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河南省八市重点高中2016届高三数学下学期第二次质量检测试题 文


河南省八市重点高中 2016 届高三质量检测 文 科 数 学
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.复平面内表示复数 z=cos2+i sin3 的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合 A={3, log2 (a2+ 3a) },B={a,b},若 A

∩B= {2},则集合 A∪B 的所有元素的和等于 A.1 B.5 C.6 D.1 或 6 3.执行如图所示的程序框图,输出 c 的结果是 A.13 B.21 C.17 D.15 4.已知直线 ax-by+c=0(abc≠0)与圆 O: x2+y 2= 1 相离, 且|a|+|b|>|c|,则以|a|,|b|,|c|为边 的三角形是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不存在 5.从六个数 1,3,4,6,7,9 中任取 4 个数,则这四个数的 平均数是 5 的概率为 A. 长

1 20

B.

1 15

C.

1 5

D.

1 6

6.如图所示是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 A.2 B.3 C.

16 3

D.6

7.已知点 A(1,1) ,B(2,1) ,C(1,2) ,若λ ∈[-1, 2], μ ∈[2, 3], 则|λ AB +μ AC | 的取值范围是 A.[2,10] C.[1,5] B.[ 5 , 13 ] D.[2, 13 ]

uuu r

uuu r

8.在直角坐标平面内,过定点 P 的直线 l:ax+y -1=0 与过定点 Q 的直线 m:x-ay+3=0 相 2 2 交于点 M,则|MP| +|MQ| 的值为

1

A.

10 2
4

B. 10
2

C.5

D.10

9.将函数 y= cos x + sin x -

7 (x∈R)图象向右平移 m(m>0)个单位长度后,所得 8
C.

到的图象关于原点对称,则 m 的最小值为 A.

? 8

B.

? 6

? 4

D.

? 3
的圆,

10.已知一个实心铁质的几何体的正视图和侧视图是全等的正三角形,俯视图是半径为 3 将 3 个这样的几何体熔成一个实心正方体,则正方体的表面积为 A.54 3 3? 2 11.已知函数 y= B.54 3 3? C.54 3 12? 2 D.54 3 12?

sin x 在(0,π )上是 x
B.减函数 D.既是减函数又是偶函数

A.增函数 C.既是增函数又是偶函数

x2 y 2 1 (a>0,b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,c 是半焦距,P 是双曲线 12.已知双曲线 2 - 2 = a b
上异于顶点的点,满足 ctan∠PF1F2=atan∠PF2F1 则双曲线的离心率 e 的取值范围是 A. (1,1+ 2 ) C. (1+ 2 ,1+ 3 ) B. ( 2 , 1+ 2 ) D. (1+ 2 ,+∞)

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 已知命题 p: 若 x -1>0, 则 x>1, 命题 q: 若 x -1>0, 则 x<-1, 写出命题 p∨q 为________.
2 2

?3 x+y-6≥0 ? 14.已知实数 x,y 满足约束条件 ? x-y-2≤0 ,则变量 z=x+y 的取值范围为____________. ? y≤3 ?
15.已知函数 f(x)= ?

?log 1 x ? 2

x>0
,则不等式 f(x)≤0 的解集为____________.

2 ? ?-x -2 x x≤0

16.已知函数 f(x)=

2 ln x+( x-m) 2 ,若存在 x∈[1,2],使得 f ?( x) x + f ( x ) >0,则实数 m x

的取值范围是___________.

2

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 数列{ an }的前 n 项和为 Sn , 满足 2 Sn + an = n +2n+2 -n. (Ⅰ)求数列{ bn }的通项公式; (Ⅱ)求数列{n bn }的前 n 项和 Tn . 18. (本小题满分 12 分) 如图已知三棱锥 P-ABC,PA⊥平面 ABC,AB=AC =PA=2,∠BAC=90°,D,E 分别为 AB,PC 的中 点,BF=2FC. (Ⅰ)求证:PD∥平面 AEF; (Ⅱ)求几何体 P-AEF 的体积
2

n∈N﹡, 数列{ bn }满足

bn = an

19. (本小题满分 12 分) 某校高三文科 500 名学生参加了 1 月份的模拟考试,学校为了了解高三文科学生的数 学、语 文情况,利用随机数表法从中抽取 100 名学生的成绩进行统计分析,抽出的 100 名学生的数学、 语文成绩如下表.

