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抛物线及其标准方程


抛物线及其标准方程

我们在哪些地方见过或研究过抛物线? 1、初中时我们学过二次函数,它的图象是抛物线; 2、物理中研究的平抛运动和斜抛运动的轨迹是抛 物线或抛物线的一部分,如投篮时篮球的运动轨迹;

探照灯

太阳灶

如图,点F是定点,l是不经过点F的定直线. H是l上的任意一点,过点H做

l的垂线交线段 FH的垂直平分线m交于点M .
H
M

拖动点H,观察点M的轨迹,你能发现点M 满足的几何条件吗?

F

m

l

随着H在直线l上运动,始终有|MF|=|MH|,即点M 与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是曲线C的 形状.(如图)
M

H

·

C

·
F

l
我们把这样的一条曲线叫做抛物线.

1.抛物线的定义:
在平面内,与一个定点F 和 一条定直线l(l不经过点F ) 的距离相等的点的轨迹叫抛 物线. 点F 叫抛物线的焦点,

M

H

·

C

·
F

焦 点

准线

l

直线l 叫抛物线的准线

如何求出点M的轨迹即抛物线的方 程呢?

2.抛物线的标准方程
建系

求曲线方程 的基本步骤 是怎样的?

设点

l
N

M

· · F

列式

化简

验证

2-1.抛物线的标准方程的推导
设一个定点F到一条定直线l的距离为常数p (p>0), 如何建立直角坐标系,求出抛物线的方程呢?

N K

M

· · F

方法一:以l为y轴,过点F且垂直于l的直线 为x轴,建立直角坐标系,则点F(p ,0). 设动点M(x,y),由抛物线定义得

( x ? p)2 ? y 2 ? x , 化简得 y 2 ? 2 px ? p 2 ( p ? 0).
N o

y
M

· · F

x

方法二:以定点F为原点,过点F且垂直于l的
直线为x轴建立直角坐标系. 则点F(0 ,0), l 的方程为x= - p . 设动点M(x,y),由抛物线定义得

x2 ? y2 ? x ? p , 化简得 y ? 2 px ? p ( p ? 0)
2 2

l

y
M

N K

· · F

x

方法三:取过点F且垂直于l 的直线为x轴, x 轴与l交于K,以线段KF中点为原点, 建立直角坐标系,
则点F(
p 2

,0),l的方程为 x ? ?

p 2

设动点M(x,y),由抛物线定义得
p 2 p 2 (x ? ) ? y ? x ? 2 2 化简得 y 2 ? 2 px( p ? 0)
l

y
M

N K o

· · F

x

比较以上三种建系方法,哪种方法得到的方 程形式上更加简单?
y N o
M
l

y
M

· · F

N x K

· · F
2

l

y
M

N x K o

· · F

x

y 2 ? 2 px ? p 2

y ? 2 px ? p
2

y 2 ? 2 px

2-2.抛物线的标准方程
方程 y2 = 2px(p>0)叫做抛物线的标准方 程. 其中 p 为正常数,它的几何意义是:焦点到准线的距离.

p 焦点坐标是 ( , 0) , 2
准线方程为:

y

l

d

.M

p x?? 2

K

O

.

F

x

一条抛物线,由于它在坐标平面内的位 置不同,方程也不同,所以抛物线的标准方程 还有其它形式


y













线

y 2 ? 2 px
O
?

F

x

p?0

p F ( , 0) 2
p F (? , 0) 2
p F (0, ) 2

p x?? 2

y

y 2 ? ?2 px
?

FO

x

p?0

p x? 2
p y?? 2

y
?

F

x 2 ? 2 py
x
l
l

O

p?0
x 2 ? ?2 py p?0

y
O
?

x
F

p F (0, ? ) 2

p y? 2

y
?

y
F
x
?

y
?

y
F

O

FO

x

O

x
l

O
?

l

x
F

y 2 ? 2 px p?0
相同点:
(1)顶点为原点;

y ? ?2 px
2

x 2 ? 2 py p?0

x 2 ? ?2 py p?0

p?0

(2)对称轴为坐标轴;

(3)顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离为p/2.
不同点: (1)一次项变量为x(y),则对称轴为x(y)轴; (2)一次项系数为正(负),则开口向坐标轴的正(负)方向.

例1、(1)已知抛物线的标准方程是 y2 = 6x,求

它的焦点坐标和准线方程; (2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标 准方程; 解:(1)因为焦点在x轴的正半轴上,p=3,所以焦 3 3 点坐标是 ( ,0) ,准线方程是 x ? ? . 2 2

(2)∵抛物线的焦点坐标为(0,-2)
p ∴ ? ? ?2 2
∴P= 4

∴抛物线方程为x2=-8y

练习:
1、根据下列条件,写出抛物线的标准方程:
(1)焦点是F(3,0);

y2 =12x

1 (2)准线方程 是x = ? ; 4
(3)焦点到准线的距离是2。

y2 =x

y2 =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y

1.抛物线的定义:
2.抛物线的标准方程的四种不同的形式:

3.P的几何意义是:焦 点 到 准 线 的 距 离

课后作业:
课本 P67: 2、(1),(3)


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