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2017版高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法初步、复数 第3讲 数学归纳法及其应用课件 理


第 3讲
考试要求

数学归纳法及其应用

1.数学归纳法的原理,A级要求;2.利用数学归

纳法证明一些简单的数学命题,B级要求.

知识梳理 1.数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: 第一个值n0(n0∈N*) 时命题成立; (1)(归纳奠基)证明当n取____

______________ (2)( 归纳递推 ) 假设 n = k(k≥n0 , k ∈ N*) 时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立. __________ 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正 整数n都成立.

2.数学归纳法的框图表示

诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1) 用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当 n = 1时结论 成立.( × ) (2) 所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证

明.( × )
(3)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用.( × ) (4) 不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由 n = k 到n=k+1时,项数都增加了一项.( × )

1 1 1 2.若 f(n)=1+2+3+?+ (n∈N*), 则 f(1)为________(用式 6n-1 子表示).

解析

等式右边的分母是从 1 开始的连续的自然数,且最

大分母为6n-1,则当n=1时,最大分母为5.
答案 1 1 1 1 1+ + + + 2 3 4 5

1 3.在数列{an}中,a1= ,且 Sn=n(2n-1)an,通过求 a2,a3,a4, 3 猜想 an 的表达式为________.
解析 1 1 1 当 n=2 时,3+a2=(2×3)a2,∴a2= .当 n=3 时,3 3×5

1 1 + + a3 = (3×5)a3 , ∴ a3 = . 故 猜 想 an = 15 5×7 1 . (2n-1)(2n+1)

答案

1 an= (2n-1)(2n+1)

n+2 1 - a + 4.用数学归纳法证明 1+a+a2+?+an 1= (a≠1, n∈N*), 1-a

在验证 n=1 时,等式左边的项是________.

答案 1+a+a2

4 2 n + n 5.用数学归纳法证明等式:1+2+3+?+n2= (n∈N*), 2

则从 n=k 到 n=k+1 时,左边应添加的项为________.

解析

n=k时,等式左边=1+2+3+?+k2,n=k+

1 时,等式左边= 1 + 2 + 3 + ? + k2 + (k2 + 1) + (k2 + 2) + ? + (k + 1)2. 比较上述两个式子, n = k + 1 时,等式 的左边是在假设 n=k 时等式成立的基础上,等式的左 边加上了(k2+1)+(k2+2)+?+(k+1)2. 答案 (k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2

考点一 用数学归纳法证明等式
【例 1】 用数学归纳法证明: 1 1 1 1 n + + +?+ = (n∈N*). 2×4 4×6 6×8 2n(2n+2) 4(n+1)
证明 (1)当 n=1 时,

1 1 左边= = , 2×1×(2×1+2) 8 1 1 右边= = ,左边=右边,所以等式成立. 4(1+1) 8

1 1 1 (2)假设 n=k(k∈N )时等式成立, 即有 + + +? 2×4 4×6 6×8
*

1 1 1 k + = , 则当 n=k+1 时, + + 2k(2k+2) 4(k+1) 2×4 4×6 1 1 1 +?+ + 6×8 2k(2k+2) 2(k+1)[2(k+1)+2] k(k+2)+1 1 k = + = 4(k+1) 4(k+1)(k+2) 4(k+1)(k+2) (k+1)2 k+1 k+1 = = = . 4(k+1)(k+2) 4(k+2) 4(k+1+1) 所以当 n=k+1 时,等式也成立,由(1)(2)可知,对于一切 n∈N*等式都成立.

规律方法

用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式时,

关键在于 “ 先看项 ” ,弄清等式两边的构成规律,等式的
两边各有多少项,项的多少与n的取值是否有关,由n=k到n =k+1时等式的两边变化的项,然后正确写出归纳证明的步 骤,使问题得以证明.

【训练 1 】 求证: (n + 1)(n + 2)· ?· (n + n) = 2n · 1· 3· 5· ?· (2n -

1)(n∈N*).
证明 (1)当n=1时,等式左边=2,右边=21· 1=2,

∴等式成立.
(2) 假设当 n = k(k∈N*) 时,等式成立,即 (k + 1)(k + 2)· …· (k + k) =2k· 1· 3· 5· …· (2k-1). 当n=k+1时,左边=(k+2)(k+3)· …· 2k· (2k+1)· (2k+2) =2· (k+1)(k+2)(k+3)· …· (k+k)· (2k+1) =2· 2k· 1· 3· 5· …· (2k-1)· (2k+1) =2k+1· 1· 3· 5· …· (2k-1)(2k+1). 这就是说当n=k+1时,等式成立. 根据(1)(2)知,对n∈N*,原等式成立.

考点二 用数学归纳法证明不等式

1 1 【例 2】(2016· 盐城一模)已知数列{xn}满足 x1= , x = , 2 n+1 1+xn n∈N*.
(1)猜想数列{x2n}的单调性,并证明你的结论; 1?2?n-1 (2)证明:|xn+1-xn|≤6?5? . ? ?

