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高三文科函数与导数练习(含答案)


高三文科数学练习题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.已知集合 M = A. x x ? ?2

{x

? x ?1 ? x 2 < 4} , N ? ? x ? 0? ,则集合 M ? N 等于 ? x ?3 ?
B. x x ? 3


r />)[Z§xx§k.Com]

?

?

?

?

C. x ? 1 ? x ? 2

?

?

D. x 2 ? x ? 3

?

?
( )

2.命题“对任意的 x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 ”的否定是 A.不存在 x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 C.存在 x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 B.存在 x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 D. 对任意的 x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0

3. 如果对于任意实数 x , ? x ? 表示不超过 x 的最大整数. 例如 ?3.27? ? 3 , ?0.6? ? 0 . 那么“ ? x? ? ? y ? ”是“ x ? y ? 1”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 4. 设函数 f ( x ) ? ? A. ? (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 ( )

?2 x, ? g ( x ),

x ? 0, x ? 0.

若 f ( x ) 是奇函数,则 g (2) 的值是





1 4
3

B. ?4

C.

1 4

D. 4 ( )

5.函数 f ( x) ? x ? x( x ? R) A.是奇函数且在 (??,??) 上是增函数 C.是偶函数且在 (??,??) 上是增函数 B.是奇函数且在 (??,??) 上是减函数 D.是偶函数且在 (??,??) 上是减函数

6.已知 f ( x) ?| log3 x | ,则下列不等式成立的是 A. f ( ) ? f ( 2) 7.函数 f ( x) ? 2
y
|log 2 x|





1 2

B. f ( ) ? f (3)

1 3

C. f ( ) ? f ( )

1 4

1 3

D. f (2) ? f (3) ( ) .

? x?

1 的大致图像为 x
y y y

1

1 1 A.
x

1 1 B.
x

1 1 C.
x

O

O

O

O

1 D.

x

8.下列函数中,不满足: f (2 x) ? 2 f ( x) 的是





( A) f ( x ) ? ? x

( B ) f ( x) ? x ??

(C ) f ( x) ? x ? x
1

( D ) f ( x) ? x

9.设函数 D( x ) ? ?

?1, x为有理数 ?0, x为无理数

,则下列结论错误的是





A. D ( x ) 的值域为 {0,1} C. D ( x ) 不是周期函数 10.设函数 f ( x) ? xe x ,则 A. x ? ?1 为 f ( x ) 的极大值点 C. x ? 1 为 f ( x ) 的极大值点 11.设 M ?

B. D ( x ) 是偶函数 D. D ( x ) 不是单调函数 ( B. x ? ?1 为 f ( x ) 的极小值点 D. x ? 1 为 f ( x ) 的极小值点[来源:学,科,网]
xy



3x ? 3 y , N ? ( 3) x ? y , P ? 3 2

(其中 0 ? x ? y ) , 则 M , N , P 大小关系为 (C) P ? M ? N (D) P ? N ? M

(

)

(A) M ? N ? P

(B) N ? P ? M

12.函数 f ( x ) 在 [a , b] 上有定义, 若对任意 x1 , x2 ? [a, b] , 有 f(

x1 ? x 2 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] , 则称 f ( x ) 在 [a , b] 2 2

上具有性质 P 。设 f ( x ) 在[1,3]上具有性质 P ,现给出如下命题: ① f ( x ) 在 [1,3] 上的图像时连续不断的; ② f ( x 2 ) 在 [1, 3] 上具有性质 P ; ③若 f ( x ) 在 x ? 2 处取得最大值 1,则 f ( x ) ? 1 , x ? [1,3] ; ④对任意 x1 , x2 , x3 , x4 ? [1,3] ,有 f ( 其中真命题的序号是 A.①② B.①③

x1 ? x2 ? x3 ? x4 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? f ( x4 )] 。 2 4
( ) D.③④

C.②④

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知 log3

x ? 2 ,则 x =__________.
1 2

14.已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过(4,2)点,则 f ( ) ? __________ . 15.若 a ? 0且a ? 1,函数y ?| a x ? 1 | 与y ? 2a 的图象有两个交点,则 a 的取值范围是 。

?a 2 ? ab, a ? b 16. 对于实数 a , b ,定义运算“ ? ” : a ?b ? ? 2 ,设 f ( x) ? (2 x ? 1) ? ( x ? 1) ,且关于 x 的方程为 ?b ? ab, a ? b
f ( x ) ? m(m ? R) 恰有三个互不相等的实数根 x1 , x2 , x3 ,则 x1 x2 x3 的取值范围是_____。

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
2 B ? x x 2 ? ax ? (a ? 1) ? 0 , C ? x x 2 ? mx ? 2 ? 0 , 17. (10 分) 设集合 A ? x x ? 3 x ? 2 ? 0 , 若 A? B ? A,

?

