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投影与三视图


个性化教案

投影与三视图
适用学科 适用区域 知识点
高中数学 新课标人教 A 使用地区

适用年级

高一年级

课时时长 (分钟) 60

1. 了解中心投影和平行投影的原理. 2.三视图的定义 2.三视图的形成过程

教学目标

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1. 使学生学会画三视图、体会三视图的作用,能由三视图想象几何体,从 而进行几何体与其三视图之间的相互转化。 2. 通过三视图的学习,提高学生的空间想象能力、分析问题、解决问题的 能力。 3. 通过学生自己的实践,学会画三视图,从而培养学生大胆创新、敢于求 异、勇于探索、自主合作的精神,并形成良好的思维习惯。

教学重点 教学难点

画出空间几何体的三视图,体会三视图的作用。 识别三视图所表示的空间几何体。

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教学过程
一、复习预习
从不同角度看庐山,有古诗: “横看成岭侧成峰,远近高低各不同。不识庐山真面目, 只缘身在此山中。 ” “横看成岭侧看成峰”, 这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可 能不同,要比较真实反映出物体,我们可从多角度观看物体。

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二、知识讲解
考点 1
1、 中心投影与平行投影: ① 投影法的提出:物体在光线的照射下,就会在地面或墙壁上产生影子。人们将这种自然 现象加以的抽象,总结其中的规律,提出了投影的方法。 ② 中心投影:光由一点向外散射形成的投影。其投影的大小随物体与投影中心间距离的变 化而变化,所以其投影不能反映物体的实形. ③ 平行投影: 在一束平行光线照射下形成的投影. 分正投影、 斜投影. → 三角形在平行投影后的结果. 讨论: 点、 线、

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考点 2
2. 柱、锥、台、球的三视图: ① 定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影) ;侧视图(从左向右) 、 俯视图(从上到下) ② 讨论:几何体三视图在形状、大小方面的关系? → 画出长方体的三视图,并讨论所反应 的长、宽、高的关系,得出结论:正俯一样长,俯侧一样宽,正侧一样高 ③ 结合球、圆柱、圆锥的模型,从正面(自前而后) 、侧面(自左而右) 、上面(自上而下) 三个角度,分别观察,画出观察得出的各种结果. → 正视图、侧视图、俯视图.

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考点 3
3、三视图,分别反应物体的哪些关系(上下、左右、前后)?哪些数量(长、宽、高) 正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度; 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度; 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度。

(1)分类

(2)三视图的画法规则 ①正、俯视图都反映物体的长度——“长对正”; ②正、侧视图都反映物体的高度——“高平齐”; ③俯、侧视图都反映物体的宽度——“宽相等”.

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三、例题精析
【例题 1】 【题干】 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是 BB1、BC 的中点,则图中阴影部 分在平面 ADD1A1 上的正投影是( )

【答案】 :A 【解析】 :N 点投影为 AD 中点,M 点投影为 AA1 中点,故选 A.

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【例题 2】 【题干】一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为 4 的两个全等的等 腰直角三角形,则用________个这样的几何体可以拼成一个棱长为 4 的正方体.

【答案】 :3 【解析】 :该几何体是四棱锥,其底面是边长为 4 的正方形,高等于 4,如图(1)所示的四棱 锥 A-A1B1C1D1,

如图(2)所示,三个相同的四棱锥 A-A1B1C1D1,A-BB1C1C,A-DD1C1C 可以拼成 一个棱长为 4 的正方体.

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【例题 3】 【题干】如图所示的主视图、左视图、俯视图是下列哪个物体的三视图( )

【答案】A. 【解析】根据三视图想象立体图形,从主视图可以看出左边的一列有两个,左视图可以看出 左边的一列后面一行有两个,俯视图中右边的一列有两排,综合起来可得解. 解:从主视图可以看出左边的一列有两个,右边的两列只有一个; 从左视图可以看出左边的一列后面一行有两个,右边的一列只有一个; 从俯视图可以看出右边的一列有两排,右边的两列只有一排(第二排) . 故选 A.

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【例题 4】 【题干】如图所示几何体的三视图,则该三视图的表面积为__________.

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【解析】根据三视图判断该几何体是四棱锥,并且其中的一个侧面与底面垂直,再由线面垂 直的定理和勾股定理求出侧高,进而求出各个面的面积,再求它的全面积. 解:根据三视图知该几何体是四棱锥,底面是等腰梯形,如图所示:

E 和 F 分别是 AB 和 CD 中点,作 EM⊥AD,连接 PM,且 PD=PC, 由三视图得,PE⊥底面 ABCD,AB=4,CD=2,PE═EF=2 在直角三角形△PEF 中,PF= EF ? PF ? 2 2 ,
2 2

