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江苏省镇江市2011届高三第一学期12月统考—答案(含附加题)


届高三统考数学试卷 数学试卷参考答案 江苏省镇江市 2011 届高三统考数学试卷参考答案 2010.10
一、填空题: 填空题: 1. {1, 2,3} ; 5. 2. ?x ∈ R, x 2 + 2 x ? 3 < 0 ; 6. 3 .1; 7. y = ex ; 11. 8 π ; 4 .4; 8.1 12 .1

π
4

/>;

;

π
4

;

9.3 13.2;

10.(1,2); 14. 5n ? 3 .

二、解答题: 解答题 15.解:(1)如图 ∠AOB = α ? π = π ? 2β ,∴α = 3π ? 2β . 2 2 (2)由 sin α =

3π yB ? 2β ) ,又 r = 1 ,得 yB = sin α = sin( r 2

4 7 . = ? cos 2β = 2 sin 2 β ? 1 = 2 ? ( ) 2 ? 1 = 5 25

由钝角 α ,知 xB = cos α = ? 1 ? sin 2 α = ? 24 ,
25

∴ B(?

24 7 . , ) 25 25

(3) 【法一】 xB ? yB = cosα ? sinα = 2 cos( + ) , α

π

4

又 α ∈ ( π , π ),α + π ∈ ( 3π , 5π ) , cos( α + π ) ∈ 2 4 4 4 4

? 2 ?, ? ? ? 1, ? 2 ? ? ?

∴ xB ? yB 的最小值为 ? 2 .
【法二】 α 为钝角,∴ xB < 0, yB > 0, xB + yB = 1 ,
2 2

xB ? yB = ?(? xB + yB ) ,
(? xB + yB ) 2 ≤ 2( xB + yB ) = 2 ,∴ xB ? yB ≥ ? 2 ,
2 2

∴ xB ? yB 的最小值为 ? 2 .
【说明】本题考查三角函数的定义、诱导公式、倍角公式,三角函数的图象和性质(基本不等式的 应用.本题为原创题. r r 16. 解(1)Q a // b ,∴1 ? m ? ( ?2)2 = 0 , m = ?4 .

r r r r (2) Q a ⊥ b ,∴ a ? b = 0 , ∴1 ? ( ?2) + 2m = 0 ,∴ m = 1 . r r (3) 当 m = 1 时, a ? b = 0 ,

高三数学–1

r u r Qx ⊥ y

r u r ∴x? y = 0.

r2 1 r r r r r u r 1 r2 则 x ? y = ? ka + a ? b ? k (t 2 + 1)a ? b + (t + )b = 0 , t t

Qt > 0

1 ∴ k = t + ≥ 2 (t = 1时取等号) . t

【说明】本题考查向量的平行、垂直、向量模,基本不等式,由课本题改编. 17. 解: (1)函数 f ( x) =

x 的定义域为 (0,1) U (1,+∞ ) , ln x ln x ? 1 ,……………3 分 f ′( x ) = ln 2 x 令 f ′( x ) = 0 ,解得 x = e ,列表

x
f ′( x )

(0,1)
- 单调递减

(1, e)
- 单调递减

e
0 极小值 f (e)

(e,+∞)
+ 单调递增

f (x)

由表得函数 f (x ) 的单调减区间为 (0,1) , (1, e) ,单调减区间为 (e,+∞) ; 所以极小值为 f (e) = e ,无极大值. (2)当 x ≤ 0 时,对任意 a ≠ 0 ,不等式恒成立; 当 x > 0 时,在 e a > x 两边取自然对数,得
x

x > ln x , a

1o 当 0 < x ≤ 1 时, ln x ≤ 0 ,当 a > 0 ,不等式恒成立;
如果 a < 0 , ln x < 0 , a ln x > 0 ,不等式等价于 a < 由(1)得,此时

