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2012届高考数学二轮复习教案专题七第23讲 分类与整合思想和化归与转化思想


第 23 讲 分类与整合思想和化归与转化思想
主干知识整合 1.分类与整合思想 在解某些数学问题时,我们常常会遇到这样一种情况:解到某一步之后,发现问题的发 展是按照不同的方向进行的. 当被研究的问题包含了多种情况时, 就必须抓住主导问题发展 方向的主要因素, 在其变化范围内, 根据问题的不同发展方向, 划分为若干部分分别研究. 这 里集中体现的是由大化小,由整体化为部分,由一般化为特殊的解决问题的方法,其研究的 基本方向是“分”,但分类解决问题之后,还必须把它们整合在一起,这种“合—分—合” 的解决问题的思想,就是分类与整合思想. 2.化归与转化思想 在解决一个问题时人们的眼光并不落在结论上,而是去寻觅、追溯一些熟知的结果,由 此将问题化难为易,化繁为简,化大为小,各个击破,达到最终解决问题的目的,这种解决 问题的思想就是化归与转化思想. 要点热点探究 ? 探究点一 分类与整合思想

例 1 已知函数 f(x)=|x|+|x-1|+|x-2|. (1)写出函数的单调区间; (2)设 g(x)=-x +bx,若对任意的 x1,x2∈[-1,4],f(x1)≥g(x2)恒成立,求实数 b 的取值范围. 【分析】 (1)根据绝对值的概念,通过把实数集分割为四个子集,在各个子集上,函 数解析式就可以去掉绝对值符号,转化为一般的一次函数,通过研究各个段上的函数单调 性,把其整合为整个函数的单调性;(2)问题等价于在区间[-1,4]上,函数 f(x)的最小值 大于或者等于函数 g(x)的最大值, 根据函数 g(x)的对称轴和单调性分类求解 g(x)的最大值, 通过最值的不等式,得出各个情况的结果,最后整合为一个整体结论.
2

?-3x+3,x≤0, ?-x+3,0<x≤1, 【解答】 (1)函数 f(x)=? x+1,1<x≤2, ?3x-3,x>2. ?

由于这个函数的图象是连续不断

的,在(-∞,0]和(0,1]上,函数是单调递减的,在(1,2],(2,+∞)上,函数是单调递 增的,在 x=1 处图象连续.所以函数 f(x)的单调递减区间是(-∞,1],单调递增区间是 [1,+∞). (2)由(1)知,函数 f(x)在区间[-1,4]上的 x=1 处取得最小值,即 f(x)min=f(1)=2.
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当 ≤-1,即 b≤-2 时,函数 g(x)在[-1,4]上单调递减,其最大值为 g(-1)=-1 2 -b.由 2≥-1-b 得 b≥-3.故此时-3≤b≤-2; 当-1< <4,即-2<b<8 时,函数 g(x)在 x= 处取得最大值,其最大值为 g? ?= .由 2 2 ?2? 4 2≥ 得-2 2≤b≤2 2.故此时-2<b≤2 2; 4 当 ≥4,即 b≥8 时,函数 g(x)在[-1,4]上单调递增,其最大值为 g(4)=-16+4b. 2 9 由 2≥-16+4b,得 b≤ .故此时 b 无解. 2 综上所述,b 的取值范围是[-3,2 2]. 例 2 已知函数 f(x)=lnx-ax+ 单调性. 【分析】 求出导数后,讨论函数 f(x)的导数的符号 即可. 1-a

b

b

b

2 ?b? b

b2

b

x

(0<a<1),讨论函数 f(x)的

a-1 ax2-x+1-a 【解答】 f′(x)= -a+ 2 =- ,x∈(0,+∞).由 f′(x)=0,即 x x x2
1

ax2-x+1-a=0,解得 x1=1,x2= -1. a
1 1 1 (1)若 0<a< , x2>x1.当 0<x<1 或者 x> -1 时, ′(x)<0; 1<x< -1 时, ′(x)>0. 则 f 当 f 2 a a

1

?1 ? ? 1 ? 故此时函数 f(x)的单调递减区间是(0,1),? -1,+∞?,单调递增区间是?1, -1?. ?a ? ?
a

?

1 1 (2)若 a= 时, 1=x2, x 此时 f′(x)≤0 恒成立, 且仅在 x= 处等于零, 故此时函数 f(x) 2 2 在(0,+∞)上单调递减; 1 1 1 (3)若 <a<1, 0<x2<x1.当 0<x< -1 或者 x>1 时, ′(x)<0; -1<x<1 时, ′(x)>0. 则 f 当 f 2 a a

? 1 ? ?1 ? 故此时函数 f(x)的单调递减区间是?0, -1?,(1,+∞),单调递增区间是? -1,1?. a a ? ? ? ?
1 ?1 ? 综上所述:当 0<a< 时,函数 f(x)的单调递减区间是(0,1),? -1,+∞?,单调递增 2 ?a ? 1 1 ? 1 ? 区间是?1, -1?;当 a= 时,函数 f(x)的单调递减区间是(0,+∞);当 <a<1,函数 f(x) 2 2 ? a ?