?

?

?

?

?

A?C ? C ,
(Ⅰ)求实数 a 的取值集合. (Ⅱ)求实数 m 的取值集合.

18. (12 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx (a, b ? R) 的图象过点 P(1,2) ,且在点 P 处的切线斜率为 8.
3 2

(Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间;

19.(12 分) (Ⅰ)已知奇函数 f ( x ) ( x ? R ) ,当 x ? 0 时, f ( x ) ? x( 5 ? x ) ? 1 ,求 f ( x ) 在 R 上的表达式. (Ⅱ)设定义在[-2,2]上的偶函数 f ( x ) 在区间[0,2]上 单调递减,若 f ( 1 ? m ) ? f ( m ) ,求实数 m 的取值 范围.

3

20.(12 分)已知函数 f ( x) ? x | x ? 2 | . (Ⅰ)写出 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)解不等式 f ( x ) ? 3 ; (Ⅲ)设 0 ? a ? 2 ,求 f ( x ) 在 [0,a ] 上的最大值.

21.(12 分)已知函数 f ( x) ? log 2 ( x ? 1) ,当点 ( x, y) 是 y ? f ( x) 的图象上的点时,点 ( , 象上的点. (Ⅰ)写出 y ? g ( x) 的表达式; (Ⅱ)当 g ( x) ? f ( x) ? 0 时,求 x 的取值范围; (Ⅲ)当 x 在(Ⅱ)所给范围取值时,求 g ( x) ? f ( x) 的最大值.

x 3

y ) 是 y ? g ( x) 的图 2

22.(12 分)若函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处取得极大值或极小值,则称 x0 为函数 y ? f ( x) 的极值点。 已知 a, b 是实数,1 和 ?1是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g ( x) 的导函数 g ?( x) ? f ( x) ? 2 ,求 g ( x) 的极值点;

2] ,求函数 y ? h( x) 的零点个数. (3)设 h( x) ? f ( f ( x)) ? c ,其中 c ? [?2 ,

4

高三文科数学练习题答案
一、选择题: 1-5:CCAAA 6-10:CCBCB 11-12:DD 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 把答案填在题中横线上 . 13.81 14.

2 2

15.(0,

1 1? 3 ) 16. ( ,0) 2 16

16.分析: 由题可得, f ( x ) ? ?

? x(2 x ? 1), x ? 0 ?? x( x ? 1), x ? 0

1 1 ( , ) 2 4

1 可得 m ? (0, ), x2 ? x3 ? 1 , 4 1 且 m ? , x 2 x3 ?, | x1 |? 4
所以 m ?

y?m

x ? x1(0,0) x ? x2

x ? x3

(1,0)

1 1? 3 时, | x1 x2 x3 |max ? , 4 16

所以 m ? (

1? 3 ,0) 。 16

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
2 17.解: (1)? A ? {1,2} B ? x x ? ax ? (a ? 1) ? 0 ? x ( x ? 1)[ x ? (a ? 1)] ? 0

?

? ?

?

? 由A ? B ? A得B ? A
? a ?1 ? 1或a ?1 ? 2,即a ? 2或a ? 3. ? a的集合是 {2,3}
(2)由 A ? C ? C 得 C ? A 当 C 是空集时, ? m ? 8 ? 0即? 2 2 ? m ? 2 2 [来源:学科网]
2

当 C 为单元素集合时, ? ? 0, m ? ?2 2 ,此时 C={ 2 }或 C={ ? 2 } 不满足题意 当 C 为双元素集合时,C 只能为{1,2},此时 m ? 3 综上 m 的取值集合为 {m|m ? 3或 ? 2 2 ? m ? 2 2}

18. (Ⅰ)解:∵函数 f ( x) 的图象过点 P(1,2) , ∴ f (1) ? 2 . ∴ a ? b ? 1. ①

又函数图象在点 P 处的切线斜率为 8,
5

∴ f ' (1) ? 8 , 又 f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b , ∴ 2a ? b ? 5 . ②

解由 ①②组成的方程组,可得 a ? 4, b ? ?3 . (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ' ( x) ? 3x 2 ? 8x ? 3 , 令 f ' ( x) ? 0 ,可得 x ? ?3或x ? 令 f ' ( x) ? 0 ,可得 ? 3 ? x ?