(Ⅰ)将学生编号为:001,002,003,??,499,500,若从第 5 行第 5 列的数开始右读,请 你依次写出最先抽出的 5 个人的编号(下面是摘自随机用表的第 4 行至第 7 行) 12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 76 55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30 16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 (Ⅱ)若数学的优秀率为 35%,求 m,n 的值. (Ⅲ)在语文成绩为良的学生中,已知 m≥13,n≥11,求数学成绩“优”比“良”的人数少的 概率. 20. (本小题满分 12 分) 已知 F 是抛物线 C: y =2px (p>0)的焦点,⊙M 过坐标原点和 F 点,且圆心 M 到抛物线 C 的准线距离为
2

3 . 2
3

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)已知抛物线 C 上的点 N(s,4),过 N 作抛物线 C 的两条互相垂直的弦 NA 和 NB, 直线 AB 是否过定点?并说明理由. 21. (本小题满分 12 分)

判断

2e x-1 已知函数 f(x)= e ln x+ ,x>0. x
x

(Ⅰ)求曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程; (Ⅱ)函数 g(x)=

x x f ( x) ,求证:g(x)> x 对 x>0 恒成立. x e e

请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题 号. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,过圆 O 外一点 P 的直线交圆 O 于 A,B 两点, PE 是圆 O 的切线,CP 平分∠APE,分别与 AE,BE 交于点 C,D. (Ⅰ)CE=DE; (Ⅱ)

CA PE = . CE PB

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 上的点 M 满足:M 到原点 O 的距离与 M 到直线 y=-p(p>0)的 距离之比为常数 e(e>0) ,直线 l:ρ =

4 . cos ?-2 sin ?

(Ⅰ)求曲线 C 的极坐标方程,并说明曲线 C 的形状; (Ⅱ)当 e=1,p=1 时,M,N 分别为曲线 C 与直线 l 上的两上动点,求|MN|的最小值及此时 M 点的坐标. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x+3|-m+1,m>0,f(x-3)≥0 的解集为(-∞,-2]∪[2, +∞) . (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若 ?x ∈R,f(x)≥|2x-1|- t +
2

5 t 成立,求实数 t 的取值范围。 2

4

河南省八市重点高中质量检测试题 文科数学参考答案 一、选择题(每小题 5 分) 1. B 2. D 3. A 4. C 5. C 6. A 12. D 二、填空题(每小题 5 分) 2 2 13. “若 x -1>0 则 x>1”或“若 x -1>0 则 x<-1” 14. [2,8] 三、解答题 17. 解: (I)由 2Sn ? an ? n2 ? 2n ? 2 得 2S1 ? a1 ? 5 ① 7. D 8. D 9. A 10. A 11. B

15. { x | x ≤-2 或 x≥1 或 x ? 0 }

16. ? ??,

? ?

5? ? 2?

5 ???????????????????????1 分 3 ② 2Sn?1 ? an?1 ? (n ?1)2 ? 2(n ? 1) ? 2 ? a1 ?
??????????????????????3 分

②-①得 3an?1 ? an ? 2n ? 3

? bn ? an ? n ?an ? bn ? n, an?1 ? bn?1 ? n ? 1 2 ??????????????????????5 分 ? 3bn ?1 ? bn , b1 ? a1 ? 1 ? 3 2 1 ? {bn } 是以首项为 ,公比为 的等比数列, 3 3 2 ? bn ? n ??????????????????????????????6 分 3 2 2n (II)由(I)得 bn ? n ? nbn ? n 3 3 n? ?1 2 3 ? 数列 {nbn } 的前 n 项和为 Tn ? 2 ? ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? 3 ? ?3 3 3 1 n ?1 n ? ?1 2 3 ? Tn ? 2 ? 2 ? 3 ? 4 ? ??? ? n ? n?1 ? ???????????????9 分 3 3 3 ? ?3 3 3 ?1? 1? ? 1? n ? ? ? 2 1 n ? 2n ? 3 3 3 ? n ? ?1 1 1 二式相减得: Tn ? 2 ? ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? n ?1 ? = 2 ? ? ? n ?1 ? ? 1 ? n ?1 3 3 3 ? 3 ? 3 ? 1? 1 ?3 3 3 ? ? 3 ? ? 3 ? 2n ? 3 ? ?Tn ? ?1 ? n ?1 ? ????????????????????????12 分 2? 3 ?
18. (Ⅰ)证:设 BF 的中点为 G,连 DG,PG 则 DG//AF ∴DG//平面 AEF 由 BF=2FC ∴FC=FG EF//PG ∴PG//平面 AEF 因而平面 PGD//平面 AEF,PD ? 平面 PGD ∴PD//平面 AEF ???????????????6 分 (Ⅱ)解:∵E 是 PC 的中点,AB=AC=AP=2,且 BF=2FC ∴ VP ? AEF ? VC ? AEF ? VE ? ACF ?