? 1 ? ?1 ? 的单调递减区间是?0, -1?,(1,+∞),单调递增区间是? -1,1?. ?
a

?

?a

?

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?

探究点二 例3

化归与转化思想
3 2

(1)已知函数 f(x)=x +2x -ax+1.若函数 g(x)=f′(x)在区间(-1,1)上存在

零点,则实数 a 的取值范围是________.

(2) 若抛物线 y=x +4ax+3-4a,y=x +(a-1)x+a ,y=

2

2

2

x2+2ax-2a 中至少有一条与 x 轴相交,则实数 a 的取值范围是________.
【分析】 (1)很显然,函数 g(x)是二次函数,二次函数在一个开区间上存在零点,情 况是很复杂的,但这个二次函数可以把参数分离出来,这样就把问题转化为求一个具体的 函数的值域;(2)至少有一条与 x 轴相交情况,包括七种情况,直接求解比较困难,从其反 面考虑.

? 4 ? (1)?- ,7? ? 3 ?
2

3? ? (2)?-∞,- ?∪[-1,+∞) 2? ?
2

【解析】 (1)g(x)=f′(x)=3x +4x-a,g(x)=f′(x)在区间(-1,1)上存在零点, 等价于 3x +4x=a 在区间(-1,1)上有解, 等价于 a 的取值范围是函数 y=3x +4x 在区间(-
2

? 4 ? ? 4 ? 1,1)上的值域,不难求出这个函数的值域是?- ,7?.故所求的 a 的取值范围是?- ,7?. 3 ? ? ? 3 ?
2 ?Δ 1=? 4a? -4? 3-4a? <0, ? 2 2 (2)由?Δ 2=? a-1? -4a <0, ?Δ 3=? 2a? 2+8a<0, ?

3 解得- <a<-1,再求它的补集,则 a 的取 2

3 值范围是:a≤- 或 a≥-1. 2 例 4 π? ?π ? ? (1) 若 cos ? +α ? = 2sin ?α - ? , 则 sin(α - 2π )sin(α - π ) - 2? ?2 ? ?

?5π ? ?3π ? sin? +α ?sin? -α ?=________. 2 ? ? ? 2 ?
(2)函数 f(x)=sinx+cosx+sin2x 的最小值是________. 【分析】 (1)化简已知和求解目标,然后采取适当的方法;(2)把 sinx+cosx 看做一 个整体,用这个整体表示已知函数. (1)- 3 5 (2)- 5 2 2 【解析】(1)已知条件即 sinα =2cosα , 求解目标即 cos α -sin α . 4 cos α -sin α 1-tan α = ,把已知代入得求 2 2 2 cos α +sin α 1+tan α
2 2 2

已知条件转化为 tanα =2,求解目标转化为 3 解结果是- . 5

(2)令 t=sinx+cosx,则 t =1+sin2x,且 t∈[- 2, 2].此时函数化为 y=t+t
2

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? 1?2 5 -1=?t+ ? - ,故所求函数的最小值为 ? 2? 4
5 - . 4 ? 创新链接 11 活用数学思想方法解题

数学思想方法在解题中具有指导作用,灵活使用数学思想对优化解题过程、得出正确 答案具有重要意义. 在数学思想方法中,函数与方程是相互联系的,在一定条件下,它们可以相互转化, 如解方程 f(x)=0 就是求函数 y=f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标;方程 f(x)=g(x)的解 就是函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象交点的横坐标.函数思想在于揭示问题的数量关系的本 质特征,运用函数思想解题,重在对问题中的变量的动态研究,从变量的运动、变化、联 系和发展角度打开思路;而方程思想则是动中求静,研究运动中的等量关系.函数思想与 方程思想常常是相辅相成的,函数的研究离不开方程,方程的研究也要借助函数,以寻找 解决问题的思路. 例 5 设 a 为实数,函数 f(x)=x -x -x+a. (1)求 f(x)的极值; (2)当 a 在什么范围内取值时,函数 f(x)=0 只有一个实数根?
3 2

【分析】 (1)按照导数研究函数性质的方法,根据导数等于零的点及其导数在这个点 附近的符号变化进行判断求解; (2)方程 f(x)=0 只有一个实数根等价于函数 y=f(x)的图象与 x 轴只有一个公共点,根据 三次函数存在两个极值点、三次函数图象的变化趋势,只要函数的极大值小于零,或者极 小值大于零即可. 1 2 【解答】 (1)f′(x)=3x -2x-1,令 f′(x)=0,得 x1=- ,x2=1. 3 当 x 变化时,f′(x),f(x)变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