x , ln x

x ∈ ( ?∞,0) ,不等式不恒成立. ln x x , ln x

2o 当 x > 1 时, ln x > 0 ,则 a > 0 ,不等式等价于 a <
由(1)得,此时

x 的最小值为 e , ln x 得 0 < a < e .…………14 分 综上: a 的取值范围是 0 < a < e . 【说明】本题考查用导数判断函数单调性、求极值、对数函数的性质、转化化归思想、分类讨论思
想、不等式的性质、恒成立问题处理方法. 18.( 18.(1)解: {an } 为等差数列,∵ a1 + a5 = a2 + a4 = 18 , ∵
2 又 a 2 ? a 4 = 65 ,∴ a2 , a4 是方程 x ? 18 x + 65 = 0 的两个根

又公差 d > 0 ,∴ a2 < a4 ,∴ a2 = 5 , a4 = 13 .

高三数学–2

? a + d = 5, ∴ ? 1 ?a1 + 3d = 13,

∴ a1 = 1, d = 4.

∴ an = 4n ? 3 .…………5 分 (2)由 1 < i < 21 , a1 , ai , a21 是某等比数列的连续三项,∴ a1 ? a21 = ai , 即 1 ? 81 = ( 4i ? 3)
2 2



解得 i = 3 . (3)由(1)知, S n = n ? 1 +

n( n ? 1) ? 4 = 2n 2 ? n , 2

假设存在常数 k ,使数列 { Sn + kn } 为等差数列, 【法一】由 S1 + k ? 1 +

S3 + k ? 3 = 2 ? S 2 + k ? 2 ,

得 1 + k ? 1 + 15 + k ? 3 = 2 ? 6 + k ? 2 , 解得 k = 1 .

∴ Sn + kn = 2n 2 = 2n ,易知数列 { Sn + kn } 为等差数列.
【 法 二 】 假 设 存 在 常 数 k , 使 数 列 { Sn + kn } 为 等 差 数 列 , 由 等 差 数 列 通 项 公 式 可 知

设 Sn + kn = an + b ,
得 2n2 + (k ? 1)n = an2 + 2abn + b 恒成立,可得 a = 2, b = 0, k = 1 .

∴ Sn + kn = 2n 2 = 2n ,易知数列 { Sn + kn } 为等差数列.
【说明】本题考查等差、等比数列的性质,等差数列的判定,方程思想、特殊与一般思想、待定系 数法. 19.(1) S扇 =

1 2 R θ , S?OCD = 1 R 2 sin θ , 2 2
1 2 R (θ ? sin θ ) . 2

S弓 = f (θ ) =

又 Q S扇 =

1 Rl , S?OCD = 1 R2 sin l , 2 2 R
1 l R(l ? R sin ) . 2 R

S弓 = g (l ) =

(2)设总利润为 y 元,草皮利润为 y1 元,花木地利润为 y2 ,观赏样板地成本为 y3

1 1 1 1 y1 = 3( π R 2 ? lR) , y2 = R 2 sin θ ? 8 , y3 = R(l ? R sin θ ) ? 2 , 2 2 2 2 1 1 1 1 ∴ y = y1 + y2 ? y3 = 3( π R 2 ? R 2θ ) + R 2 sin θ ? 8 ? R 2 (θ ? sin θ ) ? 2 . 2 2 2 2 1 = R 2 [3π ? (5θ ? 10sin θ )] . 2 设 g (θ ) = 5θ ? 10sin θ θ ∈ (0, π ) .

g ' (θ ) = 5 ? 10cosθ , …………12 分 12

高三数学–3

1 π g ' (θ ) < 0,cos θ > , g (θ )在θ ∈ (0, ) 上为减函数; 2 3 1 π g ' (θ ) > 0,cos θ < , g (θ )在θ ∈ ,π) ( 上为增函数. 2 3
当θ =

π
3

时, g (θ ) 取到最小值,此时总利润最大.

所以当园林公司把扇形的圆心角设计成

π
3

时,总利润最大.