1 VP ? ACF 2
5

1 1 1 1 1 2 ? ? VP ? ABC ? ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 3 6 3 2 9
(II)由

?????????????????12 分

19.解: (I)编号依次为:385,482,462,231,309. ?????????????3 分

8?m?9 ? 0.35 ,得 m=18, 100

因为 8+9+8+18+n+9+9+11+11=100, 得 n=17. ???????????????5 分 (III)由题意 m+n=35, 且 m ? 13, n ? 11 ,所以满足条件的(m,n)有 (13,22) 、 (14,21) 、 (15,20) 、 (16,19) 、 (17,18) 、 (18,17) 、 (19,16) 、 (20,15) 、 (21,14) 、 (22,13) 、 (23,12) 、 (24,11)共 12 种,且每组出现都是等可能的. ???8 分 记:“数学成绩“优”比“良”的人数少”为事件 M, 则事件 M 包含的基本事件有(13,22) 、 (14,21) 、 (15,20) 、 (16,19) 、 (17,18)共 5 种,所以

P(M)=

5 .????????????12 分 12

20.解: (I)? ⊙M 过坐标原点 O(0,0)和抛物线 C: y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F (

p , 0) 2 p p 3 ? 圆心 M 在 OF 的垂直平分线 x ? 上,又圆心 M 到 C 的准线: x ? ? 的距离为 2 2 4 p ? p? 3 ? ? ? ? ? ? ,解得 p ? 2 ? 抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4x ?????4 分 4 ? 2? 2
(II) (解法一)? 点 N(s, 4)在抛物线 C: y 2 ? 4 x 上,? s=4,即 N(4,4) ,由题意知,直 线 AB 的斜率不为 0.设 AB 的方程为: x ? my ? t

A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )

?? ? 16m2 ? 16t ? 0 x ? my ? t ? ? 联立 ? 2 得 y2 ? 4my ? 4t ? 0 则 ? y1 ? y2 ? 4m ?????7 分 ? y ? 4x ? y y ? ?4t ? 1 2 ??? ? ??? ? 又 NA ? NB,? NA ? NB ? 0 即 ( x1 ? 4, y1 ? 4) ? ( x2 ? 4, y2 ? 4) ? 0 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16 ? y1 y2 ? 4( y1 ? y2 ) ? 16
? y2 y 2? y12 y2 2 ? 4 ? 1 ? 2 ? ? 16 ? y1 y2 ? 4( y1 ? y2 ) ? 16 4? 4 4 ? ? 4 2 (y y ) ? 1 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 3 y1 y2 ? 4( y1 ? y2 ) ? 32 16 2 ? t ? 16m 2 ? 12t ? 32 ? 16m ? 0 ? (t ? 6)2 ? 4(2m ? 1)2 ? t ? 6 ? ?2(2m ? 1) ? t ? 4m ? 8 或 t ? ?4m ? 4 ???10 分 当 t ? ?4m ? 4 时, ? ? 16(m ? 2)2 ≥0 直线 AB 的方程为 x ? my ? 4m ? 4 ,恒过定点 N(4,4) ,不合题意舍去 2 当 t ? 4m ? 8 时, ? ? 16((m ? 2) ? 4) ? 0 ,直线 AB 的方程为 x ? my ? 4m ? 8 ,恒过定点(8,-4) ?????????????????12 分 ?
解法二: , ? 点 N(s, 4)在抛物线 C: y 2 ? 4x 上,? s=4,即 N(4,4) 由题意知,AN,NB 的斜率都存在不为 0. 设 lAN : y ? 4 ? k ( x ? 4)

6

1 lBN : y ? 4 ? ? ( x ? 4) ???????????????????????7 分 k ? y ? kx ? 4 ? 4k 联立 ? 2 消去 x 得 ky 2 ? 4 y ? 16 ?16k ? 0 . ? y ? 4x 4 此方程的二根为 A,N 的纵坐标 ? y A ? 4 ? k 4 ? yA ? ? 4 k 1 同理,在上式中用 ? 代替 k 得 yB ? ?4k ? 4 ???????????????9 分 k y ? yB y A ? yB 4 4 1 k ? 2 ? ? ? K AB ? A ? ? 2 2 4 1 yA y x A ? xB y A ? yB ? 4k ? 8 ? k ? 2 1 ? k ? 2k ? B k k 4 4 16 1 ? ? ? 32 ? 16 ? 2 ? 4 k k k ? l AB : y ? ? 4 ? ?x? ? k 1 ? k 2 ? 2k ? 4 ? ? ? 2 (1 ? k ? 2k )( y ? 4) ? 4k ? 8 ? kx ? 8 ? 4k
即 (1 ? k 2 ? 2k )( y ? 4) ? k ( x ? 8) ? 直线 AB 恒过定点(8,-4) ????????????????????12 分