(1)解

1 1 2 5 13 由 x1= 及 xn+1= ,得 x2= ,x4= ,x6= . 2 3 8 21 1+xn

由 x2>x4>x6,猜想:数列{x2n}是递减数列. 下面用数学归纳法证明:

①当n=1时,已证命题成立.
②假设当n=k时命题成立,即x2k>x2k+2,易知xk>0,那么

x2k+3-x2k+1 1 1 x2k+2-x2k+4= - = 1+x2k+1 1+x2k+3 (1+x2k+1)(1+x2k+3) 1 1 - 1+x2k+2 1+x2k = (1+x2k+1)(1+x2k+3)
x2k-x2k+2 = >0, (1+x2k)(1+x2k+1)(1+x2k+2)(1+x2k+3) 即 x2(k+1)>x2(k+1)+2,也就是说,当 n=k+1 时命题也成立. 结合①和②知命题成立.

1 (2)证明 当 n=1 时,|xn+1-xn|=x2-x1= ,结论成立. 6 当 n≥2 时,易知 0<xn-1<1, 1 1 所以 1+xn-1<2,xn= > , 1+xn-1 2
? 1 ? 5 ? ? 所以(1+xn)(1+xn-1)=?1+1+x ?(1+xn-1)=2+xn-1≥ , 2 ? n-1? ? 1 1 ? |xn-xn-1| 2 ? ? 所以|xn+1-xn|=?1+x -1+x ?= ≤5|xn-xn-1| ? n n-1? (1+xn)(1+xn-1) ?2?2 ?2?n-1 1?2?n-1 ≤?5? |xn-1-xn-2|≤?≤?5? |x2-x1|= ?5? . 6? ? ? ? ? ?

规律方法

用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k时命题

成立证n=k+1时命题也成立,在归纳假设使用后可运用比 较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明,充分应用 基本不等式、不等式的性质等放缩技巧,使问题得以简化.

【训练 2】 (2015· 南京师大附中模拟改编)已知 x1,x2,?,xn ∈(0,+∞),且 x1x2?xn=1,求证:( 2+x1)( 2+x2)?( 2+ xn)≥( 2+1)n.

证明 (1)当 n=1 时, 2+x1= 2+1,不等式成立. (2)假设 n=k 时不等式成立, 即( 2+x1)( 2+x2)?( 2+xk)≥( 2+1)k 成立, 则 n=k+1 时,若 xk+1=1,则命题成立; 若 xk+1>1,则 x1,x2,?,xk 中必存在一个数小于 1,不妨设 这个数为 xk, 从而(xk-1)(xk+1-1)<0, 即 xk+xk+1>1+xkxk+1, xk+1<1 同理可得,

∴( 2+x1)( 2+x2)?( 2+xk)( 2+xk+1) =( 2+x1)( 2+x2)?[2+ 2(xk+xk+1)+xkxk+1] >( 2+x1)( 2+x2)?[2+ 2(1+xkxk+1)+xkxk+1] =( 2+x1)( 2+x2)?( 2+xkxk+1)( 2+1) >( 2+1)k( 2+1)=( 2+1)k+1. 故 n=k+1 时,不等式也成立. 由(1)(2)及数学归纳法原理知原不等式成立.

考点三 归纳——猜想——证明

【例3】 (2015· 江苏卷)已知集合X={1,2,3},Yn={1,2,3,?, n}(n∈N*),设Sn={(a,b)|a整除b或b整除a,a∈X,b∈Yn},令 f(n)表示集合Sn所含元素的个数. (1)写出f(6)的值; (2)当n≥6时,写出f(n)的表达式,并用数学归纳法证明.

解 (1)Y6={1,2,3,4,5,6},S6中的元素(a,b)满足:若a =1,则b=1,2,3,4,5,6;若a=2,则b=1,2,4,6; 若a=3,则b=1,3,6,所以f(6)=13.(2)当n≥6时,
?n n? ? ?n+2+?2+3?,n=6t, ? ? ? ?n-1 n-1? ? ? ? n + 2 + ? 2 + 3 ?,n=6t+1, ? ? ? ? ? ?n n-2? ?n+2+? *). ( t ∈ N , n = 6 t + 2 , + ?2 ? 3 ? ? ? f(n)=? ? ? ?n+2+?n-1+n?,n=6t+3, ? 2 3? ? ? ? ? ?n n-1? ? ?n+2+? ?2+ 3 ?,n=6t+4, ? ? ? ?n-1 n-2? ? ? ? n + 2 + ,n=6t+5 + ? ? ? ? 3 ? ? 2

