元素在 B 中要有象,对应关系只能是一对一或多对一) 例 1: x ? y ? 2
2 2

练习 1: y ? x , x ? R, y ? 0

例 2: y ?

x ? 2 ? 1? x

练习 2: y ?

x, x ? Z, y ? Z

回顾反思: ① 怎么理解集合 A 中任意元素在 B 中都要有唯一确定数与之对应? ② 什么是一对一,多对一?为什么不能为多对一?

(2)求函数的定义域(定义域:使函数解析式有意义的自变量 X 的取值范围) (注: 求函数定义域之前解尽量不要对解析式进行化解、 若一个函数解析式中出现多种形式 则分别求其定义域最后求交集) 例 1: y ? 5 ? x ?

x ?5 ?

1 x ?9
2

练习 1: y ?

x ? 2 ? 3? x ?5

例 2: y ?

3

x?5 ?

(2 x ? 1)0 x ?1

练习 2: y ?

( x ? 3)0 3 x?5

例 3: y ? log 3

3 x ?5

练习 3: log 0.5

x2 ? x ? 2

例 4: ? 已知 f (x) 的定义域为 [?1,2) ,则 f (| x |) 的定义域为 A. [?1,2) B. [?1,1] C. (?2,2) D. [?2,2)

( )

? 若 y ? f ? x ? 的定义域是 ? 0, 2 ? ,则函数 f ? x ? 1? ? f ? 2 x ? 1? 的定义域是
A. ? ?1,1? B. ? ,1?





?1 ? ?2 ?

C. ? , ? 2 2

?1 3? ? ?

D. ? 0, ? 2

? 1? ? ?

回顾反思:

① ② ③ ④ ⑤

.整式的定义域为______。 .分式函数,定义域为分母不为______。 .偶次根式定义域为被开方数_____奇次根式定义域为被开方数____。 .指数函数定义域为______。 .对数函数定义域为真数_____。

⑥ . y ? a 0 的定义域是________。 ⑦ . 抽象函数的定义域: f ?g ?x ?? 的定义域为 ?a, b? ,指的是 x 的取值范围是 ?a, b? .
f ?g ? x ?? 与 f ?h? x ?? 中, g ?x ?与h?x ? 的值域相同.
(3)判断两个函数是否为同一函数(定义域、函数解析式分别相同则为同一函数) 例 1:判断两个函数是否为同一函数 f ( x) ?

x 2 , g ( x) ? ( x ) 2

练习 1:判断两个函数是否为同一函数 f ( x) ?

x2 ? 4 , g ( x) ? x ? 2 x?2

例 2:判断两个函数为是否为同一函数 f ( x) ?

( x ? 2) 2 , g ( x) ? x ? 2

练习 2:判断两个函数是否为同一函数 y ? ? x , s ? ? r
2

2

回顾反思:

①.怎样判断两个函数为同一函数? ②.如何判断两个函数解析式相同?
(4)求函数值和函数的值域 例 1:已知函数 f ( x) ? x ? 1, g ( x) ? x ? 1, 求 g (?2), f ( g (?2)) 的值及 f ( g ( x)) 的表达式。
2

练习 1:已知函数 f ( x) ?

x?3 ?

1 求 f (?3) ,当 a ? 0, 时求 f (a ) 的值。 x?2

例 2:已知函数 f ( x) ? ?

? 2 x ? 1, x ? 1
2 ? x ? ax, x ? 1,

若 f ( f (0)) ? 4a, 则实数 a 等于多少?

? 1 ? x2 , x ? 1 ? 1 ? 练习 2:设函数 f ( x ) ? ? 2 则f ? ? 的值为。 ? f (2) ? ? x ? x ? 2, x ? 1
例 6:二次函数 y ? ? x ? 4 x ? 7, x ? ? 0,3? 的值域为。 (数形结合)
2

练习 6:函数 y ? x ? 2 x, x ? (?1, 4) 的值域为。
2

思考:函数 y ?

? x 2 ? 6 x ? 5 的值域为。

例 7: y ?

2x ?1 求函数的值域。 (反函数发) x ?3
x ? 1 求函数值域。 (换元发)

练习 7: y ?

1 ? 3x 求函数的值域。 x ?1

例 8: y ? 2 x ?

练习 8: y ? x ? 1 ? 2 x 求函数的值域。

例 9: y ? x ? 5 ? x ? 3 求函数值域。 (图像法)

练习 9: y ? x ? 3 ? x ? 1 的值域。

例 10. y ?

x2 ? x 求函数的值域。 (判别式发) 练习 10. x2 ? x ? 1

【高考连接】 1.若 y ?

1 log 2 x ?1 1
2

,则 y 的定义域为





A. ? ?

? 1 ? ,0? ? 2 ?

B. ? ?

? 1 ? , 0? ? 2 ?

C. ? ?

? 1 ? ,?? ? 2 ?

D. ? 0, ? ?

2.函数 y ? A. ? ?4, ?1?

ln ( x ?1) ? x 2 ? 3x ? 4

的定义域为 C. ? ?1,1? D. ? ?1,1?