在直角三角形△DEF 中, DE= EF ? DF ? 5 , 同理在直角梯形 ADEF 中, AD=
2 2

5 ,

根据△AED 的面积相等得,1/ 2 ×AD×ME=1/ 2 ×AE×EF,解得 ME= ∵PE⊥底面 ABCD,EM⊥AD,∴PM⊥AD,PE⊥ME,

4 5



16 6 , ?4 ? 5 5 1 1 1 1 6 ?16 ? 2 2. ∴棱锥的全面积 S= ? ? 4 ? 2? ? 2 ? ? 4 ? 2 ? ? 2 ? 2 2 ? 2 ? ? 5 ? 2 2 2 2 5
在直角三角形△PME 中,PM= EM 2 ? PE 2 ? 故答案为: 16 ? 2 2 . 【答案】 16 ? 2 2

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四、课堂运用
【基础】
1 充满气的车轮内胎可由下面某个图形绕对称轴旋转而成,这个图形是( )

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2 如图为几何体的三视图,根据三视图可以判断这个几何体为( A.圆锥 B.三棱锥 C.三棱柱

) D.三棱台

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3.图中的三棱柱的三视图是(



A.三个三角形 B.两个长方形和一个三角形 C.三个长方形 D.两个长方形,且长方形内有一条连接对边的点的线段和一个三角形

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4.如图为几何体的三视图,根据三视图可以判断这个几何体为(



A.圆锥

B.三棱锥

C.三棱柱

D.三棱台

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【巩固】 1.观察长方体,判断它的三视图是( B.三个正方形 C.三个一样大的长方形 D.两个长方形,一个正方形 ) A.三个大小不一样的长方形,但其中有两个可能大小一样

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2.三视图都是一样的几何体是( A.球、圆柱 C.正方体、圆柱

) B.球、正方体 D.正方体、圆锥

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3 如图 1-2-2 所示,这是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后,在地面 上形成的阴影(圆形)的示意图.已知桌面的直径为 1.2 m,桌面距离地面 1 m,若灯泡距离 地面 3 m,则地面上阴影部分的面积为________.(忽略桌脚)

图 1-2-2

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【拔高】 1.如图,是一个几何体的三视图,则此三视图所描述几何体的表面积为( )

A. 1 ? 2

B. 2 ? 2

C. 3 ? 2

D.

5 ? 2 2

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2. 下图所示的四个几何体,其中判断正确的是(

)

A.(1)不是棱柱 C.(3)是圆台

B.(2)是棱柱 D.(4)是棱锥

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3、.若正三棱柱的三视图如图所示,该三棱柱的表面积是(



A. 3

B.

9 3 2

C.6+ 3

D.6+2 3

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4、一正方体内接于一个球,经过球心作一个截面,则截面的可能图形为________(只填写序 号).

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5.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图 6 所示,则相应的侧视图可以为(

)

图6

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课程小结
三视图 (1)几何体的三视图的排列规则:俯视图放在主视图的下面,长度与主视图一样,左视 图放在主视图右面,高度与主视图一样,宽度与俯视图一样,即“长对正,高平齐,宽相 等”.注意虚、实线的区别. (2)应用:在解题的过程中,可以根据三视图的形状及图中所涉及的线段的长度,推断 出原几何图形中的点、线、面之间的关系及图中的一些线段的长度,这样我们就可以解出有 关的问题.

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课后作业
【基础】
1.下列说法正确的是( )

A.矩形的平行投影一定是矩形 B.梯形的平行投影一定是梯形 C.两条相交直线的平行投影可能平行 D.若一条线段的平行投影是一条线段,则中点的平行投影仍为这条线段投影的中点

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2.如图 1-2-8 所示的是一个立体图形的三视图,此立体图形的名称为(

)

图 1-2-8 A.圆锥 B.圆柱 C.长方体 D.圆台

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3.与如图所示的三视图对应的几何体是(



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4.如图 1-2-9,图(1)(2)(3)是图(4)表示的几何体的三视图,其中图(1)是________,图(2) 是______ __,图(3)是________(说出视图名称).

(1)

(2)

(3)

(4)

图 1-2-9

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5.某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是(



A.480

B.160π

C.90π

D.70π

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【巩固】 1.下列几何体各自的三视图中,只有两个视图相同的是( )

A.①③

B.②③

C.③④

D.②④

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2.观察下列几何体各自的三视图,其中有且仅有两个视图完全相同的是(



A.①②

B.①③

C.①④

D.②④

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3.如图 1-2-10 所示的螺栓是由棱柱和圆柱构成的组合体,试画出它的三视图.

图 1-2-10

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4.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是(

)

图 1-2-12 A.①② B.①③ C.①④ D.②④

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【拔高】 1.如图是一几何体的三视图,其左视图是等腰直角三角形,则其表面积为( )

A. 2+6 2

B. 4+4 2

C.6+4 2

D.12

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2.某几何体的正视图和侧视图均如图 1-2-13 所示,则该几何体的俯视图不可能 是( ...

)

图 1-2-13

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3.太阳光线与地面成 60°的角,照射在地面上的一个皮球上,皮球在地面上的投影长是 10 3(如图 1-2-14),则皮球的直径是________.

图 1-2-14


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