?-∞,-1? ? 3? ? ?
+ 单调递增

- 0

1 3

?-1,1? ? 3 ? ? ?
- 单调递减

1 0 极小值

(1,+∞) + 单调递增

极大值

? 1? 5 ∴f(x)的极大值是 f?- ?= +a,极小值是 f(1)=a-1. ? 3? 27
(2)根据三次函数的特征, x 足够大时, 当 一定有 f(x)>0, x 足够小时一定有 f(x)<0, 当 结合函数的单调性和极值, 函数 y=f(x)与 x 轴只有一个公共点的充要条件是极大值小于零

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5 5 或极小值大于零,即 +a<0 或 a-1>0,即 a<- 或者 a>1. 27 27 5? ? 所以当 a∈?-∞,- ?∪(1,+∞)时,函数 y=f(x)的图象与 x 轴仅有一个交点. 27? ? 【点评】 本题第一问是研究函数性质,但必须通过解导数等于零的方程,根据方程的 根确定函数的极值点,研究函数要考解方程;第二问是研究方程的根,要借助于函数的性 质,对方程根的情况作出判断,方程的研究要借助函数.本题表明函数与方程是相辅相成 的. 变式题

?x≥0, ? 设 x,y 满足约束条件?y≥x, ?4x+3y≤12, ?
A.[1,5] C.[3,10] D



x+2y+3 的取值范围是( x+1

)

B.[2,6] D.[3,11]

【解析】 目标的几何意义不明显,可以变换为 1+2·

y+1 y+1 ,其中 的几何意义 x+1 x+1 y+1 ,令 z x+1

是明确的,即区域内的点与点(-1,-1)连线的斜率.变换求解目标为 1+2·

?x≥0, ? y+1 = ,其几何意义是区域?y≥x, x+1 ?4x+3y≤12 ?

内的点到点 M(-1,-1)连线的斜率.如图,

显然 z 的值满足 kMA≤z≤kMB,kMA=1,kMB=5,故 1≤z≤5,所以 3≤

x+2y+3 ≤11. x+1

变式题 2

n∈N,n>1.求证:?1+ ??1+ ???1+ > 3 5 2n-1?

? ?

1??

??

1?

? ? ?

1

? ?

2n+1 2
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【解答】 证明:问题等价于证明

?1+1??1+1???1+ 1 ? ? 3?? 5? ? 2n-1? ? ?? ? ? ? 1
2n+1

> , 2

构造函数 f(n)=

?1+1??1+1???1+ 1 ? ? 3?? 5? ? 2n-1? ? ?? ? ? ?
2n+1

,通过函数的单调性解决问题.

设 f(n)=

1 1 1 1+ 1+ ?1+ 3 5 2n-1 2n+1

(n≥2),则

f? n+1? = f? n?

1? 1? 1 1+ ?1+ ??1+ 3? 5? 2n+1 2?

n+1? +1

×

2n+1 2? n+1? 2? n+1? = > 2 1? 1? 1 4? n+1? -1 4? n+1? 1+ ?1+ ??1+ 3? 5? 2n-1

2

=1,

即 f(n+1)>f(n),即函数 f(n)单调递增,所以 f(n)>f(2). 4 3 5 16 > 45 16 1 1 = ,故 f(n)> , 64 2 2