2e x ?1 x?0 21. 解(I)? f ( x) ? e ln x ? x e x 2 xe x ?1 ? 2e x ?1 ? f ?( x) ? e x ln x ? ? x x2 ? f (1) ? 2, f ?(1) ? e ?????????????????????????3 分 ? 曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程为 y ? 2 ? e( x ? 1) 即 y ? ex ? 2 ? e ????????????????????4 分 x 2 x?0 (II)? g ( x) ? x f ( x) ? x ln x ? ? g ?( x) ? 1 ? ln x e e ?1 ? ? 1? 由 g ?( x) ? 0 得 x ? ? , ?? ? ,由 g ?( x) ? 0 得 x ? ? 0, ? ?e ? ? e? ? 1? ?1 ? ? g ( x) 在 ? 0, ? 上是减函数,在 ? , ?? ? 上是增函数, ? e? ?e ? 1 ?1? 1 在 x ? 时, g ( x) 取到最小值 g ? ? ? ?????????????????8 分 e ?e? e x 1? x x ? 0 则 h?( x ) ? x 令 h( x ) ? x 由 h?( x) ? 0 得 0 ? x ? 1 ,由 h?( x) ? 0 得 x ? 1 e e ? h( x) 在(0,1)上是增函数,在 (1, ??) 上是减函数 1 x 在 x ? 1 时, h( x) 取到最大值 h(1) ? ? 对任意 x ? 0 都有 g ( x) ? x 成立. e e
x

????12 分 选做题 22. 证明: (1) PE 是切线,? ?A ? ?BEP
7

? PC 平分 ?APE,? ?A ? ?CPA ? ?BEP ? ?DPE ? ?ECD ? ?A ? ?CPA, ?EDC ? ?BEP ? ?DPE ??ECD ? ?EDC,? EC ? ED
????????????????????5 分 (2)? ?PDB ? ?EDC, ?EDC ? ?ECD,??PDB ? ?PCE,

??

? ?BPD ? ?EPC,??PBD ∽ ?PEC ,?

PE PC ? ??????????8 分 PB PD PC CA CA PE ? ? ? 同理, ?PDE ∽ ?PCA ,? ????????????10 分 PD DE CE PB

23. 解: (I)设点 M 的极坐标为 M( ? ,? ) ,由题意可得:

? ?e ? sin ? ? p

? 曲线 C 的极坐标方程为: ? ?

若 0 ? e ? 1 时,曲线 C 是椭圆 若 e ? 1 时,曲线 C 是抛物线 若 e ? 1 时,曲线 C 是双曲线 ??????????????????????5 分 (II)由 e ? 1, p ? 1 得:曲线 C 的极坐标方程为 ? ? ? sin ? ? 1 化成直角坐标方程: x2 ? 2 y ? 1

ep 1 ? e sin ?

????????????????3 分

4 的直角坐标方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 cos ? ? 2sin ? M,N 分别为曲线 C 和直线 l 上的动点 |MN|的最小值就是 M 到 l 的距离最小值 | x ? 2 y0 ? 4 | | x0 ? 1 ? x02 ? 4 | ? ? | MN |min ? 0 5 1 ? 22
直线 l : ? ?
2

???????????7 分

1 ? 11 ? | ? x0 ? ? ? | 2 1 | x ? x0 ? 3 | ? 11 5 2? 4 ≥ ,当 x0 ? 时,取“=” ? 0 ? 2 20 5 5 11 5 ? 1 3? ,此时 M 点的坐标为 M ? , ? ? ?????????10 分 ? |MN|的最小值为 20 ? 2 8? 24. 解(I)? f ( x) ?| x ? 3| ?m ? 1 m ? 0 且 f ( x ? 3) ≥0 解集为 (??, ?2] ? [2, ??) ? | x | ≥m-1 的解集为 (??, ?2] ? [2, ??) ? m ? 1 ? 2,? m ? 3 ??????????????????????????5 分 (II)由(I)得 f ( x) ?| x ? 3| ?2 5 ? ?x ? R ,使 f ( x) ≥ | 2 x ? 1| ?t 2 ? t 成立 2 5 2 即 ?x ? R ,使 | x ? 3 | ? | 2 x ? 1| ≥ ?t ? t ? 2 成立 ????????????6 分 2 ? x ? ?3 ?x ? 4 ? 1 ? 令 g ( x) ?| x ? 3 | ? | 2 x ? 1|? ?3 x ? 2 ?3 ? x ? 2 ? 1 ? ?x ? 4 x ? ? ? 2
8

?1? 7 ????????????????????????8 分 ?2? 2 7 5 2 2 则有 ≥ ?t ? t ? 2 ,即 2t ? 5t ? 3 ≥0. 2 2 3 (2t ? 3)(t ?1) ≥0,解得 t ≤1 或 t ≥ 2 ? ?3 ? 实数 t 的取值范围是 (??,1] ? ? , ?? ? ????????????????10 分 ?2 ?
故 g ( x)max ? g ? ? ?

9


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