【说明】本题考查导数,函数性质,考查运算能力和分析问题和解决问题的能力. 20. 解: 【法一】因为 f ( x ) 为奇函数,所以 f (?1) = ? f (1) , (1) 得: ?1 ? (?1 ? 1)(?1 ? a) = 0 ? a = ?1 . 当 a = ?1 时, f ( x) = x( x ? 1)( x + 1) = x( x 2 ? 1) , 有 f (? x) = ? f ( x) ,则 f ( x ) 为奇函数. 【法二】 f ( x) = x3 ? (1 + a) x 2 + ax , f (? x) = ? f ( x) 恒成立,

( ? x )3 ? (1 + a ) x 2 ? ax = ? x 3 + (1 + a ) x 2 ? ax ,
求得 a = ?1 . 当 a = 2 时, f ( x) = x( x ? 1)( x ? 2) ,该图象可由奇函数 f ( x) = ( x + 1) x( x ? 1) 的图象向 右平移一个单位得到, 可知函数 f ( x) = x( x ? 1)( x ? 2) 图象的对称中心为(1,0). (2)Q f ' ( x ) = 3x 2 ? 2(1 + a ) x + a , 令 f ' ( x) = 3x 2 ? 2(1 + a) x + a = 0 ,则 α , β 为 3x 2 ? 2(1 + a) x + a = 0 两实根.

∴α + β =

2(1 + a ) a ,α ? β = . 3 3

f (α ) + f ( β ) 1 3 = ?α ? (1 + a)α 2 + aα + β 3 ? (1 + a) β 2 + aβ ? ? 2? 2
1 (α + β ) (α + β )2 ? 3αβ ? (a + 1) (α + β )2 ? 2αβ + a(α + β ) 2 2(a + 1)3 a (a + 1) (a + 1)( a ? 2)(2a ? 1) + =? , =? 27 3 27 Q点 α + β f (α ) + f ( β ) 在第四象限,
=
M( 2 , 2 )

{

[

]

[

]

}

? ? > 0, ? 得: ?a + 1 > 0, ?(a + 1)(2a ? 1)(a ? 2) > 0, ?

? a > 2.
(3)由(2)得点 M (

1 + a ( a + 1)( a ? 2)(2a ? 1) ,? ), 3 27
高三数学–4

又 f?

? 1 + a ? 1 + a ? 1 + a ?? 1 + a ? 1 + a a ? 2 1 ? 2a ? 1?? ? a? = ? ? ?= ? 3 ? 3 3 3 3 ? 3 ? ?? 3 ?
=?

(a + 1)(a ? 2)(2a ? 1) ,所以点 M 也在函数 f ( x ) 的图象上. 27

【法一】设 P ( x0 , y0 ) 为函数 f ( x ) 的图象上任意一点,

P( x0 , y0 ) 关于 M 的对称点为 Q( 2(1 + a) ? x0 ,? 2(a + 1)(a ? 2)(2a ? 1) ? y 0 )
3 27
而 f(

2(1 + a) 2(1 + a) 2(1 + a) 2(1 + a) ? x0 ) = ( ? x0 )3 ? (1 + a)( ? x0 ) 2 + a( ? x0 ) 3 3 3 3

2(a + 1)(a ? 2)(2a ? 1) 2(a + 1)(a ? 2)(2a ? 1) ? x03 + (a + 1) x02 ? ax0 = ? ? y0 . 27 27 2(1 + a) 2(a + 1)(a ? 2)(2a ? 1) 即 Q( ? x 0 ,? ? y 0 ) 在函数 f ( x) = x( x ? 1)( x ? a) 的图像上. 3 27 所以, M 为函数 f ( x ) 的对称中心.
=? 【法二】设 g ( x ) = f ( x +