B. ? ?4,1?

五.函数的表示法(图像,表格,解析式) 例 1. f ( x) ? x ? 2 x, 求f (2 x ? 1); (代入法) 练习 1: f ( x) ?
2

1 ? 3 ,求 f ( x ? 3) 2x ?1

2 例 2:f ( x ? 1) ? x ? 2 x , f ( x) . 配凑法) 练习 2:f ( x ? ) ? x ? 求 (

1 x

1 ? 3 求 f ( x) . x2

例 3: f ( ? 1) ? lg , 求f ( x) (换元法)
x

2 x

练习 3: f ( x ? 5) ? 3x ? 7, 求f ( x) .

例 4: 已知 f ( x) 是二次函数, f (0) ? 0 , f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1 .求 f ( x) 的解析式。 且 (待 定系数法)

练习 4:已知 f ( x) 是一次函数, f ( x ? 1) ? f (2 x ? 1) ? x ,求 f ( x)

例 5: f ( x) ? 2 f ( ) ? 3x ? 2, 求f ( x) .(方程组发)

1 2

练习 5:已知 f ( x) 满足 3 f ( x) ? f ( ) ? x 2 ,求f ( x).

1 x

例 3: y ?

2x ?1 求函数的值域。 (反函数发) x ?3

练习 3: y ?

1 ? 3x 求函数的值域。 x ?1

例 4: y ? 2 x ?

(换元发) x ? 1 求函数值域。

练习 4: y ? x ? 1 ? 2 x 求函数的值域。

例 5: y ? x ? 5 ? x ? 3 求函数值域。 (图像法)

练习 5: y ? x ? 3 ? x ? 1 的值域。

例 6:二次函数 y ? ? x ? 4 x ? 7, x ? ? 0,3? 的值域为。 (数形结合)
2

练习 6:函数 y ? x ? 2 x, x ? (?1, 4) 的值域为。
2

思考:函数 y ?

? x 2 ? 4 x ? 7 的值域为。

函数的基本性质
一.函数的单调性(求函数单调区间、证明函数的单调性、求函数最值、比较大小) 【知识回顾】 (1)单调递增函数,自变量___函数值______。 单调递减函数,自变量___函数值______。 (2)定义证明函数单调性的步骤_____,_______,______ 例 1:写出函数 y ? ? x ? 2 x ? 3 的单调区间。 (数形结合)
2

练习 1:函数的 y ? ? x ? 1 的单调区间为。
2

例 2:证明函数 f ( x) ? x ? 1 的在上 ? ??, 0 ? 上是减函数。 (利用函数单调性的定义)
2

练习 2:证明函数 y ? x ? x ,在 R 上单调递增。
3

例 3:求函数 y ? 1 ? x ?

x ? 3 的最大最小值。

练习 3:求函数 y ? x ?

1 的最大最小值 x

例 4:比较下列个组数的大小 (1) f ( x) 单调递增 x ? R , f (3) ___ f (5) (2) 0.3 ____ 0.3
0.2 2 8

(3) 4.1 ____ 3.8

0.2

【高考连接】 1.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是 A. y ? ? x ? 1 B. y ?

( D. y ?



x

C. y ? x ? 4 x ? 5
2

2 x
( )

2.下列函数中,既是偶函数又在 ? 0, ? ? 单调递增的函数是 A. y ? x
3

B. y ? x ? 1
2

C. y ? ? x ? 1
2

D. y ? 2

?x

3. f ( x) ? 4 x ? mx ? 5 在 ? ?2, ? ? 为增函数, f (1) 的取值范围是 A. f (1) ? 25 B. f (1) ? 25 C. f (1) ? 25 D. f (1) ? 25

( )

【充:符合函数单调性,同增异减】 例 1:求函数 y ? log 2
( ? x 2 ? 2 x ? 3)

的单掉区间

练习 1:求函数 y ? a

x 2 ? 2 x ?3

(a ? 1) 的单调递减区间。

一.函数的奇偶性(判断证明函数的奇偶性,奇偶的运用) 知识回顾(判断证明函数的奇偶性的步骤): 1.定义域关于原点对称 2.满足 f (? x) ? ? f ( x) 为奇函数(关于原点对称)

3.满足 f (? x) ? f ( x) 为偶函数(关于 y 轴对称)

例 1:判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x) ?

练习 1: (1) f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1 (2) x ? 1 ? 5 x
2

3x x ?3
2
6 4

(2) f ( x) ? x ? x ? 8, x ? ? ?2, 2 ?

【奇偶函数的运用】 1.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 3a ? b 是偶函数,且定义域为 ? a ? 1, 2a ? 则
2

()

A. a ?

1 ,b ? 0 3

B. a ? ?1, b ? 0

C. a ? 1, b ? 0

D.a=3,b=0

2.已知函数 f ( x) 是偶函数,且当 x>0 时,有 f ( x) ? x(1 ? x) ,试求当 x<0 时,求 f ( x) 的函数解析式。

3.定义在 ? ?2, 2? 上的偶函数 g ( x) ,当 x>0 时, g ( x) 为减函数,若 g (1 ? m) ? g (m), 成 立,求 m 的取值范围。


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