1 ; 3

1 . 3
1 1 ( ,?? ) ,减区间为 ( ?3, ) .[来源:学 3 3

∴函数 f ( x) 的单调增区间为 ( ?? ,?3),

19.解: (1)因为 f ( x ) 是 R 上的奇函数,所以 f ( 0 ) ? 0 . 当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,故有 f ( ?x ) ? ?x ?5 ? ( ?x )? ? 1 ? ?x( 5 ? x ) ? 1 . 所以 f ( x ) ? ? f ( ? x ) ? x( 5 ? x ) ? 1 .

? x( 5 ? x ) ? 1 ( x ? 0 ), ? ( x ? 0 ), 所以 f ( x ) ? ?0 ? x( 5 ? x ) ? 1 ( x ? 0 ). ?
(2)设 定义在[-2,2]上的偶函数 f ( x ) 在区间[0,2]上单调递减,若 f ( 1 ? m ) ? f ( m ) ,求实数 m 的取值范围. 解:因为 f ( x ) 是偶函数, 所以 f ( x ) ? f (| x |) , 所以不等式 f ( 1 ? m ) ? f ( m ) ? f (| 1 ? m |) ? f (| m |) . 又 f ( x ) 在区间[0,2]上单调递减,

?| 1 ? m |?| m |, ? 所以 ? ?2 ? 1 ? m ? 2, ? ?2 ? m ? 2. ?

解得 ?1 ? m ?

1 . 2

20.(Ⅰ)解: f ( x) ? x | x ? 2 |? ?

2 2 ? ? x ? 2 x ? ( x ? 1) ? 1, x ? 2, 2 2 ? ?? x ? 2 x ? ?( x ? 1) ? 1, x ? 2.

2] . 1] 和 [2, ? ?) ; 单 调递减区间是 [1, ? f ( x ) 的单调递增区间是 ( ??,

(Ⅱ)解:

? x ? 2, ? x ? 2, x | x ? 2 |? 3 ? ? 2 或? 2 ? 2 ? x ? 3 或 x ? 2, ? x ? 2 x ? 3 ? 0, ? x ? 2 x ? 3 ? 0,
[来源:学&科&网]
6

? 不等式 f ( x ) ? 3 的解集为 {x | x ? 3}.

(Ⅲ)解: (1)当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 是 [0,a ] 上的增函数,此时 f ( x ) 在 [0,a ] 上的最大值是 f ( a ) ? a (2 ? a )

1] 上是增函数,在 [1, a ] 上是减函数,此时 f ( x ) 在 [0,a ] 上 的最大值是 f (1) ? 1 ; (2)当 1 ? a ? 2 时, f ( x ) 在 [0,
综上,当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在 [0,a ] 上的最大值是 a(2 ? a ) ;当 1 ? a ? 2 时, f ( x ) 在 [0,a ] 上的最大值是 1 。

21.解: (1) 令

x y ? m, ? n, m, y 2? n 则x?3 3 2 1 故 n ? log 2 (3m ? 1) , 2

, 由点 ( x, y) 在 y ? log 2 ( x ? 1) 的图 象上可得 2n ? log2 (3m ? 1) ,

又 (m, n) 是函数 y ? g ( x) 的图象上的点, 故 g ( x) ? (2)因为 g ( x) ? f ( x) ? 0 ,所以

1 1 log 2 (3x ? 1) ( x ? ? ) . 2 3

1 log 2 (3 x ? 1) ? log 2 ( x ? 1) . 2

?3x ? 1 ? 0 ? 由对数函数的性质可得 ? x ? 1 ? 0 , 解得 0 ? x ? 1 . ?3x ? 1 ? ( x ? 1) 2 ? (3)因为 0 ? x ? 1 , 1 3x ? 1 1 9 1 9 所以 g ( x) ? f ( x) ? log 2 ? log 2 ? log 2 . 2 4 2 ( x ? 1) 2 8 (3x ? 1) ? ?4 2 3x ? 1 1 当且仅当 3x ? 1 ? 2 时,即 x ? 时等号成立, 3 1 9 故 g ( x) ? f ( x) 在 [0,1] 上的最大值为 log 2 . 2 8