f(2)=



1 ? 2n+1 ? 1?? 1? ? 所以?1+ ??1+ ????1+ ?> 2 . ? 3?? 5? ? 2n-1? 规律技巧提炼 1.分类讨论的几种情况 (1)由数学的概念、图形的位置等引发的分类讨论:数学中的概念有些就是分类的,如 绝对值的概念、直线的斜率的概念等,如果试题中涉及这些概念,就要进行分类讨论; (2)由数学的定理、法则、公式等引发的分类讨论:一些数学定理和公式是分类的,不 同的情况公式的形式,如数列的通项与前 n 项和的关系,等比数列的求和公式等,试题中 涉及这些时,就需要分类讨论; (3)由参数变化引发的分类讨论:当要解决的问题中涉及参数时,由于参数在不同范围 内取值时,问题的发展方向不同,这就要把参数划分为几个部分进行分类解决; (4)问题的具体情况引发的分类讨论:有些数学问题本身就要分情况解决,如概率计算 中要根据要求,分类求出基本事件的个数,这种情况下也需要分类讨论. 2.化归转化思想的几种情况 (1)化为已知:当所要解决的问题和我们已经掌握的问题有关系时,把所要解决的问题 化为已知问题,是化归的基本形式之一; (2)化难为易:化难为易是解决数学问题的基本思想,当我们遇到的问题是崭新的,解
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决起来困难时,就要有把这个问题化为我们熟悉的问题,熟悉的问题我们有解决的方法, 就是容易的问题,这是化难为易的一个方面;当我们所面临的问题正面解决较为困难时, 从其反面考虑,也是化难为易的一个方面; (3)化繁为简:在一些问题中,已知条件或求解结论比较繁,这时就可以通过化简这些 较繁的已知或者结论为简单的情况,再解决问题,有时把问题中的某个部分看做一个整体, 进行换元,这种方法也是化繁为简的转化思想的体现; (4)化大为小:在解答综合性试题时,一个问题往往是由几个问题组成的,整个问题的 结论,是通过这一系列的小问题得出的,这种情况下,就可以把所要解决的问题转化为几 个小问题进行解决,这就是化大为小. 教师备用例题 备选理由:一些数学定理和公式是分类的,不同的情况公式的形式,如数列的通项与 前 n 项和的关系,等比数列的求和公式等,试题中涉及这些时,就需要分类讨论.例 1 是 由数学的定理、法则、公式等引发的分类讨论,可以和[要点热点探究]中的例题配合使用; 在解答综合性试题时,一个问题往往是由几个问题组成的,整个问题的结论,是通过这一 系列的小问题得出的,这种情况下,就可以把所要解决的问题转化为几个小问题进行解决, 这就是化大为小,例 2 的目的就是如此. 例 1 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n +1,数列{bn}是首项为 1,公比为 b 的等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{anbn}的前 n 项和 Tn. 【分析】 (1)根据数列的通项和前 n 项和的关系,分类求解;(2)等比数列的公比为 b, 这里的 b 可能为 1,要分情况处理,同时要根据第一问的结果确定求和的方法,根据经验, 数列{an}从第二项起成等差数列,这样一个等差数列和一个等比数列对应项乘积组成的数 列,可以使用错位相减的方法求和. 【解答】 (1)当 n=1 时,a1=S1=2; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n +1-(n-1) -1=2n-1.
? ?2,n=1, 所以 an=? ?2n-1,n≥2. ? ? ?2,n=1, (2)当 b=1 时,anbn=? ? ?2n-1,n≥2.
2 2 2

此时 Tn=2+3+5+?+(2n-1)=n +1;
?2,n=1, ? 当 b≠1 时,anbn=? n-1 ? ?? 2n-1? b ,n≥2.

2

此时 Tn=2+3b+5b +?+(2n-1)b
2 3

2

n-1

,①
n

两端同时乘以 b 得,bTn=2b+3b +5b +?+(2n-1)b .②
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①-②得, (1-b)Tn=2+b+2b +2b +?+2b =2(1+b+b +b +?+b = 2?
n
2 3 2 3

n-1

-(2n-1)b
n

n

n-1

)-(2n-1)b -b

1-b ? n -(2n-1)b -b, 1-b 2? 1-b ? ? 1-b?
2

n
2

所以 Tn=



?

2n-1? b b - . 1-b 1-b

n

?n +1,b=1, ? n 所以 Tn=?2? 1-bn? ? 2n-1? b b - ,b≠1. 2 - ? ? 1-b? 1-b 1-b ?
例 2 已知 f(x)是二次函数,f′(x)是它的导函数,且对任意的 x∈R,f′(x)=f(x+ 1)+x 恒成立.若 t>0,曲线 C:y=f(x)在点 P(t,f(t))处的切线为 l,l 与坐标轴围成的 三角形面积为 S(t).求 S(t)的最小值. 【分析】 本题首先要求出函数 f(x)的解析式,其次要求出函数在点 P 处的切线 l 的方 程,第三要求出切线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积 S(t),第四要求出 S(t)的最小值.
2

【解答】 设 f(x)=ax +bx+c(其中 a≠0),则 f′(x)=2ax+b,f(x+1)=a(x+1) +b(x+1)+c=ax +(2a+b)x+a+b+c. 由已知,得 2ax+b=(a+1)x +(2a+b)x+a+b+c,
2 2

2

2

?a+1=0, ? ∴?2a+b=2a, ?a+b+c=b, ?
2

?a=-1, ? 解之得?b=0, ?c=1, ?

∴f(x)=-x +1.

2

所以 P(t,1-t ),切线 l 的斜率 k=f′(t)=-2t, ∴切线 l 的方程为 y-(1-t )=-2t(x-t), 即 y=-2tx+t +1.
2 2

?t +1,0?,l 与 y 轴的交点为 B(0,t2+1), 从而 l 与 x 轴的交点为 A? ? ? 2t ?
∴S(t)= ∴S′(t)= 当 0<t< ? ?

2

t2+1? 4t

2

(其中 t>0). 3t+1? 2 4t ? 3t-1? .

t2+1? ?

3 3 时,S′(t)<0,S(t)是减函数;当 t> 时,S′(t)>0,S(t)是增函数, 3 3

∴[S(t)]min=S?

? 3? 4 3 . ?= ?3? 9

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