下面用数学归纳法证明: 6 6 ①当 n=6 时,f(6)=6+2+ + =13,结论成立; 2 3 ②假设 n=k(k≥6)时结论成立,那么 n=k+1 时,Sk+1 在 Sk 的基础 上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生,分以 下情形讨论: 1)若 k+1=6t,则 k=6(t-1)+5,此时有 k-1 k-2 f(k+1)=f(k)+3=k+2+ 2 + 3 +3 k + 1 k +1 =(k+1)+2+ 2 + 3 ,结论成立;

k 2)若 k+1=6t+1, 则 k=6t, 此时有 f(k+1)=f(k)+1=k+2+2+ (k+1)-1 (k+1)-1 k +1=(k+1)+2+ + ,结论成立; 3 2 3 3)若 k+1=6t+2,则 k=6t+1,此时有 f(k+1)=f(k)+2=k+2 k-1 k-1 k+1 (k+1)-2 + 2 + 3 +2=(k+1)+2+ 2 + ,结论成立; 3 4)若 k+1=6t+3,则 k=6t+2,此时有 f(k+1)=f(k)+2=k+2 (k+1)-1 k+1 k k-2 +2+ 3 +2=(k+1)+2+ + 3 ,结论成立; 2

5)若 k+1=6t+4,则 k=6t+3,此时有 k-1 k f(k+1)=f(k)+2=k+2+ 2 +3+2 k+1 (k+1)-1 =(k+1)+2+ 2 + ,结论成立; 3 6)若 k+1=6t+5,则 k=6t+4,此时有 k k-1 f(k+1)=f(k)+1=k+2+2+ 3 +1 (k+1)-1 (k+1)-2 =(k+1)+2+ + ,结论成立. 2 3 综上所述,结论对满足 n≥6 的自然数 n 均成立.

规律方法

“归纳—猜想—证明”的模式,是不完全

归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式,这种方法

在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用,它
的模式是先由合情推理发现结论,然后经逻辑推理证 明结论的正确性.

【训练3】 (2016· 徐州调研)在数列{an}中,已知a1=20,a2=30,
an+1=3an-an-1(n∈N*,n≥2).
2 (1)当 n=2,3 时,分别求 a2 - a a 的值,判断 a - + n n 1 n 1 n- a n - 1 ·

an+1(n∈N*,n≥2)是否为定值,并给出证明; (2)求出所有的正整数 n,使得 5an+1an+1 为完全平方数.
解 (1)由已知得 a3=70,a4=180.

所以当 n=2 时,a2 n-an-1an+1=-500; 当 n=3 时,a2 n-an-1an+1=-500.
* 猜想:a2 - a a =- 500( n ∈ N ,n≥2). - + n n 1 n 1

下面用数学归纳法证明:

①当 n=2 时,结论成立. ②假设当 n=k(k≥2,k∈N*)时,结论成立, 即 a2 k -ak-1ak+1=-500, 将 ak-1=3ak-ak+1 代入上式,
2 可得 a2 k -3akak+1+ak+1=-500.

当 n=k+1 时,
2 2 2 a2 - a a = a - a (3 a - a ) = a - 3 a a + a + + + + + + k 1 k k 2 k 1 k k 1 k k 1 k k 1 k =-500.

故当 n=k+1 时结论成立,

* 根据①②可得,a2 - a a =- 500( n ∈ N ,n≥2)成立. n n-1 n+1 2 (2)将 an-1=3an-an+1 代入 a2 - a a =- 500 ,得 a - + n n 1 n 1 n+1-3anan
+1

+a2 n=-500,

化简整理,得 5an+1an=(an+1+an)2+500, 所以 5anan+1+1=(an+1+an)2+501, 设 5an+1an+1=t2(t∈N*), 则 t2-(an+1+an)2=501, 即[t-(an+1+an)](t+an+1+an)=501, 又 an+1+an∈N*,且 501=1×501=3×167,

? ?an+1+an-t=-1, ? ?an+1+an-t=-3, 故? 或? ? ? ?an+1+an+t=501 ?an+1+an+t=167, ? ? ?t=251, ?t=85, 所以? 或? ? ?an+1+an=250 ? ?an+1+an=82.

由 an+1+an=250,解得 n=3; 由 an+1+an=82,得 n 无整数解. 所以当 n=3 时,满足条件.

[思想方法] 1.数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想,第一步是递推 的基础,第二步是递推的依据,两个步骤缺一不可,否则就会 导致错误. 有一无二,是不完全归纳法,结论不一定可靠;有二无一, 第二步就失去了递推的基础.

2.归纳假设的作用 在用数学归纳法证明问题时,对于归纳假设要注意以下两点: (1) 归纳假设就是已知条件; (2) 在推证 n = k + 1 时,必须用上 归纳假设. 3.利用归纳假设的技巧

在推证n=k+1时,可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假
设.此时既要看准目标,又要掌握n=k 与 n=k+1 之间的关系. 在推证时,分析法、综合法、反证法等方法都可以应用.

[易错防范] 1.数学归纳法证题时初始值n0不一定是1; 2.推证n=k+1时一定要用上n=k时的假设,否则不是数学归纳 法. 3.解“归纳——猜想——证明”题的关键是准确计算出前若干

具体项,这是归纳、猜想的基础,否则将会做大量无用功.


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