22.解: (1)由 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ,得 f' ( x) ? 3x2 ? 2ax ? b 。 ∵1 和 ?1是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的两个极值点, ∴ f' (1) ? 3 ? 2a ? b=0 , f' (?1) ? 3 ? 2a ? b=0 ,解得 a =0,b = ? 3 。 (2)∵ 由(1)得, f ( x) ? x3 ? 3x , ∴ g?( x) ? f ( x) ? 2=x3 ? 3x ? 2= ? x ? 1? ? x ? 2? ,解得 x1 =x2 =1,x3 = ? 2 。
2

∵当 x < ?2 时, g ?( x) < 0 ;当 ?2 < x < 1 时, g ?( x) > 0 , ∴ x = ? 2 是 g ( x) 的极值点。 ∵当 ?2 < x < 1 或 x > 1 时, g ?( x) > 0 ,∴ x =1 不是 g ( x) 的极值点。 ∴ g ( x) 的极值点是-2。 (3)令 f ( x)=t ,则 h( x) ? f (t ) ? c 。
7

先讨论关于 x 的方程 f ( x )=d 根的情况: d ?? ?2, 2? 当 d =2 时, 由 (2 ) 可知,f ( x)= ? 2 的两个不同的根为 I 和一 2 , 注意到 f ( x) 是奇函数, ∴ f ( x )=2 的两个不同的根为一和 2。 当 d < 2 时,∵ f (?1) ? d =f (2) ? d =2 ? d > 0 , f (1) ? d =f (?2) ? d = ? 2 ? d < 0 , ∴一 2 , -1,1 ,2 都不是 f ( x )=d 的根。 由(1)知 f' ( x)=3? x ? 1?? x ? 1? 。 ① 当 x ? ? 2, ? ? ? 时, f' ( x) > 0 ,于是 f ( x) 是单调增函数,从而 f ( x) > f (2)=2 。 此时 f ( x )=d 在 ? 2, ? ? ? 无实根。 ② 当 x ? ?1 , 2 ? 时. f' ( x) > 0 ,于是 f ( x) 是单调增函数。 又∵ f (1) ? d < 0 , f (2) ? d > 0 , y =f ( x) ? d 的图象不间断, ∴ f ( x )=d 在(1 , 2 )内有唯一实根。 同理, f ( x )=d 在(一 2 ,一 I )内有唯一实根。 ③ 当 x ? ? ?1 , 1? 时, f' ( x) < 0 ,于是 f ( x) 是单调减两数。 又∵ f (?1) ? d > 0 , f (1) ? d < 0 , y =f ( x) ? d 的图象不间断, ∴ f ( x )=d 在(一 1,1 )内有唯一实根。 因此,当 d =2 时, f ( x )=d 有两个不同的根 x1,x2 满足 x1 =1,x2 =2 ;当 d < 2 时

f ( x )=d 有三个不同的根 x3,x1,x5 ,满足 xi < 2,i =3, 4, 5 。
现考虑函数 y ? h( x) 的零点: ( i )当 c =2 时, f (t )=c 有两个根 t1,t2 ,满足 t1 =1, t2 =2 。 而 f ( x)=t1 有三个不同的根, f ( x)=t2 有两个不同的根,故 y ? h( x) 有 5 个零点。 ( 11 )当 c < 2 时, f (t )=c 有三个不同的根 t3,t4,t5 ,满足 ti < 2,i =3, 4, 5 。 而 f ( x)=ti ? i =3, 4, 5? 有三个不同的根,故 y ? h( x) 有 9 个零点。 综上所述,当 c =2 时,函数 y ? h( x) 有 5 个零点;当 c < 2 时,函数 y ? h( x) 有 9 个零点。

8


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