1 + a ( a + 1)(a ? 2)(2a ? 1) )+ 3 27 1+ a 1+ a 1+ a (a + 1)(a ? 2)(2a ? 1) = (x + )( x + ? 1)( x + ? a) + 3 3 3 27 1+ a a?2 1 ? 2a ( a + 1)(a ? 2)(2a ? 1) = (x + )( x + )( x + )+ 3 3 3 27 1 + a a ? 2 1 ? 2a 2 1 + a a ? 2 a ? 2 1 ? 2a 1 + a 1 ? 2 a = x3 + ( + + ? + ? + ? )x + ( )x 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 + a a ? 2 1 ? 2a ( a + 1)(a ? 2)(2a ? 1) + ? ? + 3 3 3 27 1 = x 3 ? ( a 2 ? a + 1) x . 3 1 + a (a + 1)( a ? 2)(2a ? 1) ∴ g ( x) = f ( x + )+ 为奇函数, 3 27 对称中心为 O(0,0) .

1 + a ( a + 1)(a ? 2)(2a ? 1) )+ 的图象按向量 3 27 uuuu 1 + a ( a + 1)(a ? 2)(2a ? 1) r ,? ) 平移后得 f ( x ) 的图象, OM = ( 3 27 1 + a ( a + 1)( a ? 2)(2a ? 1) ,? ) 为函数 f ( x ) 的对称中心. ∴M ( 3 27
把函数 g ( x ) = f ( x + 【说明】本题考查函数的奇偶性,函数图像平移,图象对称性,考查化归转化思想及运算能力.

高三数学–5

附加题答案
1.解:首先将两曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,得

x2 + y 2 = 1 与 x2 + y 2 ? x + 3 y = 0 ,
? x 2 + y 2 = 1, ? 解方程组 ? 2 2 ? x + y ? x + 3 y = 0, ?
得两交点坐标 (1,0) , (? , ?

1 2

3 ) , 2

所以,线段 AB 的长为 (1 + ) 2 + (0 +

1 2

3 2 ) = 3 .即 AB = 3 . 2

(1)当 x ≤ ? 2.解:

1 时,原不等式可化为: 2

?2 x ? 1 + 2 ? x > 4 ,
∴ x < ?1 . (2)当 ?

1 < x ≤ 2 时,原不等式可化为: 2

2x +1 + 2 ? x > 4 ∴1 < x ≤ 2 . (3)当 x > 2 时,原不等式可化为: 2 x + 1 + x ? 2 > 4 ,∴ x >
又 x > 2 ,∴ x > 2 . 综上,得原不等式的解集为 { x / x < ?1或x > 1} . 3.解:(1)二项式的展开式的通项公式为:
r Tr +1 = Cn ( x ) n ? r (

5 . 3

1 24 x

r ) r = Cn

? 1 2 n4 3 r x . 2r

1 2 令 r = 0,1, 2 得前三项系数为 1, Cn , Cn , 2 1 因为前三项所以有 1 + Cn = 2 × Cn 解得 n = 8 ;

1 2

1 4

1 4

1 2

含 x 的一次项为 T5 =

35 x. 8
高三数学–6

1 16? 3r (2)通项公式为: Tr +1 = C r x 4 , r = 0,1, 2 ????8 ,若为有理项, 2
r 8

则 16 ? 3r是4的倍数 , 所以令 r = 0, 4,8 得 T1 = x 4 , T5 =

35 1 x, T9 = . 8 256 x 2

4.证明: (1)当 n = 2 时,左边=

1 1 1 13 + + = > 1, 2 3 4 12

∴ n = 2 时成立.
(2)假设当 n = k ( k ≥ 2) 时成立,即

1 1 1 1 + + +L + 2 > 1 . k k +1 k + 2 k

那么当 n = k + 1 时,左边 =

1 1 1 1 +L + 2 + ( 2 +L + ) k +1 k k +1 (k + 1) 2

=

1 1 1 1 1 1 + +L + 2 + ( 2 +L + )? 2 k k +1 k k +1 (k + 1) k

> 1 + (2k + 1) ?
∴ n = k + 1 时也成立.

1 1 k2 + k ?1 ? = 1+ > 1. k2 +1 k k (k 2 + 1)

根据(1) (2)可得不等式对所有的 n > 1 都成立.

高三数学–7


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